高等数学超详细总结

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高等数学

• 1. 极限与连续
  • 1. 微积分中的极限方法
  • 2. 数列的极限
    • 1. 定义
    • 2. 性质
      • 1. 结论
        • 1.
        • 2.
        • 3.
  • 3. 函数的极限
    • 1. 定义
      • 1.
      • 2. 单侧极限
        • 1. 极限存在的充要条件
          • 1. 左极限与右极限都存在并且相等
            • 1.
          • 2.
          • 3. 两种单向情况
            • 1.
            • 2.
        • 2. 渐近线
    • 2. 性质
  • 4. 极限的运算法则
    • 1. 无穷小与无穷大
      • 1. 无穷小
        • 1. 定义三种情况
          • 1.
        • 2. 无穷小与函数极限的关系
          • 1.
          • 2. 作用：去掉lim符号
        • 3. 定理
          • 1. 有限个无穷小的和还是无穷小
          • 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
        • 4. 推论
          • 1. 常数与无穷小的乘机仍是无穷小
          • 2. 有限个无穷小的乘积仍是无穷小
      • 2. 无穷大
        • 1. 定义
          • 1.
            • 1. 【被允许这样写，但是极限仍然是不存在】
      • 3. 无穷小与无穷大的关系
        • 1.
    • 2. 极限的运算法则
      • 1. 通用版
        • 1. 【注意前提条件】
      • 2. 有理分式函数
        • 1. 在有限点处的极限
          • 1. 分母极限存在且不为0
            • 1. 除法法则
          • 2. 分母极限不存在
            • 1. 先求倒函数的极限
              • 1. 再运用无穷大与无穷小的关系
        • 2. 在x→∞的极限
          • 1. ∞/∞未定式
            • 1. 方法：抓大头
            • 2. 有理分式结论
              • 1.
      • 3. 复合函数的极限运算法则
        • 1.
  • 5. 极限存在准则与两个重要极限
    • 1. 夹逼准则
      • 1. 数列
        • 1.
      • 2. 函数
        • 1.
      • 3. 结论
        • 1.
    • 2. 单调有界收敛准则
      • 1. 幂指函数的极限
        • 1. 当AB未确定的常数时
          • 1.
        • 2. 1∞
          • 1. 标准格式
            • 1.
          • 2. 一般格式
            • 1.
      • 2. 单调有界数列必收敛
        • 1. 适用于递归数列【递推公式的形式】
        • 2.
  • 6. 无穷小的比较
    • 1. 无穷小的比较
      • 1. 定义
        • 1.
          • 跑的快的是高阶无穷小，跑的慢的是低阶无穷小
    • 2. 常用等价无穷小
      • 1.
      • 2. 注意：在加减法中要慎用
        • 若代换之后的函数等价，则往往要提取公因数
  • 7. 函数的连续性与连续函数的运算
    • 1. 函数的连续性
      • 1.
      • 2. 函数连续证明和题目条件处理
        • 1.
        • 2.
      • 3. 应用
        • 1.
    • 2. 函数的间断点
      • 1. 先判断是否为间断点【任意一个条件成立即可】
        • 1.
          • 1. 再判断间断点分类
            • 1. 左极限与右极限均存在
              • 1. 左极限等于右极限
                • 1. 可去间断点
                  • 1.
              • 2. 左极限不等于右极限
                • 1. 跳跃间断点
                  • 1.
            • 2. 左极限与右极限至少一个不存在
              • 1. 极限为∞
                • 1. 无穷间断点
                  • 1.
              • 2. f(x)振荡取值
                • 1. 振荡间断点
                  • 1.
    • 3. 连续函数的运算
      • 1. 函数连续性的运算法则
        • 1.
        • 2. 加减乘除
          • 1.
        • 3. 复合运算
          • 1.
  • 8. 闭区间上连续函数的性质
    • 1. 最大值最小值定理
      • 1.
    • 2. 零点定理与介值定理
      • 1.
      • 2. 介值定理推论
        • 1.
• 2. 一元函数微分学
  • 1. 导数的概念
    • 1. 导数概念的引出
    • 2. 导数的定义
      • 1. 导数的表示形式
        • 1.
      • 2. 导数的极限定义式
        • 1.
        • 2. 特例
          • 1.
      • 3. 函数f(x)在x0处可导
        • 1. 在x0处极限存在
          • 1.
