第一章：极限知识点总结

考研数学二笔记，每学完一章的回顾总结。

第二节 极限

• 基本概念
  • 数列极限
    • 定义:对于任意ε>0，ꓱN>0,当n>N时，|an-A|<ε
    • 利用定义证明极限存在
  • 函数极限
    • 定义：，对于任意ε>0，ꓱδ>0,当0<|x-a|时,|f(x)-A|<ε
    • 左右有别
      • 当x->a时，x->a+,x->a-，但x≠a
      • 函数极限存在定理：左右极限存在且相等
      • 当x->a时，若极限中(x-a)或(a-x)在分母位置，一定要考虑左右极限
    • 在某点的函数极限值与该点的函数值无关
  • 无穷小概念
    • 定义：某一点的函数极限值为0
    • 无穷小的比较α->0，β->0：
      • 高阶无穷小：，β为α的高阶无穷小，β=0(α)
      • 同阶无穷小：
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      • 等价无穷小：
        • 
• 性质
  • 一般性质
    • 唯一性：极限存在必唯一
    • 保号性
      • 函数极限正，则函数取心邻域为正
      • 函数不负（不正），函数极限不负（不正）
      • 函数大小次序与极限大小次序一样
    • 有界性
      • 数列有界
        • 收敛一定有界，反之错误，因为limsinnx有界，但不收敛
        • 所有子列有界是数列有界的充要条件
      • 函数有界：局部有界（|f(x)|≤M）
  • 运算性质
    • 在极限存在的情况下，极限的加减乘除就是极限值的加减乘除
  • 无穷小性质
    • 有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小
    • 有界函数与无穷小的积仍是无穷小
    • limf(x)=A的充要条件是f(x)=A+α,其中α->0
• 存在准测
  • 夹逼准测
  • 单调增有上界
  • 单调减有下界
• 常用的等价无穷小:x->0
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• 两个重要极限
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• 连续与间断
  • 基本概念
    • 在x=a处连续：
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    • 在[a,b]内连续：
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  • 分类
    • 第一类间断点
      • 可去间断点：,且f(x)≠a,或者在x=a处不存在
      • 跳跃间断点：左极限≠右极限，但在该点，左右极限都存在
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点：只要有一方的极限是无穷，就是无穷间断点。
      • 震荡间断点
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 最值定理：闭区间连续函数必有最大最小值
    • 有界：闭区间连续函数在该区间必有界，m≤f(x)≤M
    • 零点定理：x∈[a,b]，若f(a)f(b)<0，则存在c∈(a,b)，使得f(c)=0
    • 介值定理（有函数加减常用）：x∈[a,b],对任意μ属于[m,M]，存在ξ属于(a,b)，使得f(ξ)=μ