7.2 有理数

苏科版初中数学七年级上册第2章《有理数》知识点梳理，包含：1.正数与负数 2.有理数与无理数 3.数轴 4.绝对值与相反数 5.有理数的加法与减法 6.有理数的乘法与除法 7.有理数的乘方（乘方和科学计数法） 8.有理数的混合运算。

有理数

• 正数与负数
  • 正数和负数
    • 正数：比0大的数
      • “+”读作“正”，如“+2”读作“正2”，正号通常省略不写
    • 负数：比0小的数
      • “-”读作“负”，如“-2”读作“负2”，负号不能省略
    • 0既不是正数，也不是负数
  • 用正负数表示具有相反意义的量
    • 具有相反意义的量
      • 相反意义的量是指两个量，它们所表示的意义恰好相反
        • ①有相反的意义
        • ②有数量
      • • 单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的
        • 具有相反意义的量必须是同类量
          • 如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量
        • 具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等
          • 如：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等
    • 表示
      • 当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示
      • 描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词
        • 上升和下降
        • 增加和减少
        • 盈利和亏损
        • 收入和支出
        • 向南和向北
  • 整数与分数
    • 整数
      • 正整数
      • 0
      • 自然数
      • 负整数
    • 分数
      • 正分数
      • 负分数
    • • 正数和零统称为非负数
      • 负数和零统称为非正数
      • 正整数和零统称为非负整数（自然数）
      • 负整数和零统称为非负整数
  • 用正、负数表示误差范围
    • 一般情况下，我们常用“a±x”这种形式来表示误差范围
      • a:表示标准数量
      • ±x表示在标准数量的基础上误差范围
• 有理数与无理数
  • 有理数的概念和分类
    • 定义
      • 能写成分数形式m/n（m,n是整数。n≠0）的数叫作有理数
      • • 有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数
        • 所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数
  • 无理数
    • 定义
      • 无限不循环小数叫作无理数
    • 无理数类型
      • 含有π的
      • 小数形式无规律的无限小数
      • 小数形式有规律但不循环的无限小数
  • 小数
    • 有限小数
    • 无限小数
      • 无限循环小数
        • 概念
          • 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数
          • 其中重复出现的一个或几个数叫做它的一个循环节
        • 分类
          • 纯循环小数
            • 概念
              • 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数
            • 举例
              • 0．666…
          • 混循环小数
            • 概念
              • 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数
            • 举例
              • ，
        • 小数化分数
          • 纯循环小数
            • 方法
              • 循环节做分子，连写几个9作分母，循环节有几位写几个9
            • 举例
              • 
                • 循环节的位数有一个，所以写一个9
              • 
                • 3位循环节写3个9
          • 混循环小数
            • 方法
              • 小数部分减去不循环的数字作分子，连写几个9再紧接着连写几个0作分母，循环节是几个数就写几个9，不循环（小数部分）的数是几个就写几个0
            • 举例
              • 
      • 无限不循环小数
  • 数的分类
    • 按照定义分
      • 实数
        • 有理数
          • 整数
            • 正整数
            • 零
            • 负整数
          • 分数
            • 正分数
            • 负分数
            • 有限小数或无限循环小数
        • 无理数
    • 按照正负分
      • 正数
        • 正有理数
          • 正整数
          • 正分数
        • 正无理数
      • 零
      • 负数
        • 负有理数
          • 负整数
          • 负分数
        • 负无理数
• 数轴
  • 定义
    • 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴
    • • 数轴是一条可以向两端无限延伸的直线
      • 长度单位与单位长度是不同的
        • 单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段
        • 长度单位是为度量线段的长度而制定的单位
          • 有km、m、dm、cm等
    • 数轴三要素
      • 原点
      • 正方向
        • 通常以向右为正方向
      • 单位长度
        • 同一条数轴上，单位长度的大小必须统一
      • 原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动
  • 画法
    • ①画一条直线（通常画成水平位置）
    • ②在这条直线上取一点为原点
      • 原点表示0
    • ③确定正方向
      • 规定直线上向右为正方向，画上箭头
    • ④选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上正数；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上负数
  • • 数轴上的点与有理数、无理数的关系
      • 所有有理数、无理数都可以用数轴上的点来表示
      • 表示0的点在原点上，表示正数的点在原点的右边，表示负数的点在原点的左边
    • 比较数的大小
      • 在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大
      • 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数
• 绝对值与相反数
  • 绝对值
    • 定义
      • 数轴上表示一个数的点与原点的距离叫作这个数的绝对值
      • • 绝对值是“距离”，表示一个数的点离原点远近
        • 数a的绝对值记做lal
        • la-bl表示数a、数b对应的两点之间的距离
    • 绝对值性质
      • 正数的绝对值是它本身
      • 负数的绝对值是它的相反数
      • 0的绝对值是0
      • • 绝对值的非负性：lal≥0
          • lal=
            • a（a＞0）
            • 0（a=0）
            • -a（a＜0）
        • 绝对值的几何意义
          • 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离
          • 离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小
    • 利用绝对值比较大小
      • 离原点越远的数，绝对值越大
      • 两个正数，绝对值大的正数大
      • 两个负数，绝对值大的负数反而小
  • 相反数
    • 定义
      • 符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数。
      • • 相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数
        • a,b互为相反数
          • a是b的相反数
          • b是a的相反数
    • 表示方法
      • 表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“-”
      • • 3的相反数是-3
        • -3的相反数可以表示为-（-3），而-3的相反数就是3，即有-（-3）=3
    • 多重符号化简的规律
      • “+”号的个数不影响化简的结果，由数字前面“-”号的个数来确定
