最强高等数学(中值定理)

将高等数学的中值定理部分进行了详细的整理，包括了所有的题型及方法，还有不少的例题。

高等数学

• 极限
  • • f(a)=0, f'(a)=0
• 函数
  • 题目解读
    • f(x)在(a,b)内取得最小值
      • 存在c在(a,b)内, f(c)最小, 且f'(c)=0
  • 做题技巧
    • 当x趋于无穷时,
      • 主要看服从于谁, 其他的不管, 不论乘除
• 中值定理
  • 题型一:
    • 解题方法
      • 找到f(a) =f(b)， 利用罗尔定理，得到f'(ξ)=0，同理继续下去
    • 常见形式
      • 3f(a)=f(b)+2f(c)
        • 特点： 几个函数值之和，两边系数相等
        • 解法： 利用介值定理：3m≤f(b)+2f(c)≤3M，得到f(a)=f(d)
      • f'+(a)·f'-(b)>0, f(a)=f(b)=0
        • 特点： 右导数与左导数的乘积
        • 解法： 对于f'(x)>0, 有f-(a) <f(a) < f+(a) 存在f(x₁)>f(a)=0,f(x₂)<f(b)=0,再用零点定理得: f(c)=0
          • 证明: 写出导数的极限定义形式,用保号性证明
      • f''(ξ)<0
        • 解法: 找不相等的三点, 具有大小关系, 两次拉格朗日得到f'(ξ1)>0, f'(ξ2)<0, 再用一次拉格朗日即可
      • f(x) 非直线
        • 1. 暗示可以用 曲-直 的拉格朗日推理形式构造辅助函数h(x), 且两个端点值为0
        • 2. h(x)不恒等于0, 必然存在h(c)≠0, 两次拉格朗日得到f'(ξ1)>0, f'(ξ2)<0
      • • =0
          • F(a)=F(b)=0, 存在c, 使F'(c)=0,即f(c)=0
            • 得到开区间, 能保证和端点值不重合
        • ≠0
          • 解法: 利用积分中值定理得: F(b)-F(a)=(b-a)f(x)
            • 得到闭区间
        • 积分前系数与区间长度乘积为1
          • 解法: 用积分中值定理
      • • 特点: 一边积分, 一边式子, 两边形式不一样
        • 解法: 转换成一样的形式, 将式子转化为积分的形式, 移项后变为
    • 特殊形式
      • f(0)=-1, f(1/2)=1, f(1)=0
        • 解法: f(x)在[0,1]必然取得最大值, 但是不在两个端点处,即在(0,1)内, f'(ξ)=0
      • f(a)=g(a), f(b)=g(b), f,g在(a,b)上取相同的最大值
  • 题型二: 仅有ξ 无其他字母
    • 解题方法
      • 1. 还原法: [lnf(x)]'=
        • 条件: 函数相差一阶导数才能用, 不含单独常数
        • 常见形式
          • f'(x)+kf(x) →
          • xf'(x)+kf(x) →
          • 主要看f'(x)前面是否有x
          • f(x) →
          • a →
        • 注意: 函数与它的积分上限函数相差也是一阶, 也可以转化为ln()的形式
      • 2.分组法
        • 条件: 含有单独的常数, 不能还原
        • 解法: 分组成一个原函数, 一个导函数的形式, 换元为 g'+g=0, 转化为
        • 特殊形式
          • 中间缺项: f''-f=0 → (f''+f')-(f'+f)=0 → (f'+f)'-(f'+f)=0
          • 增加常数: f''+f'=2 → (f'-2)'+(f'-2)=0
      • 3.凑微法
        • 形式: 含有f''g / fg''
        • 解法: (f'g)'=f''g+f'g' (fg')'=fg''+f'g' 整理为g(x)=0, 找出h'(x)=g(x)
  • 题型三: 含ξ , 含a, b
    • 情形一: a,b与ξ 可分离
      • 解法一
        • 1. 先将a,b与ξ 可分离
        • 2. a,b侧 → f(b)-f(a) 或 f(b)-f(a)/b-a 用拉格朗日 f(b)-f(a)/g(b)-g(a) 用柯西
      • 解法二
        • 将a,b与ξ的式子还原为一个原函数,并对原函数使用中值定理
    • 情形二: a,b与ξ 不可分离
      • 解法: 凑微法, 化简为 g(x)=0的形式, 再找出h'(x)=g(x), 则h(x)即为辅助函数, 再用罗尔定理
      • 常见形式
        • f'g+fg' → (fg)'
  • 题型四: 含两个或以上的中值
    • 情形一: 只含f'(ξ), f'(η)
      • 解法: 找到三个点, 用两次拉格朗日中值定理
    • 情形二: ξ 和 η 复杂程度不同
      • 1. 先将复杂中值的项取出
      • 2. 若为某函数的导数 ( )' 使用拉格朗日中值定理
      • 若为两个函数导数之商, 使用柯西中值定理
        • 用完柯西之后, 将这部分式子分解为拉格朗日的形式, 再对另外一个中值用拉格朗日, 从而将两者联系起来