        • 2.
        • 3. 可导条件处理
          • 左导数等于右导数【用极限定义式表示】
    • 3. 函数的可导性与连续性的关系
      • 1. 可导必连续，连续不一定可导
  • 2. 求导法则
    • 1. 函数的线性组合、积、商的求导法则
      • 1.
    • 2. 反函数的导数
      • 1. 求解反函数的步骤
        • 先反解出x
        • 将x与y对调
        • 标定定义域
      • 2. 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
    • 3. 复合函数的导数
      • 1. 剥皮法
      • 2. 幂指函数的求导方法
        • 1. 升幂求导法
        • 2. 两边取对法
    • 4. 具体类型函数求导
      • 1. 三角函数与反三角函数
      • 2. 对数函数
      • 3. 幂函数
      • 4. 指数函数
      • 5. 双曲正余弦函数
      • 6. 变限积分函数
        • 注意
          • 被积函数不能含x，必须只有t才能直接用公式
          • 如果含x，要先想办法把x请出去
    • 5. 高阶导数
      • 1. 特殊函数高阶导数
        • 1.
        • 2.
        • 3.
      • 2. 非特殊：找规律
      • 3. 高阶导数的运算法则
        • 1.
    • 6. 隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数
      • 1. 隐函数的导数
        • 1.
      • 2. 有参数方程确定的函数的导数
        • 1.
      • 3. 相关变化率
  • 3. 函数的微分
    • 1. 微分的定义
    • 2. 微分公式与运算法则
      • 1.
        • 一元函数的可导和可微是等价的
        • dy=求微分，▲x=dx
      • 2. 微商
      • 3. 复合函数微分法则
        • 微分不变性
    • 3. 微分的意义与应用
  • 4. 微分中值定理
    • 1. 罗尔定理
      • 满足条件
      • 应用
        • 证明拉格朗日中值定理
    • 2. 拉格朗日中值定理
      • 满足条件
      • 应用
        • 两函数值相减的结构可以考虑用拉格朗日中值定理
    • 3. 柯西中值定理
      • 满足条件
  • 5. 泰勒公式
    • 1. 泰勒中值定理
      • 带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式
      • 带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式
      • 带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式
      • 带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式
    • 2. 五个常见麦克劳林公式
  • 6. 洛必达法则
    • 1. 0/0未定式和∞/∞未定式
      • 1.
        • 做题的时候先导，导出来发现极限并不存在，此时说明洛必达法则失效了
      • 2.
    • 2. 其他类型的未定式
      • 1. ∞-∞
      • 2. 0*∞
      • 3. 幂指函数形
    • 3. 洛必达法则非万能篇
  • 7. 函数单调性与曲线凹凸性的判别法
    • 1. 函数单调性的判别法
      • 1. 解题步骤
        • 确定区间连续范围
        • 找出导函数等于0的点【驻点】和不可导点（函数究竟可不可导不用判断，有个感觉就行，也可以说找驻点和导函数不存在的点）
        • 分段判断单调性
          • 讨论导函数正负用开区间，单调性用闭区间
            • 闭区间前提是：端点为函数的连续点
    • 2. 曲线的凹凸性及判别法
      • 1. 定义
        • 拐点
          • 在曲线上
          • 为变号 二阶导数 零点
          • 是一个点（x，y）
      • 2. 判定方法
        • 确定区间连续范围
        • 找出函数二阶导数等于0的点和二阶导数（可能）不存在的点
        • 分段判断凹凸性（讨论二阶导函数正负用开区间，凹凸性性用闭区间）
          • 二阶导数大于零，为凹函数
          • 二阶导数小于零，为凸函数
    • 3.
