第一章：极限题型

考研数二笔记，做完一章习题之后的总结。

第一章 极限题型

• 题型一 概念、性质题：选择题
  • 函数、数列定义知识点：考充分必要条件
  • 数列极限的性质知识点
    • 有界性：子列与数列的有界无界问题
    • 注意：举反例常用数列分段、取0，上下波动数列等
  • 函数极限与数列极限的关系
    • 有界性
      • 函数有界：自变量单调有界
      • {an}单调,f(x)有界，则{f(an)}收敛
    • 举反例：常函数、分段函数、上下波动函数
• 题型二 左右极限
  • 函数的存在性问题
  • 分段函数极限存在，求参数问题
  • 注意：绝对值、分母、指数函数、[x]取整函数
• 题型三 不定型极限计算
  • 
    • 等价替换
    • 换元：主要用于∞/∞
    • 洛必达：实在无法化简了，还是0比0，就用洛必达吧
    • 麦克劳林展开式
  • 
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 
  • ∞-∞
    • 有分母则通分，再使用以上技巧
    • 没有分母创造分母，再恒等变形
    • 有根号则有理化
    • 换元
  • 注意：
    • 开根号需注意正负符号
    • 分子、分母不同次幂，则看带头大哥
    • 
    • 
• 题型四 n项和或n项积
  • 先求和、求积——>再极限
    • 叠加：拆分、化简、求极限
    • 叠乘：找规律、消元（化简）、求极限
  • 夹逼定理
    • 分子分母次幂不齐
    • 定积分定义无效
    • 注意：
      • 放缩法
      • 等差n项和：
      • 等比n项和：
  • 定积分定义
    • 夹逼准则无效
    • 分字次幂齐、分母也齐，分母多一次
    • 定义：
    • 注意：
      • 换元有三换
      • 没有1/n，创造1/n再配其他
      • 
• 题型五 极限存在性问题
  • 单调
    • 
      • 
      • 
      • 
    • 数学归纳法
  • +
  • 有界
    • 一般用数学归纳法
  • 注意与定积分结合
• 题型六 含参数问题
  • 已知极限求参数
    • 
    • 
    • 注意：上下同阶极限才会存在
• 题型七 中值定理求极限
  • 定义：拉氏中值 f(b)-f(a)=f`(ξ)(b-a)
  • 多数使用洛必达
• 题型八 含变限积分的函数极限
  • 换元：记得有三换
  • 化到最简用洛必达
  • 分子分母一起太复杂，可以分开同时除以一个x的n次幂，以便计算
• 题型九 间断点及其分类
  • 第一类
    • 可去间断点
    • 跳跃间断点
  • 第二类
    • 除了以上两类都算
  • 注意左右极限，函数无定义的点