      • “-”
        • 若一个数前面有偶数个“-”号，其结果为正
        • 若一个数前面有奇数个“-”号，其结果为负
      • • 在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同
          • 如＋5＝5，＋（－5）＝－5
        • 在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数
          • 如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3
    • 性质
      • 任何数都有相反数，且只有一个
        • 正数的相反数是负，
        • 负数的相反数是正数
        • 0的相反数是0
      • • 互为相反数的两个数，和为0
          • a,b互为相反数
            • a+b=0
        • 互为相反数的两个数分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等
• 有理数的加法与减法
  • 有理数加法
    • 定义
      • 把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法
    • 法则
      • ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
      • ②异号两数相加
        • 绝对值相等时，和为0
        • 绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
      • ③一个数与0相加，仍得这个数
    • 步骤
      • ①一辨
        • 看符号，同号还是异号
      • ②二定
        • 定符号，同号取号，异号，看绝对值大小
      • ③三求
        • 求绝对值
    • 规律
      • ①同号相加，绝对值加不变号
      • ②异号相加，绝对值“大”减“小”，符号跟着大的跑
      • ③互为相反数求和，结果是0
    • 有理数加法运算律
      • ①加法交换律
        • 两个数相加，交换加数位置，和不变
          • a+b=b+a
          • 交换加数的位置时，不要忘记符号
      • ②加法结合律
        • 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
          • (a+b)+c=a+(b+c)
      • 简化运算
        • 把符号相同的数结合在一起
        • 把分母相同的分数结合在一起
        • 把能凑成整数的数结合在一起，互为相反数的结合在一起
  • 有理数减法
    • 法则
      • 减去一个数等于加上这个数的相反数
      • • a-b=a+（-b）
        • 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变
          • 一变是减法变加法
          • 二变是把减数变为它的相反数
        • 
    • 运算的一般步骤
      • ①把减号变加号
      • ②用减数的相反数作为加数
      • ③用有理数加法计算
  • 有理数加减混合运算
    • 将加减法统一成加法运算
    • • 适当应用加法运算律简化计算
      • 负号前面的加号可以省略不写
• 有理数的乘法与除法
  • 有理数乘法
    • 乘法法则
      • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
      • 0与任何数相乘都得0
      • • 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘
        • 当因数中有负号时，必须用括号括起来
          • 如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3
    • 两数相乘的运算步骤
      • 确定符号：同号还是异号，是否有因数为0
      • 把各因数的绝对值相乘
        • ①一个数与1相乘，积仍为这个数
        • ②一个数与-1相乘，积是这个数的相反数
        • ③一个数与0相乘，积为0
    • 多个有理数相乘
      • 几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积是负数
      • 几个数相乘，如果其中有一个因数为0，那么积为0
        • 反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0
    • 有理数乘法运算律
      • ①交换律
        • 两个数相乘，交换因数位置，积不变
          • a*b=b*a
      • ②结合律
        • 三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个因素相乘，积不变
          • (a*b)*c=a*(b*c)
      • ③分配律
        • 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加
          • (a+b)*c=a*c+b*c
      • 注意
        • 在交换因数的位置时，要连同符号一起交换
      • 乘法运算律可推广为
        • 三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘
          • 如abcd＝d(ac)b
        • 一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加
          • 如a(b+c+d)＝ab+ac+ad
    • 倒数
      • 定义
        • 乘积为1的两个数互为倒数
          • 若a,b互为倒数，则ab=1
          • 若ab=1，则a,b互为倒数
          • 注意：0是没有倒数的
        • • 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数
          • 互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)
  • 有理数的除法
    • 有理数除法法则
      • ①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数
        • (b≠0）
      • ②两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
      • ③0除以任何一个不为0的数，都得0
      • 注意
        • 0在任何条件下都不能做除数
  • 有理数的乘除混合运算
    • ①乘除混合运算，先将除法化为乘法→确定积的符号→按从左到右的顺序运算
    • ②结果的符号由算式中负因数的个数决定
      • 负因数的个数是偶数时，结果为正
      • 负因数的个数是奇数时，结果为负
    • ③化成乘法后，应先约分再相乘
  • 有理数的加减乘除混合运算
    • 无括号
      • 先乘除，后加减
    • 有括号
      • 先算括号里的，然后再先乘除后加减
• 有理数的乘方
  • 有理数的乘方
    • 定义
      • 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
        • 乘方运算的结果叫作幂
        • 相同因数叫作底数
        • 相同因数的个数叫作指数
      • a×a×a×......a=an
        • n个a相乘
        • 幂：an
        • 底数：a
        • 指数：n
      • • 乘方与幂不同
          • 乘方是几个相同因数的乘法运算
          • 幂是乘方运算的结果
        • 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来
        • 一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写
    • 运算法则
      • 正数的任何次幂都是正数
      • 0的任何正整数次幂都是0
      • 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
      • 任何一个数的偶次幂都是非负数，即a²≥0
  • 科学计数法
    • 定义
      • 一般地，一个大于10的数，可以写成a×10n 。其中1≤a＜10，n是正整数。这种记数法称为科学记数法
    • 步骤
      • 把原数变成a
        • a是一个小于10且大于等于1的数
      • 确定10的指数n
        • n是比原数的整数位数小1的数
        • n是把原数变成a时，小数点移动的位数
• 有理数的混合运算
  • 三级运算
    • ①加减
    • ②乘除
    • ③乘方
  • 运算顺序
    • 先乘方，再乘除，最后加减。如果有括号，先进行括号内的运算
    • • ①运算顺序，高级到低级，依次进行
      • ②同级运算，按从左往右的顺序进行
      • ③有括号，先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的