  • 8. 函数的极值与最大、最小值
    • 1. 函数的极值及其求法
      • 1. 找函数极值的解题步骤【是函数单调性判断的进一步】
        • 确定区间连续范围
        • 找出导函数等于0的点【驻点】和可疑不可导点→统称可疑极值点
        • 分段判断单调性
        • 判定极值点（可疑极值点不一定为极值点需要判定）
          • 如果函数在区间内正负性好判断
          • 如果函数在区间内正负性不好判断，且满足：有二阶导数，在可疑极值点二阶导不为0
            • • 利用凹凸性来判断极值点
    • 2. 最大值与最小值问题
      • 1. 找函数最值的解题步骤【是函数求极值判断的进一步】
        • 情形一：给定区间内有多个极值点
          • 确定区间连续范围
          • 找出导函数等于0的点【驻点】和可疑不可导点和区间端点→统称可疑最值点
          • 可疑最值点全部代入到函数中，比较函数值的大小
        • 情形二：给定区间内有一个极值点
          • 确定区间连续范围
          • 找出导函数等于0的点【驻点】和可疑不可导点和区间端点→统称可疑最值点
          • 若函数只有唯一极大值点，则极大值为最大值，若函数只有唯一极小值点，则极小值为最小值
• 3. 一元函数积分学
• 4. 向量代数与空间解析几何
• 5. 多元函数微分学
• 6. 多元函数积分学
  • 重要总结
    • 一重积分
      • 几何意义
        • 曲边梯形面积
      • 物理意义
        • 一维线段质量
    • 二重积分
      • 几何意义
        • 曲顶体积
      • 物理意义
        • 二维薄片质量
    • 三重积分
      • 几何意义
        • 某类四维物体体积
      • 物理意义
        • 三维物体质量
  • 二重积分
  • 三重积分
    • 概念与性质
      • 性质
      • 直角坐标系
        • 体积元素
        • 对称性
          • 偶倍奇零
      • 柱面坐标系
        • 直角坐标系点的坐标与柱面坐标的关系
        • 柱面坐标系下的体积元素
        • 三重积分由直角坐标到极坐标的转换式
      • 球面坐标
        • 定义
        • 直角坐标与球面坐标关系、体积元素
        • 球面坐标对应的特殊曲面或平面
    • 求解三重积分的两个方法
      • 利用直角坐标或者柱面坐标
        • 题目拆解入手点
          • 土豆丝法【坐标面投影法】
            • 识别
              • 不能用土豆片法
            • 计算方法
              • 直角坐标计算【当投影区域的二重积分用直角坐标算更方便】
              • 柱面坐标计算【当投影区域的二重积分用极坐标算更方便】
          • 土豆片法【坐标轴投影法】
            • 识别
              • 被积函数和积分区域完美配合
      • 利用球面坐标
        • 识别
          • 积分区域Ω由特殊位置的球面围成
        • 题目拆解入手点
          • 竖切片法
        • 计算方法
          • 积分次序通常先r后θ再φ
  • 重积分的应用
    • 立体体积
    • 曲面面积
      • 求光滑曲面面积
• 7. 曲线积分和曲面积分
  • 曲线积分
    • 第一类曲线积分
      • 本质
        • 二维线段/三维线段质量
      • 概念
      • 性质
        • 对称性【判断标准看的是积分弧段L】
          • 偶倍奇零
            • 画出L的图形
              • 二维
              • 三维
          • 轮换对称性
            • 看L的方程表达式
              • 二维
              • 三维
      • 计算方法
        • 化为定积分
          • 1定2代
            • 1定
              • 确定积分上下限，要求上限＞下限
            • 1代
              • 积分弧段等式方程代入被积函数
            • 1转换
              • 将弧长元素转化成积分弧段所用的形式【参数方程/直角坐标...】
                • 求平面曲线的弧长
                  • 三个体系的根基
                  • 直角坐标体系
                  • 参数方程体系
                  • 极坐标体系
                  • 记忆方法：看成分别对x对y的偏导数
    • 第二类曲线积分
      • 本质
        • 相对于第一类曲线积分而言，函数f(x,y)现在是一个矢量，弧段也是一个有方向的矢量
      • 概念
      • 性质
        • • 分段的原因是，在不同的积分弧段，积分弧的函数不一样
      • 计算方法
        • 化为定积分
          • 1定1代
            • 1定
              • 确定积分上下限，下限对应积分弧段起点，上限对应积分弧段终点【积分弧段是有方向的！】
            • 1代
              • 把积分弧段方程代入被积函数和dxdy中
  • 曲面积分
    • 第一类曲面积分
      • 本质
        • 三维薄片质量
      • 概念
      • 性质
        • 对称性【都是针对积分区域来讲的】
          • 偶倍奇零
            • 三维
          • 轮换对称性
            • 三维
      • 计算方法
        • 化为二重积分
          • 一投影
            • 根据积分曲面方程，选择合理的投影方向
              • Dxy
              • Dyz
              • Dxz
          • 一代入
            • 把积分曲面的等式方程，代入被积函数.