导图社区 第三章：线性方程组
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第三章 线性方程组
1. 消元法
初等变换
用一非零的数乘某一个方程
把一个方程的倍数加到另一个方程
互换两个方程的位置
不改变解
消元法解线性方程组
用初等变换将线性方程组化成阶梯形方程组
把最后的一些恒等式“0=0"(如果出现的话)去掉
如果剩下的是一些0=非零的数，那么方程组无解，反之有解
定理
在齐次线性方程组中，如果s<n，那么必有非零解
证明：因为方程组在化成阶梯形方程组之后，方程的个数不会超过原方程组中方程的个数，即r£s<n,由r<n可知，它的解不是唯一的，因而必有非零解
2. n维向量空间
定义
所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组（1），称为向量（1）的分量
以数域P中的数作为n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间
性质
对应分量相等，则向量相等
向量可相加减
加法交换律，结合律
零向量
分量全为零的向量（0,0,...,0),记为0
负向量
a-b=a+(-b)
数量乘法的运算规则
k(a+b)=ka+kb
(k+l)a=ka+la
k(la）=(kl)a
1a=a
3. 线性相关性
线性组合
向量a称为向量组的一个线性组合，如果有数域P中的数，使（a可以经向量线性表出）
零向量是任一向量组的线性组合
n维单位向量
任一个n维向量都是向量组的一个线性组合，因为，向量称为n维单位向量
等价
两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价
自反性
对称性
传递性
等价的性质
线性相关
如果向量组（s³2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关
任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的
三个向量线性相关的几何意义就是他们共面
向量组（s³1）称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数使
部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关
两个成比例的向量是线性相关
向量组a线性相关就表示a=0
n维单位向量组成的向量组是线性无关的
向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解
设与是两个向量组，if向量组可以经线性表出r>s.那么向量组必线性相关
推论：如果向量组可以经线性表出，且向量组线性无关，那么r£n
任意n+1个n维向量必线性相关
两个线性无关的等价的向量组，必含有相同的个数的向量
极大线性无关组
一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，if这个部分组本身是线性无关，并且从这向量组中任意添一个向量（if还有的话），所得的部分向量组都线性相关
一向量组的极大线性无关组都含有相同的个数的向量
4. 矩阵的秩
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩
矩阵A中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩，当A为零矩阵时，A的秩为零
K阶子式
在 sxn 矩阵 A 中任意选定k行和k列,位于这些选定的行和列的交点上的k方个元素按原来的次序所组成的k级行列式,称为A的k阶子式
A的秩=A的行秩=A的列秩
矩阵的初等列变换和初等行变换皆不改变该矩阵的秩，列秩和行秩
推论
矩阵A的秩等于A在初等行变换下的阶梯形矩阵中非零行的数目。
设，则A的列向量组（行向量组）线性相关的充分必要条件是|A|=0，线性无关的充分必要条件是|A|¹0
5. 线性方程组有解判别定理
线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩
6. 线性方程组解的结构
齐次线性方程组的解的集合的性质
两个解的和还是方程组的解
一个解的倍数还是方程组的解
基础解系
奇次线性方程组的一组解称为它的一个基础解系，如果
1）奇次线性方程组的任一个解都能表成的线性组合
2）线性无关
不是唯一的
任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系
在齐次线性方程组有非零解（|A=0|）的情况下，它有基础解系，并且基础解系的个数等于n-r，r为系数矩阵的秩
也就是自由未知量的个数
如果是线性方程组（1）的一个特解，那么线性方程组（1）的任一个解¡都可以表成
h是导出组的一个解
在线性方程组有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解
关系
线解-线解=导出组的解
齐次线性方程组的解
线解+导出解的解=线解
如果全为0，就线性无关
if阶梯形方程组r(方程的个数)=n(未知量的个数)，则方程组有唯一的解，r<n方程组有无穷多解
