高等数学超详细总结

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高等数学

1. 极限与连续

1. 微积分中的极限方法

2. 数列的极限

1. 定义

2. 性质

1. 结论

1.

2.

3.

3. 函数的极限

1. 定义

1.

2. 单侧极限

1. 极限存在的充要条件

1. 左极限与右极限都存在并且相等

1.

2.

3. 两种单向情况

1.

2.

2. 渐近线

2. 性质

4. 极限的运算法则

1. 无穷小与无穷大

1. 无穷小

1. 定义三种情况

1.

2. 无穷小与函数极限的关系

1.

2. 作用：去掉lim符号

3. 定理

1. 有限个无穷小的和还是无穷小

2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

4. 推论

1. 常数与无穷小的乘机仍是无穷小

2. 有限个无穷小的乘积仍是无穷小

2. 无穷大

1. 定义

1.

1. 【被允许这样写，但是极限仍然是不存在】

3. 无穷小与无穷大的关系

1.

2. 极限的运算法则

1. 通用版

1. 【注意前提条件】

2. 有理分式函数

1. 在有限点处的极限

1. 分母极限存在且不为0

1. 除法法则

2. 分母极限不存在

1. 先求倒函数的极限

1. 再运用无穷大与无穷小的关系

2. 在x→∞的极限

1. ∞/∞未定式

1. 方法：抓大头

2. 有理分式结论

1.

3. 复合函数的极限运算法则

1.

5. 极限存在准则与两个重要极限

1. 夹逼准则

1. 数列

1.

2. 函数

1.

3. 结论

1.

2. 单调有界收敛准则

1. 幂指函数的极限

1. 当AB未确定的常数时

1.

2. 1∞

1. 标准格式

1.

2. 一般格式

1.

2. 单调有界数列必收敛

1. 适用于递归数列【递推公式的形式】

2.

6. 无穷小的比较

1. 无穷小的比较

1. 定义

1.

跑的快的是高阶无穷小，跑的慢的是低阶无穷小

2. 常用等价无穷小

1.

2. 注意：在加减法中要慎用

若代换之后的函数等价，则往往要提取公因数

7. 函数的连续性与连续函数的运算

1. 函数的连续性

1.

2. 函数连续证明和题目条件处理

1.

2.

3. 应用

1.

2. 函数的间断点

1. 先判断是否为间断点【任意一个条件成立即可】

1.

1. 再判断间断点分类

1. 左极限与右极限均存在

1. 左极限等于右极限

1. 可去间断点

1.

2. 左极限不等于右极限

1. 跳跃间断点

1.

2. 左极限与右极限至少一个不存在

1. 极限为∞

1. 无穷间断点

1.

2. f(x)振荡取值

1. 振荡间断点

1.

3. 连续函数的运算

1. 函数连续性的运算法则

1.

2. 加减乘除

1.

3. 复合运算

1.

8. 闭区间上连续函数的性质

1. 最大值最小值定理

1.

2. 零点定理与介值定理

1.

2. 介值定理推论

1.

2. 一元函数微分学

1. 导数的概念

1. 导数概念的引出

2. 导数的定义

1. 导数的表示形式

1.

2. 导数的极限定义式

1.

2. 特例

1.

3. 函数f(x)在x0处可导

1. 在x0处极限存在

1.

2.

3. 可导条件处理

左导数等于右导数【用极限定义式表示】

3. 函数的可导性与连续性的关系

1. 可导必连续，连续不一定可导

2. 求导法则

1. 函数的线性组合、积、商的求导法则

1.

2. 反函数的导数

1. 求解反函数的步骤

先反解出x

将x与y对调

标定定义域

2. 反函数的导数等于直接函数导数的倒数

3. 复合函数的导数

1. 剥皮法

2. 幂指函数的求导方法

1. 升幂求导法

2. 两边取对法

4. 具体类型函数求导

1. 三角函数与反三角函数

2. 对数函数

3. 幂函数

4. 指数函数

5. 双曲正余弦函数

6. 变限积分函数

注意

被积函数不能含x，必须只有t才能直接用公式

如果含x，要先想办法把x请出去

5. 高阶导数

1. 特殊函数高阶导数

1.

2.

3.

2. 非特殊：找规律

3. 高阶导数的运算法则

1.

6. 隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数

1. 隐函数的导数

1.

2. 有参数方程确定的函数的导数

1.

3. 相关变化率

3. 函数的微分

1. 微分的定义

2. 微分公式与运算法则

1.

一元函数的可导和可微是等价的

dy=求微分，▲x=dx

2. 微商

3. 复合函数微分法则

微分不变性

3. 微分的意义与应用

4. 微分中值定理

1. 罗尔定理

满足条件

应用

证明拉格朗日中值定理

2. 拉格朗日中值定理

满足条件

应用

两函数值相减的结构可以考虑用拉格朗日中值定理

3. 柯西中值定理

满足条件

5. 泰勒公式

1. 泰勒中值定理

带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式

带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式

带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式

2. 五个常见麦克劳林公式

6. 洛必达法则

1. 0/0未定式和∞/∞未定式

1.

