导图社区 第一章:极限题型
考研数二笔记,做完一章习题之后的总结。
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第一章 极限题型
题型一 概念、性质题:选择题
函数、数列定义知识点:考充分必要条件
数列极限的性质知识点
有界性:子列与数列的有界无界问题
注意:举反例常用数列分段、取0,上下波动数列等
函数极限与数列极限的关系
有界性
函数有界:自变量单调有界
{an}单调,f(x)有界,则{f(an)}收敛
举反例:常函数、分段函数、上下波动函数
题型二 左右极限
函数的存在性问题
分段函数极限存在,求参数问题
注意:绝对值、分母、指数函数、[x]取整函数
题型三 不定型极限计算

等价替换
换元:主要用于∞/∞
洛必达:实在无法化简了,还是0比0,就用洛必达吧
麦克劳林展开式
∞-∞
有分母则通分,再使用以上技巧
没有分母创造分母,再恒等变形
有根号则有理化
换元
注意:
开根号需注意正负符号
分子、分母不同次幂,则看带头大哥
题型四 n项和或n项积
先求和、求积——>再极限
叠加:拆分、化简、求极限
叠乘:找规律、消元(化简)、求极限
夹逼定理
分子分母次幂不齐
定积分定义无效
放缩法
等差n项和:
等比n项和:
定积分定义
夹逼准则无效
分字次幂齐、分母也齐,分母多一次
定义:
换元有三换
没有1/n,创造1/n再配其他
题型五 极限存在性问题
单调
数学归纳法
+
有界
一般用数学归纳法
注意与定积分结合
题型六 含参数问题
已知极限求参数
注意:上下同阶极限才会存在
题型七 中值定理求极限
定义:拉氏中值 f(b)-f(a)=f`(ξ)(b-a)
多数使用洛必达
题型八 含变限积分的函数极限
换元:记得有三换
化到最简用洛必达
分子分母一起太复杂,可以分开同时除以一个x的n次幂,以便计算
题型九 间断点及其分类
第一类
可去间断点
跳跃间断点
第二类
除了以上两类都算
注意左右极限,函数无定义的点