第3讲 向量组

本节内容主要总结了向量和向量组的线性相关性、极大线性无关组与向量组的秩、等价向量组、向量空间（数学一）等。

第3讲 向量组

• 向量与向量组的线性相关性
  • 向量定义
    • 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n×1）或一个1行n列（1×n）的有序数组
  • 线性组合
    • 设有m个n维向量α1,α2,...,αm,及m个数k1,k2,...,km,则向量k1α1+k2α2+...kmαm称为向量组α1,α2,...,αm的线性组合
  • 线性表出
    • 也叫线性表示
    • 能表出
      • 若向量β能表示成向量组α1,α2,...,αm的线性组合,即存在m个数k1,k2,...,km,使得β=k1α1+k2α2+...kmαm，则称向量β能被向量组α1,α2,...,αm线性表出
    • 不能表出
      • 若向量β不能表示成向量组α1,α2,...,αm的线性组合，则不能被表出
  • 线性相关性
    • 向量组或线性相关或线性无关,二者必居其一且仅居其一
    • 相关
      • ①对m个n维向量α1,α2,...,αm，若存在一组不全为0的数k1,k2,...,km,使得k1α1+k2α2+...kmαm=0，则称向量组α1,α2,...,αm线性相关
      • ②含有零向量或有成比例的向量的向量组必线性相关
    • 无关
      • ①若不存在不全为零的数k1,k2,...,km,使得k1α1+k2α2+...kmαm=0成立,就称向量组α1,α2,...,αm线性无关，即只有当k1=k2=...=km=0时，才有k1α1+k2α2+...kmαm=0成立，则称向量组α1,α2,...,αm线性无关
      • ②单个非零向量,两个不成比例的向量均线性无关
  • 判别的七大定理
    • 定理1
      • ①向量组α1,α2,...,αn(n≥2)线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的n一1个向量线性表出.
      • ②逆否命题:向量组α1,α2,...,αn(n≥2)线性无关的充要条件是α1,α2,...,αn中任一向量都不能由其余的n一1个向量线性表出
    • 定理2
      • 若向量组α1,α2,...,αn线性无关,而β,α1,α2,...,αn线性相关,则β可由α1,α2,...,αn线性表示,且表示法唯一
    • 定理3
      • ①如果向量组β1,β2,...,βt可由向量组α1,α2,...,αs线性表示,且 t>s,则β1,β2,...,βt线性相关(以少表多,多的相关).
      • ②其等价命题;如果向量组β1,β2,...,βt可由向量组α1,α2,...,αs线性表示,且β1,β2,...,βt线性无关,则t≤s
    • 定理4
      • ①m个n维向量α1,α2 …,αm线性相关的充要条件是齐次线性方程组Ax=0(A为向量α1,α2 …,αm组成的矩阵)有非零解
      • ②其等价命题:m个n维向量α1,α2 …,αm线性无关的充要条件是齐次线性方程组Ax=0只有零解
      • ③注意：维数即是方程个数，如果维数n<向量个数m，必然线性相关；维数n=向量个数n，必然线性无关
    • 定理5
      • 仿定理4的研究方法，便有向量β可由向量组α1,α2 …,αs线性表出<=>非齐次线性方程组α1x1+α2x2+...+αsxs=β有解<=>r([α1,α2 …,αs])=r([α1,α2 …,αs,β])。反之，不能线性表出则无解
    • 定理6
      • 如果向量组α1,α2,...,αm中有一部分向量线性相关,则整个向量组也线性相关（部分相关<->整体相关）
      • 其逆否命题:如果α1,α2,...,αm线性无关,则其任一部分向量组也线性无关（整体不相关<->部分不相关）
    • 定理7
      • 如果一组n维向量α1,α2,...,αs线性无关,那么把这些向量各任意添加m个分量所得到的新向量(n+m维)组α1*,α2*,...,αs*也是线性无关的;如果α1,α2,...,αs线性相关,那么它们各去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的。 （原来无关<->延长无关；原来相关<->缩短必相关）
• 极大线性无关组与向量组的秩
  • 极大无关组
    • 定义
      • 一组向量里取出一个部分向量组，这个部分向量组满足线性无关且能表示整组向量的每一个元素，称作极大无关组。线性极大无关组一般不唯一
    • 求法
      • ①将向量组拼成矩阵A，作初等行变换，化为行阶梯型，确定r(A)
      • ②按列找出一个秩为r(A)的子矩阵，即取为一个极大线性无关组
  • 向量组的秩
    • 与矩阵的秩做对比
    • 定义
      • 向量组α1,α2,...,αs的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩,记作rank( α1,α2,...,αs)=r或r(α1,α2,...,αs)=r。
      • 等价向量组等秩,反之未必成立.
    • 重要定理和公式
      • (1)三秩相等：r(A)(矩阵的秩)=A的行秩(A的行向量组的秩)=A的列秩(A的列向量组的秩)
      • (2)若A经过初等行变换得到B，则
        • ①A的行向量组和B的行向量组是等价向量组
        • ②A和B的任何相应的部分列向量具有相同的线性相关性
      • (3)设向量组α1,α2,...,αs及β1,β2,...,βt。若βi(i=1,2,...,t)均可由α1,α2,...,αs线性表出，则：r(β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs) 也叫：两向量组，被表出的秩不大（如高维空间可将低维空间表示出来）
• 等价向量组
  • 定义
    • 两个向量组可以互相线性表出（也叫线性表示）
  • 判别
    • r(α1,α2,...,αs)=r(β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)(三秩相同)<->等价向量组
  • 与等价矩阵的区别
    • ①等价矩阵要同型，行数、列数要相等
    • ②等价向量组要同维，但个数可以不等
  • 注：
    • ①求秩，可行、可列、也可混合（可行可列）变换
    • ②求极大无关组，只作行变换
    • ③解方程组，只作行变换
• 向量空间（仅数学一要求）
  • 概念
    • 基
    • 坐标
    • 维数
  • 基变换与坐标变换
    • 变换公式
    • 过渡矩阵