做题的时候先导，导出来发现极限并不存在，此时说明洛必达法则失效了

2.

2. 其他类型的未定式

1. ∞-∞

2. 0*∞

3. 幂指函数形

3. 洛必达法则非万能篇

7. 函数单调性与曲线凹凸性的判别法

1. 函数单调性的判别法

1. 解题步骤

确定区间连续范围

找出导函数等于0的点【驻点】和不可导点（函数究竟可不可导不用判断，有个感觉就行，也可以说找驻点和导函数不存在的点）

分段判断单调性

讨论导函数正负用开区间，单调性用闭区间

闭区间前提是：端点为函数的连续点

2. 曲线的凹凸性及判别法

1. 定义

拐点

在曲线上

为变号 二阶导数 零点

是一个点（x，y）

2. 判定方法

确定区间连续范围

找出函数二阶导数等于0的点和二阶导数（可能）不存在的点

分段判断凹凸性（讨论二阶导函数正负用开区间，凹凸性性用闭区间）

二阶导数大于零，为凹函数

二阶导数小于零，为凸函数

3.

8. 函数的极值与最大、最小值

1. 函数的极值及其求法

1. 找函数极值的解题步骤【是函数单调性判断的进一步】

确定区间连续范围

找出导函数等于0的点【驻点】和可疑不可导点→统称可疑极值点

分段判断单调性

判定极值点（可疑极值点不一定为极值点需要判定）

如果函数在区间内正负性好判断

如果函数在区间内正负性不好判断，且满足：有二阶导数，在可疑极值点二阶导不为0

利用凹凸性来判断极值点

2. 最大值与最小值问题

1. 找函数最值的解题步骤【是函数求极值判断的进一步】

情形一：给定区间内有多个极值点

确定区间连续范围

找出导函数等于0的点【驻点】和可疑不可导点和区间端点→统称可疑最值点

可疑最值点全部代入到函数中，比较函数值的大小

情形二：给定区间内有一个极值点

确定区间连续范围

找出导函数等于0的点【驻点】和可疑不可导点和区间端点→统称可疑最值点

若函数只有唯一极大值点，则极大值为最大值，若函数只有唯一极小值点，则极小值为最小值

3. 一元函数积分学

4. 向量代数与空间解析几何

5. 多元函数微分学

6. 多元函数积分学

重要总结

一重积分

几何意义

曲边梯形面积

物理意义

一维线段质量

二重积分

几何意义

曲顶体积

物理意义

二维薄片质量

三重积分

几何意义

某类四维物体体积

物理意义

三维物体质量

二重积分

三重积分

概念与性质

性质

直角坐标系

体积元素

对称性

偶倍奇零

柱面坐标系

直角坐标系点的坐标与柱面坐标的关系

柱面坐标系下的体积元素

三重积分由直角坐标到极坐标的转换式

球面坐标

定义

直角坐标与球面坐标关系、体积元素

球面坐标对应的特殊曲面或平面

求解三重积分的两个方法

利用直角坐标或者柱面坐标

题目拆解入手点

土豆丝法【坐标面投影法】

识别

不能用土豆片法

计算方法

直角坐标计算【当投影区域的二重积分用直角坐标算更方便】

柱面坐标计算【当投影区域的二重积分用极坐标算更方便】

土豆片法【坐标轴投影法】

识别

被积函数和积分区域完美配合

利用球面坐标

识别

积分区域Ω由特殊位置的球面围成

题目拆解入手点

竖切片法

计算方法

积分次序通常先r后θ再φ

重积分的应用

立体体积

曲面面积

求光滑曲面面积

7. 曲线积分和曲面积分

曲线积分

第一类曲线积分

本质

二维线段/三维线段质量

概念

性质

对称性【判断标准看的是积分弧段L】

偶倍奇零

画出L的图形

二维

三维

轮换对称性

看L的方程表达式

二维

三维

计算方法

化为定积分

1定2代

1定

确定积分上下限，要求上限＞下限

1代

积分弧段等式方程代入被积函数

1转换

将弧长元素转化成积分弧段所用的形式【参数方程/直角坐标...】

求平面曲线的弧长

三个体系的根基

直角坐标体系

参数方程体系

极坐标体系

记忆方法：看成分别对x对y的偏导数

第二类曲线积分

本质

相对于第一类曲线积分而言，函数f(x,y)现在是一个矢量，弧段也是一个有方向的矢量

概念

性质

分段的原因是，在不同的积分弧段，积分弧的函数不一样

计算方法

化为定积分

1定1代

1定

确定积分上下限，下限对应积分弧段起点，上限对应积分弧段终点【积分弧段是有方向的！】

1代

把积分弧段方程代入被积函数和dxdy中

曲面积分

第一类曲面积分

本质

三维薄片质量

概念

性质

对称性【都是针对积分区域来讲的】

偶倍奇零

三维

轮换对称性

三维

计算方法

化为二重积分

一投影

根据积分曲面方程，选择合理的投影方向

Dxy

Dyz

Dxz

一代入

把积分曲面的等式方程，代入被积函数.