8.8 初中数学：认识概率

苏教版八年级下册第二章《认识概率》知识点梳理，分享给你！本图的内容包含：①确定事件与随机时间；②可能性的大小；③频率与概率等内容，内容详细，贴合教材和考试重点！有需要的朋友收藏哦！

8.9 中心对称图形—平行四边形

• 图形的旋转
  • 旋转概念
    • 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转
      • 这个定点称为旋转中心
      • 旋转的角度称为旋转角
    • 图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置
      • 点A经过旋转变成点A'，这两个点叫做这个旋转的对应点
  • 旋转三要素
    • 旋转中心
    • 旋转方向
      • 顺时针
      • 逆时针
    • 旋转角度
      • 对应点和旋转轴中心所连线段的夹角等于旋转角
      • 旋转角的顶点为旋转中心
  • 旋转的性质
    • 一个图形和它经过旋转所得到的图形中
      • 对应点到旋转中心距离相等
      • 对应点分别与旋转中心连线所成的角相等
      • 旋转前后，图形全等
  • 旋转作图
    • 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形
    • 作图步骤
      • 连接图形中的每一个关键点与旋转中心
      • 把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）
        • 以旋转中心为圆心，连接特殊点与旋转中心所得的线段长为半径画圆
      • 在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点
      • 连接所得到的各对应点
    • 旋转中心确定方法
      • 在图形上
        • 哪一个点在旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心
      • 在图形外
        • 对应点的连线的垂直平分线的交点就是旋转中心
• 中心对称与中心对称图形
  • 中心对称
    • 一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称
      • 这个点叫作对称中心
      • 这两个图形中的对应点叫作关于对称中心的对称点
    • • 有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同
      • 将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合
  • 性质
    • 具有图形旋转的一切性质
    • 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分
  • 中心对称图形
    • 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心
      • 线段是中心对称图形，对称中心是它的中点
    • • 中心对称图形指的是一个图形
      • 线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形
      • 中心对称图形是特殊的旋转对称图形
        • 旋转角度为180°
  • 中心对称图形的画法
    • 1.在图形中找到各线段的端点，如点A，B，C，然后作出这些点关于对称中心O的对称点
    • 2.按原图形中点的连接顺序将对称点相应的连接起来
  • 中心对称与中心对称图形的区别与联系
    • 区别
      • 中心对称
        • 是针对两个图形而言的
        • 是指两个图形的位置关系
      • 中心对称图形
        • 是针对一个图形而言的
        • 是指具有某种性质的一个图形
    • 联系
      • 都是通过把图形旋转180°重合来定义的
      • 两者可以相互转化（部分与整体）
  • 关于原点对称的点的坐标
    • 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点的对称点为P（-x,-y）
• 平行四边形
  • 定义
    • 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
  • 表示
    • 平行四边形用符号“▱”表示；平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
    • • 边
        • 对边
          • 2对
        • 邻边
          • 4对
      • 角
        • 对角
          • 2对
        • 邻角
          • 4对
      • 对角线
        • 2条
  • 性质
    • 边
      • 平行四边形两组对边分别平行且相等
    • 角
      • 平行四边形两组对角分别相等，邻角互补
    • 对角线
      • 平行四边形对角线互相平分
    • 对称性
      • 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心
  • 判定
    • 边
      • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
      • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
      • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
    • 角
      • 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
    • 对角线
      • 对角线互相平分的四边形是平行四边形
    • • 这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据
  • 平行四边形面积
    • 平行线间的距离
      • 定义
        • 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离
      • 性质
        • 平行线间的距离处处相等
        • • 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的
          • 都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度
          • 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的