      • 例题
    • 情形三: ξ 和 η 都复杂且对应的项完全对等
      • 解法: 构造一个辅助函数(还原法), 两次使用拉格朗日中值定理
    • 情形四: ξ 和 η 都复杂且对应的项不完全对等(稍有不同)
      • 解法: 分别构造两者的原函数, 找3点, 两次拉格朗日中值定理
    • 情形五: 含有三个中值
      • 解法: 找到4个点, 用3次朗格朗日
      • 例题
  • 题型五: 关于θ的问题(θ的极限)
    • 含有θ的公式
      • 1. 拉格朗日: f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a) (0<θ<1)
      • 2. 泰勒公式:
      • 3. 积分中值:
    • 解法
      • f(x)已知(情形1, 3) → 根据已知条件将θ 分离出来, 求出θ 具体表达式, 再求极限
      • f(x)抽象 (情形2, 3) → 根据题目中已经出现的f'(a+θh)/f(θh) 等形式, (利用泰勒展开公式)将其转化为 导数定义的形式(会产生θ ), 两边取极限从而出现f''(a) 或者f'(a)等导数
    • 抽象例题
  • 题型六: 拉格朗日的三种思维
    • 1. 出现f(b)-f(a)
      • 使用后会出现f'(c), 从而将f(x)与f'(x)联系起来
      • 出现f(0)=0, 大多能凑出f(b)-f(a)的形式
    • 2. 出现f(a), f(b), f(c), 两次拉格朗日
      • 例题
    • 3. 出现f(x)与f'(x)之间的关系式(也可能用牛顿-莱布尼兹公式)
      • |f'(ξ )|>|f(b)-f(a) / b-a |
        • 因为不能确定右边式子的正负, 因此必然存在两个f'(ξ ), 分别大于/小于右边
      • f''(ξ)<0
        • 解法: 找不相等的三点, 具有大小关系, 两次拉格朗日得到f'(ξ1)>0, f'(ξ2)<0, 再用一次拉格朗日即可
      • f(x) 非直线
        • 暗示可以用 曲-直 的拉格朗日推理形式构造辅助函数h(x), 且两个端点值为0
        • h(x)不恒等于0, 必然存在h(c)≠0, 两次拉格朗日得到f'(ξ1)>0, f'(ξ2)<0
      • 例题
  • 题型七: 泰勒公式证明
    • 定义:
    • 要点
      • x0 的选取标准
        • 与一阶导数相关的点: f'(c)
          • 一般f'(c)=0, 用泰勒公式时就会减少一项
        • 区间中点
        • 其他
      • x 的选取标准
        • 与函数值相关的点: f(a) 并且无f'(a)
          • 出现几个函数值用几次, 一般至少两次
        • 区间端点(两个端点都告诉, 用两次)
        • 两个端点的f'(x)都已知, 可以用区间中点作为x, 两个端点的f'(x)用两次泰勒公式
        • 其他
      • 对等关系
        • f(a)·f(c)·f(b) / f'(a)·f'(c)·f'(b) 对等→使用两次拉格朗日
          • 例题
        • f(a)·f'(c)·f(b) 不对等→使用泰勒公式
    • 常见形式
      • 结论中
        • 1. f'(x)/f''(x)/f'''(x)与一个常数或者式子进行比较的形式
        • 2. 和4, 8 有关的结论, 一般要用到1/2 或者 a+b/2
      • 题干中
        • 1. 由f(x)直接到f''(x)/ f'''(x)用泰勒公式(x与x0的选取)
        • 2. f(x)在(a,b)内取得最小值
          • 存在c在(a,b)内, f(c)最小, 且f'(c)=0, 将c作为x0
        • 3. b是a关于x0的对称点
          • 使用泰勒公式时, (a-x0)=-(b-x0) , 平方相等
    • 解法
      • 等式
        • 得到两个中值相加后, 利用介值定理
          • 例题
      • 不等式
        • 得到中值关于变量的等式, 根据变量的取值范围, 转化为不等式
          • 例题
      • 绝对值
        • 得到两个中值的绝对值后, 可以假设它们两个的大小, 从而得到结论要求的条件
          • 例题
  • 题型八: 二阶导数保号性
    • f''(x)>0
      • f'(x)单调增加
        • 解法: 通常与拉格朗日结合使用, 先出现一阶导形式
      • • 本质: 对于凹函数来说, 曲线大于其上任意一点处的切线值, x0可取任意点
        • 证明: 用泰勒二阶展开式即可证明
      • 例题
• 注意点
  • 中值定理
    • 柯西中值定理
      • 使用时一定要写g'(x)≠0 在x的区间内
    • 泰勒中值定理
      • 在不知道三阶是否可导的情况下, 不能将最后的余项写成拉格朗日型, 要写成高阶无穷小0(x)
• f'(ξ) f''(ξ) f(x) f'(x) f(a) f'(a) ≤ ≥ F(a) F'(a)