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高数强化（积分学）
一元函数积分学概念与性质
祖孙三代奇偶性，周期性关系
函数与导数的关
函数与积分的关系
积分比大小
用几何意义
看面积得大小
用保号性
直接看正负
作差
一般运用换元法，使得两函数上下区间相同
积分的定义
基本型（凑i/n）
i的取值1到n
i的取值0到n-1
放缩型（凑不成i/n）
夹逼准则
放缩后再凑i/n
变量型
积分不再是从0到1
而是转化为从0到x
反常积分
概念
无穷区间上的反常积分
无界函数的反常积分
判型
⚠️每个积分有且仅有一个奇点
假设区间（a，b）内存在一个奇点，对（a，b）积分时，应在奇点处拆开成两部分，分别计算
X 属于（0 ，1 ）0<p<1
收敛
X 属于（1 ，∞ ），p>1
准则
比较准则
大收敛，小收敛 小发散，大发散
一元函数积分学的计算
基本积分公式
不定积分计算
凑微分法
思想
凑微分
方法
常用的凑微分公式
程序
当一个复杂的函数乘或者除一个相对简单的函数，可对复杂函数进行求导计算
得到倍数关系
常倍数
函数倍数
得不到倍数
考虑同乘或同除一个适当的因子来凑微分
换元法
不容易积分
含有根式、反三角函数
前提还原的函数必须单调可导
回带
三角函数的代换
去根式
取值范围保证单调可导
恒等变形后作三角函数的代换
凑平方，再代换
根式代换
复杂无法凑成平方，直接令其为t
对于根式次数不同的，可取其最小公倍数令成t
倒代换
把正三角形函数变为倒三角形函数
复杂函数的直接代换
复杂函数直接令其为t
例如：arcsinx arctanx eˣ aˣ
若与ex 相乘除是
优先考虑分部积分法
分部积分法
u、v的选择原则
表格法
有理函数的积分
定义
三角形
上小下大
拆分成有理分式
根据分母来拆分
定积分的计算
区间再现公式
华氏公式（点火公式）
（0 ，π/2 ）
（0 ，π ）
（0 ，2π ）
常用含三角函数的积分等式
奇变偶不变，符号看象限
区间简化公式
根式下方不好凑平方
换元法进行化简计算
对称性积分问题
注意观察积分上下限
若上下限分别为（0 ，4 ）
应该想到令t=x-2
定积分分部积分法重“升阶”“降阶”的问题
分布积分法的扩展
分段函数的定积分
根据函数的分段点来列写积分
上限下限均为常数
变限积分的计算
就分段函数的变限积分
上限为自变量
直接求导型
积分求导公式
前提：被积分函数中不含上下限变量
换元求导型
上述前提不满足
拆分求导型
一般带绝对值
进行变量的划分
I （t ）=∫ 【f （x ）±g （t ）】m （x ）；
t 与x 同范围
以t 为分段点，进行列写函数
t 与x 不同范围
t 的范围不确定
分类讨论
t 的取值范围在x 取值范围内部
t 的取值范围在x 的取值范围外
可以根据函数情况去绝对值
在坐标轴上标点可以更直观的写出公式
换序型
二重积分
分布积分
反常积分的计算
判断收敛性
上下限中出现∞
上下限出现瑕点a，使得f（a）不存在
换元后可能出现定积分
几何应用
研究对象
函数
函数列Fn （x ）
遇到选择题时可令n=1 、2 来找规律
变积分
微分方程的解函数
偏导
参数方程
极坐标方程
画图问题
已知曲线
可直接进行绘图
未知曲线
找特殊点
图形变换
上下左右平移
导数工具
研究内容
面积
｜｜问题
周期问题
含参数问题
面积列Sn
旋转体体积
同上
体积列Vn
平均值
平面曲线的弧长
旋转曲面的面积（侧面面）
形心坐标公式
平行面面积为已知的立体体积
比较大小时，不一定要求出解，化成相同的形式也可以
积分等式与积分不等式
积分等式
常用积分等式
通过证明某特殊积分等式求某特殊积分
积分形式的中值定理
积分不等式
用函数单调性
将某一（上限或者下限）变量化，然后经过移项来构造辅助函数，由辅助函数的单调性来证明不等式
处理被积函数
积分保号性
用积分的保号性来处理
拉格朗日中值定理
先用定理处理函数，在做不等式，用积分保号性
一般条件：函数一阶可导
用泰勒公式
将函数展开成泰勒公式，再做不等式，进一步用积分保号性
一般条件：函数二阶可导或高阶可导
用放缩法
结合夹逼准则
用分部积分法
用换元法
条件：复合函数积分
用夹逼准则求解一类积分的极限问题
例题11.14
曲边梯形面积的连续化于离散化问题
例题11.15
物理应用
总路程
变力沿直线做功
提取物体做功
物体重力【pgdV=pg A （x ）dx 】* 距离x
若在水中提取物体时，当物体密度等于水的密度，在水下的行程不做功
静水压力
压强* 面积
面积【dx* （f （x ）-g （x ））】压强【pgx 】
细杆质心
和型心相似
其他重要应用
人口分布
水管中的水流
圆环的面积近似等于圆环割开的长方形面积，即2πRdr
微元法
先取x ，再从x 的基础上取dx
合式极限
二重积分的定义式
普通对称性
关于y 轴对称
关于x 轴对称
关于原点对称
关于y=x 对称
关于y=a 对称
关于x=a 对称
轮换对称性
前提：D 中的x ，y 对调后，D 不变
与关于y=x 对称相区别
比大小
对称性
保号性
周期性
计算
直角坐标系与换序
极坐标系与换序
一般先对角度，再积分r
换序时可，转换成直角坐标系进行换算，x轴变成角度，y轴变成r
不转换成直角坐标系时，可在图上进行换算
见公式集
直极互化
平移变换
左加右减
上加下减
｜ f ｜函数的绝对值
｜ x ｜ 函数的绝对值
伸缩变换
kx
k 大于1
水平方向收缩k倍
k ➡️（0 ，1 ）
水平方向拉伸1/k 倍
kf
上下拉伸k 倍
上下收缩k 倍
根据直角系方程画图
描绘特殊点
使用图形变换
使用导数工具
极坐标系画图
致极互化
参数方程画图
描点法
化成直角坐标或极坐标
变化区域的
根据区域不同分类讨论
例如：x+y<t
变成函数
被积函数
分段函数
最大最小值函数
取整函数
符号函数
抽象函数
复合函数
偏导数函数
⚠️换元要三换
应用