    • 平行四边形面积
      • • 等底等高的平行四边形面积相等
      • 平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图
        • 
      • 平行四边形内任意一个分得的四个三角形，其中相对的两组三角形面积之和相等
        • 
  • 反证法
    • 定义
      • 一种间接证明的方法。不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立
    • 步骤
      • 1.假设结论不成立
      • 2.从假设出发推出矛盾
        • 推出矛盾，可以与已知条件矛盾，也可以与定义、定理、公理、性质等矛盾
      • 3.假设不成立，则结论成立
• 特殊的平行四边形
  • 矩形
    • 定义
      • 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也叫长方形
      • • 矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件
    • 性质
      • 具有平行四边形的一切性质
      • 特殊
        • 角
          • 矩形的四个角都是直角
        • 对角线
          • 矩形的对角线相等
      • 对称性
        • 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形
    • 判定
      • 角
        • 有一个角是直角的平行四边形是矩形
        • 三个角是直角的四边形是矩形
      • 对角线
        • 对角线相等的平行四边形是矩形
      • • 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形
    • 面积
  • 菱形
    • 定义
      • 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
      • • 菱形是一个平行四边形，然后增加一组邻边相等这个特殊条件
    • 性质
      • 具有平行四边形的一切性质
      • 特殊
        • 边
          • 菱形的四条边都相等
        • 对角线
          • 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
      • 对称性
        • 菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形
    • 判定
      • 边
        • 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
        • 四边相等的四边形是菱形
      • 对角线
        • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    • 面积
      • • 菱形的面积等于它的对角线之积的一半
          • 四个小直角三角形面积之和
          • 一个小直角三角形面积的4倍
        • 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半
  • 正方形
    • 定义
      • 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
    • 性质
      • 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质
      • 边
        • 四边相等
        • 邻边垂直
        • 对边平行
      • 角
        • 四个角都是直角
      • 对角线
        • 相等
        • 互相垂直平分
        • 每条对角线平分一组对角
      • 对称性
        • 既是轴对称图形，也是中心对称图形
    • 判定
      • 思路
        • 先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）
        • 先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）
      • 方法
        • 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
        • 有一组邻边相等的矩形
        • 有一个角是直角的菱形
    • 面积
  • 关系
    • 
    • 
  • 顺次连接（特殊）平行四边形各边中点得到的四边形的形状
    • 顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
    • 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
    • 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
    • 顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形
    • • 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成
      • 若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形
      • 若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形
      • 若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形
• 三角形的中位线
  • 定义
    • 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线
  • 中位线与中线
    • 中线是顶点与对边中点的连线
    • 中位线是中点与中点的连线
  • 三角形中位线定理
    • 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
    • 
      • 三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系
      • 三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的1/2，每个小三角形的面积为原三角形面积的1/4

