导图社区 高等数学——极限
高等数学，第一部分——极限。极限的定义、性质和计算。内容丰富，要点梳理，结构清晰，体系完整！非常值得学习！
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教育学考研：教育学原理第八章教学内容整理
高等数学 极限
函数极限与连续
一、函数的概念与特性
函数
定义和性质
属于单值函数，一对一/多对一
铅锤划线法——作铅锤直线，若其与函数至多有一个交点，则为单值函数。
笛卡尔变量
x, y, z
u, v, w
例题
根据已知条件（复合函数表达式），求函数表达式
反函数
同样属于单值函数，一对一
水平划线法——作水平直线，若其与函数至多有一个交点，则为单值函数。
严格单调的函数必有反函数。
函数与其反函数的图像是重合的，此时自变量为y
当反函数的变量x和y互换后的图像与其原函数图像关于y=x对称。
根据已知条件（函数表达式），求反函数表达式及其定义域。
双曲正弦函数
反双曲正弦函数
双曲余弦函数
复合函数
g(x)为中间变量
题目一般会给出两个函数的表达式，我们只需要将它们合并即可。 合并步骤是由内向外。
特别注意： 中间变量转变为自变量时， 自变量的取值范围。
隐函数
方程有时 不易求出y值
有时可以使用观察法得出y的值。 显然y=?
如
参数方程
t为引入的中间变量
表达式复杂无法直接表示
函数的四大特性
有界性
重要结论
单调性
奇偶性
周期性
二、函数的图像
见函数总结
基本初等函数 （反对幂指三+常）
常数函数
找交点
反三角函数
反正弦函数与反余弦函数
反正切函数与反余切函数
对数函数
e = 2.718281828459045
幂函数
指数函数
三角函数
正弦函数与余弦函数
正切函数与余切函数
正割函数与余割函数
初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成的并且可以由一个式子所表示的函数。
幂指函数（通用解题化简方法）
双曲函数
分段函数
三个重要的分段函数
三、函数极限的概念与性质 4
邻域
δ邻域
去心δ邻域
左δ邻域
右δ邻域
函数极限的定义
函数极限的性质
（1） 极限的唯一性
如果极限存在，则必定唯一，即左右极限相等。 若左右极限不相等，则极限不存在。
（2） 函数极限的局部有界性
（3） 函数极限的局部保号性
脱帽法严格不等
极限不为0，函数值一定不为0。
戴帽法非严格不等
函数值大于0时，极限可以为0。
无穷小的定义
无穷小的性质
有限个无穷小的和是无穷小 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 有限个无穷小的乘积是无穷小
无穷小的比阶 设在自变量的同一变化过程中， limα(x)=0，limβ(x)=0，且β(x)¹0，则有
0为最高阶的无穷小
并非任意两个无穷小都可以比阶
结论
等价无穷小替换定理
极限是1，可以与任何式子相乘而不改变结果
x→0时，常用的等价无穷小
补充
子主题
等价无穷小广义化和恒等变换
变量变换左加右减
无穷大的定义
无穷小的倒数为无穷大 无穷大的倒数为无穷小
四、极限的计算
常规极限计算 4
极限四则运算规则
变形：适用于分离后可以用到某些结论的情况。
若limf(x)=A，limg(x)=B， 那么
若limf(x)/limg(x)之一不存在，那么组合的极限也不存在，不能进行四则运算（超实数不能进行运算）。 若都不存在，其组合不一定不存在（不必深究）。
等价无穷小与无穷小的运算
变形后一眼秒
无穷小的运算
加减时低阶吸收高阶
乘除时阶数累加
非零常数相乘不影响阶数
两个重要极限
泰勒公式
在泰勒眼中，任何可导函数都可以转化为相应幂函数（多项式）的组合。 适用：函数中有不同类型的基本初等函数。
泰勒公式应用时的展开原则
展开至上下同阶
展开至相减幂次最低
夹逼准则
适用：n项相加，相乘求极限
概要
七种未定式
过程
化简先行
提出极限不为0的因式
等价无穷小的代换
恒等变形
判断类型（运算）
选择方法
解题
设置分母原则：简单因式下放成为分母。
（1） 因式分解
可以因式分解的因式分解，分解成只有一个变量。
（2） 抓大头
当x→∞时，只需要抓分子分母关于x的最高次项，其他项可忽略。 当x→0时，抓最低次项。
一方有分母直接通分
无分母想办法转换为相除的形式
取倒数的倒数
提公因式
换元等
幂指函数
牢记规则
学会变形
洛必达法则
法则一
法则二
求导后的式子若还满足洛必达法则的条件，可继续求导使用。
当x→∞时
五、应用
函数的连续与间断
连续点的定义
连续性运算法则
两个函数的加减乘除连续
复合函数连续
反函数连续且具有相同的单调性
邻域内保号
间断点的定义和分类
第一类间断点 (左右极限都存在)
可去间断点/可补间断点
可通过补充使函数连续。
跳跃间断点(左极限≠右极限)
第二类间断点 除第一类间断点之外的间断点
无穷间断点
震荡间断点
间断点和连续判别的本质是极限的计算
数列极限 5'
数列的概念
通项
子列
等差数列
等比数列
单调数列
有界数列
数列的前n项和
一个重要的数列
数列极限
数列极限的定义
常用语言
无穷小量
无穷大量
数列极限的性质
定理1：数列收敛与其子列收敛的关系
收敛
发散 2
（1） 如果找到一个发散的子列，则原数列是发散的。
（2） 如果至少两个子列收敛于不同的极限，则原数列是发散的。
定理2：极限的唯一性
定理3：收敛数列的有界性
定理4：收敛数列的保号性
推论1
推论2
脱帽法
戴帽法
海涅定理（归结原则）
数列由不连续的点组成，因此不能直接求导。 也就是说洛必达和泰勒公式都不能直接用。
在极限存在的条件下，数列极限与函数极限可以相互转化。
夹逼原则
放缩常用的方法
利用简单的放大与缩小
不等式变形/放缩
利用闭区间上连续函数必有最大值与最小值
利用压缩映射原理
利用题设条件推论
单调有界准则
证明数列单调性的常用方法：
