初中数学：分式

苏教版初二下学期第四章《分式》相关知识点梳理！本思维导图的内容包含：分式的基本性质、分式的乘除、分式的加减、分式方程等四部分内容，贴合教材考点，知识点详细、逻辑清晰、便于理解记忆！希望对你有所帮助！

8.10 分式

• 分式
  • 1. 概念
    • 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式A/B叫作分式
      • A是分式的分子，B是分式的分母
      • 判定一个代数式是否为分式，不能把原式变形（如约分），而只能根据原式判断
    • 三个条件缺一不可
      • 1.的形式
      • ２.A和B都是整式
      • 3.B中含有字母
    • 分数与分式
      • 联系
        • 由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性
        • 分数是分式中字母取特定值后的特殊情况
      • 区别
        • 分数是整式，不是分式；分式是两个整式相除的商
        • 分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母
  • 2. 分式有意义的条件
    • 当B≠0时，分式才有意义
    • 分式无意义的条件
      • 分母等于零
    • • 分式有无意义与分母有关，但与分子无关
  • 3. 分式的值
    • 分式的值随分式中字母的取值的变化而变化
    • • 必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值
  • 4. 分式的值为0的条件
    • 当A=0且B≠0，分式=0
• 分式的基本性质
  • 1. 基本性质
    • 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。即，，Ｃ是不等于０的整式
    • 表示
      • ，
        • Ｃ是不等于０的整式
    • • 其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调
      • C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件
      • 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化
        • ，在变形后，字母x的取值范围变大了
  • 2. 分式的变号法则
    • 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号
      • 改变其中任何两个，分式的值不变
      • 改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数
  • 3. 约分与最简分式
    • 约分
      • 根据分式的性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫作分式的约分
      • • 类比分数的约分
        • 公因式
          • 分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积
        • 当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分
    • 约分的步骤
      • ①把分式的分子和分母分解因式
      • ②约去分子与分母的公因式
    • 最简分式
      • 分子与分母只有公因式１的分式叫作最简分式
    • • 约分的实质是将一个分式化成最简分式
      • 约分后，分式的分子与分母再没有公因式
      • 约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式
  • 4. 分式的通分
    • 定义
      • 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分，变形后的分母叫作这几个分式的公分母
      • • 类比分数的通分
        • 通分的关键是确定各分式的最简公分母
    • 最简公分母
      • 几个分式中各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫作这几个分式的最简公分母
    • 确定分式的最简公分母的步骤
      • ①取各分式的分母中系数的最小公倍数
      • ②各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到
      • ③相同字母（或因式）的幂取指数最大的
      • ④所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母
    • 通分的关键
      • 是确定几个分式的最简公分母，然后利用分式的基本性质将它们进行适当的变形
  • • 约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言
• 分式的乘除
  • 分式的乘除法
    • 分式乘法
      • 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
      • 字母表示
        • 
          • 其中a、b、c、d是整式，bd≠0
      • • 能约分的要约分，分式的分子、分母能够分解因式的应先分解因式，运算结果一个为最简分式或整式
        • 整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分
    • 分式的除法
      • 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
      • 字母表示
        • 
          • 其中a、b、c、d是整式，bcd≠0
    • • 分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式
  • 分式的乘方
    • 分式的乘方是把分子、分母分别乘方
    • 字母表示
      • 
        • n为正整数
    • • 分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成
      • 分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负
      • 在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分
• 分式的加减
  • 1. 同分母分式的加减
    • 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减
    • 字母表示
      • 
    • • “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号
        • 当分子是单项式时，括号可以省略
        • 当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误
      • 所得结果要化简成最简分式或整式
  • 2. 异分母分式的加减
    • 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，再加减
    • 字母表示
      • 
    • • 异分母分式加减法的一般步骤
        • ①通分
        • ②进行同分母分式的加减运算
        • ③把结果化成最简分式
      • 分式的混合运算
        • 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的
• 分式方程
  • 1. 定义
    • 分母中含未知数的方程叫作分式方程
    • • 重要特征
        • ①是等式
        • ②方程里含有分母
        • ③分母中含有未知数
      • 分式方程与整式方程
        • 区别
          • 在于分母中是否有未知数
            • 分母中含有未知数的方程是分式方程
            • 分母中不含有未知数的方程是整式方程
        • 联系
          • 分式方程可以转化为整式方程
  • 2. 分式方程的解法
    • 基本思想
      • 将分式方程转化为整式方程
    • 转化方法
      • 方程两边都乘以最简公分母，去掉分母
  • 3. 增根
    • 使最简公分母为０的根叫做方程的增根
    • 产生增根的原因
      • 去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零
      • • 对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根
        • 因为解分式方程时，在去分母这一步变形时，有时可能会产生增根，所以解分式方程时必须通过检验来验根
  • 4. 解分式方程的步骤
    • 去分母，把分式方程化为整式方程→解整式方程→检验
    • 检验分式方程解的方法
      • 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解
  • 列分式方程解应用题的步骤
    • ①审题，了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系。分清已知量与未知量
    • ②设未知数
    • ③根据题意寻找已知的或隐含的等量关系
    • ④列分式方程
    • ⑤解这个分式方程
    • ⑥检验，是否是增根
    • ⑦写出答案