中心对称图形—平行四边形

• 图形的旋转
  • 旋转概念
    • 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转
      • 这个定点称为旋转中心
      • 旋转的角度称为旋转角
    • 图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置
      • 点A经过旋转变成点A'，这两个点叫做这个旋转的对应点
  • 旋转三要素
    • 旋转中心
    • 旋转方向
      • 顺时针
      • 逆时针
    • 旋转角度
      • 对应点和旋转轴中心所连线段的夹角等于旋转角
      • 旋转角的顶点为旋转中心
  • 旋转的性质
    • 一个图形和它经过旋转所得到的图形中
      • 对应点到旋转中心距离相等
      • 对应点分别与旋转中心连线所成的角相等
      • 旋转前后，图形全等
  • 旋转作图
    • 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形
    • 作图步骤
      • 连接图形中的每一个关键点与旋转中心
      • 把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）
        • 以旋转中心为圆心，连接特殊点与旋转中心所得的线段长为半径画圆
      • 在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点
      • 连接所得到的各对应点
    • 旋转中心确定方法
      • 在图形上
        • 哪一个点在旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心
      • 在图形外
        • 对应点的连线的垂直平分线的交点就是旋转中心

中心对称图形—平行四边形

• 中心对称与中心对称图形
  • 中心对称
    • 一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称
      • 这个点叫作对称中心
      • 这两个图形中的对应点叫作关于对称中心的对称点
    • • 有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同
      • 将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合
      • 全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的
  • 性质
    • 具有图形旋转的一切性质
    • 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分
  • 中心对称图形
    • 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心
      • 线段是中心对称图形，对称中心是它的中点
    • • 中心对称图形指的是一个图形
      • 线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形
      • 中心对称图形是特殊的旋转对称图形
        • 旋转角度为180°
  • 中心对称图形的画法
    • 1.在图形中找到各线段的端点，如点A，B，C，然后作出这些点关于对称中心O的对称点
    • 2.按原图形中点的连接顺序将对称点相应的连接起来
  • 中心对称与中心对称图形的区别与联系
    • 区别
      • 中心对称
        • 是针对两个图形而言的
        • 是指两个图形的位置关系
      • 中心对称图形
        • 是针对一个图形而言的
        • 是指具有某种性质的一个图形
    • 联系
      • 都是通过把图形旋转180°重合来定义的
      • 两者可以相互转化（部分与整体）
  • 关于原点对称的点的坐标
    • 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点的对称点为P（-x,-y）

中心对称图形—平行四边形

• 平行四边形
  • 定义
    • 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
  • 表示
    • 平行四边形用符号“▱”表示；平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
    • • 边
        • 对边
          • 2对
        • 邻边
          • 4对
      • 角
        • 对角
          • 2对
        • 邻角
          • 4对
      • 对角线
        • 2条
  • 性质
    • 边
      • 平行四边形两组对边分别平行且相等
    • 角
      • 平行四边形两组对角分别相等，邻角互补
    • 对角线
      • 平行四边形对角线互相平分
    • 对称性
      • 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心
  • 判定
    • 边
      • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
      • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
      • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
    • 角
      • 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
    • 对角线
      • 对角线互相平分的四边形是平行四边形
    • • 这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据

中心对称图形—平行四边形

• 平行四边形
  • 平行四边形面积
    • 平行线间的距离
      • 定义
        • 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离
      • 性质
        • 平行线间的距离处处相等
        • • 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的
          • 都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度
          • 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的
    • 平行四边形面积
      • • 等底等高的平行四边形面积相等
      • 平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图
        • 
      • 平行四边形内任意一个分得的四个三角形，其中相对的两组三角形面积之和相等
        • 
  • 反证法
    • 定义
      • 一种间接证明的方法。不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立
    • 步骤
      • 1.假设结论不成立
      • 2.从假设出发推出矛盾
        • 推出矛盾，可以与已知条件矛盾，也可以与定义、定理、公理、性质等矛盾
      • 3.假设不成立，则结论成立

中心对称图形—平行四边形

• 特殊的平行四边形
  • 矩形
    • 定义
      • 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也叫长方形
      • • 矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件
    • 性质
      • 具有平行四边形的一切性质
      • 特殊
        • 角
          • 矩形的四个角都是直角
        • 对角线
          • 矩形的对角线相等
      • 对称性
        • 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形
    • 判定
      • 角
        • 有一个角是直角的平行四边形是矩形
        • 三个角是直角的四边形是矩形
      • 对角线
        • 对角线相等的平行四边形是矩形
      • • 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形
    • 面积
  • 菱形
    • 定义
      • 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
      • • 菱形是一个平行四边形，然后增加一组邻边相等这个特殊条件
    • 性质
      • 具有平行四边形的一切性质
      • 特殊
        • 边
          • 菱形的四条边都相等
        • 对角线
          • 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
      • 对称性
        • 菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形
    • 判定
      • 边
        • 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
        • 四边相等的四边形是菱形
      • 对角线
        • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    • 面积
      • • 菱形的面积等于它的对角线之积的一半
          • 四个小直角三角形面积之和
          • 一个小直角三角形面积的4倍
        • 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半

中心对称图形—平行四边形

• 特殊的平行四边形
  • 正方形
    • 定义
      • 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
    • 性质
      • 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质
      • 边
        • 四边相等、邻边垂直、对边平行
      • 角
        • 四个角都是直角
      • 对角线
        • 对角线相等、互相垂直平分
        • 每条对角线平分一组对角
      • 对称性
        • 既是轴对称图形，也是中心对称图形
    • 判定
      • 思路
        • 先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）
        • 先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）
      • 方法
        • 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
        • 有一组邻边相等的矩形
        • 有一个角是直角的菱形
    • 面积
  • 关系
    • 
    • 
  • 连接各边中点得到的新四边形的形状
    • 顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
    • 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
    • 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
    • 顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形
    • • 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成
      • 若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形
      • 若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形
      • 若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形