导图社区 理论力学
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理论力学
这是一篇关于理论力学的思维导图，主要内容包括：分析力学基础，运动学研究物体运动的几何性质的科学，动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系，静力学研究物体在力系作用下平衡规律的科学。
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理论力学
静力学 研究物体在力系作用下平衡规律的科学
静力学公理和物体受力分析
平面力系
平面汇交力系
平面力对点之矩×平面力偶
平面任意力系的简化
力系中所有力的作用线都处在同一平面内且任意分布时，称为平面任意力系
简化结果分析
一力偶
一合力
平衡
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
物体系的平衡——静定和超静定
平面简单桁架的内力计算
桁架总杆件数m和总节点数n之间的关系：m=2n-3
节点法
截面法
空间力系
概念：力系中各力的作用线不在同一平面内时，这样力系为空间力系。
空间力系的划分
空间汇交力系
力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
简介投影法
空间汇交力系的合力与平衡条件：所有力在三个坐标轴上的投影代数和分别为零（因为是汇交力系，交于空间一点，不考虑力偶）
空间力偶系
力对点的矩——力矩矢Mo(F)。矢量的方位和力矩作用面的法线方向相同。
力对轴的矩——Mz(F)。
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。
空间力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
空间力偶
力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
空间力偶等效定理
空间力偶系的合成与平衡条件 合成：任意个空间分布的力偶可合称为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和 空间力偶系平衡：该力偶系中各分力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别为零
空间平行力系
空间任意力系
空间任意力系的简化——主矢和主矩
空间任意力系简化结果分析
一合力偶的情形：F'R=0,Mo≠0
一合力的情形：F'R≠0,Mo=0
力螺旋：F'R≠0,Mo≠0 力螺旋是由一力和一力偶组成的力系，其中力的作用线垂直于力偶的作用。
力平衡：F'R=0,Mo=0
空间任意力系的平衡方程：空间任意力系平衡的必要和充分条件是：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，各力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零。
摩擦
滑动摩擦
静滑动摩擦
静滑动摩擦力
Fs
简称：静摩擦力
动滑动摩擦
动滑动摩擦力
Fd
简称：动摩擦力
滑动摩擦力
摩擦力
最大静摩擦力——临界静摩擦力——Fmax
静滑动摩擦定律（库伦摩擦定律）：Fmax=fsFN
fs——静摩擦因素
动摩擦力——Fd
Fd=fFN
f——动摩擦因素
摩擦角的自锁现象
全约束力：FRA=FN+Fs
摩擦角：全约束力与法向间的夹角的最大值
注意： ①全约束力是摩擦力和法向反力的合成，在物体静止时由外力可以计算，但当物体运动时就要去计算摩擦力和反力而不是单单看作用力就可以解决的。 ②摩擦角是全约束力与法向间的夹角的最大值，只有最大值点是，是一个确定的值，而不是变化的概念名词。 ③摩擦角的正切值等于静摩擦因素。其中jf为摩擦角
物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，在零与最大值Fmax之间变化，所以全约束力的作用线与法线间的夹角j在零与摩擦角jf之间变化：0≤j≤jf 由于静摩擦力不能超过最大值Fmax，所以全约束力的作用线也不能超出摩擦角之外。
结论： （1）如果作用在物体上的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角jf之内，且指向支撑面，则无论这个力多么大，物体必保持静止，这种现象称为自锁现象。 （2）如果全部主动力的合力，FRA的作用线在摩擦角jf之外，则无论这个力多么小，物体一定会滑动。因为在这种情况下q>jf，全约束力FRA的作用线只有在摩擦角之外才可能与主动力的作用线共线。
滚动摩阻的概念
轮子与接触面之间的力——FR（分为摩擦力Fs和正压力FN）和Mf Mf称为滚动摩阻力偶——滚阻力偶
与静摩擦相似，滚动摩阻力偶矩Mf随着主动力偶矩的增加而增大，当F增加到某个值时，就变为临界状态。 滚动摩阻力偶矩达到最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩，用Mmax表示。 0≤Mf≤Mmax
实验表明：最大滚动摩阻力偶矩Mmax与滚子半径无关，与支撑面的正压力FN的大小成正比。 Mmax=dFN d——滚动摩阻系数
运动学 研究物体运动的几何性质的科学
点的运动学
矢量法
运动方程：r=r(t)
运动轨迹：矢端曲线
速度
加速度
直角坐标法：r=xi+yj+zk
自然法
利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用其来分析点的运动
弧坐标
自然轴系
切线
密切面
法平面：过点M并且与切线垂直的平面称为法平面。
主法线：法平面与密切面的交线称为主法线。指向曲线内凹一侧。
副法线：过点M且垂直于切线及主法线的直线称为副法线。方向与切向和主法向构成右手系。
自然坐标系：以M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系。
自然轴：切线、主法线、副法线构成的坐标轴称为自然轴。
曲率和曲率半径
点的速度
点的切向加速度和法向加速度及全加速度
刚体的简单运动
刚体的平行移动
如果在物体内取一条直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动。
当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同，在每一瞬时各点的速度、加速度、均相同。
刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
转角
瞬时角速度
瞬时角加速度
转动刚体内各点的速度和加速度
在每一瞬间，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。
在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角q都有相同的值
轮系的传动比
以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度
绕定轴转动的刚体上任意一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积
转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积；法向加速度等于刚体的角速度矢与该点的速度矢的矢积。
点的合成运动
相对运动 牵连运动 绝对运动 点的速度合成定理
定参考系——定系
动参考系——动系
绝对运动：动点相对于定参考系的运动——绝对轨迹、绝对速度、绝对加速度
相对运动：动点相对于动参考系的运动——相对轨迹、相对速度、相对加速度
牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动
注意： 1、动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，可以看做直线运动或曲线运动；而牵连运动则是参考体的运动，实际是刚体的运动，他可能做平移、转动、或其它复杂的运功。 2、由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，所以除非动参考系作平移，否则其上各点的运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的是动参考系与动点相重合的那一点（此点称为“牵连点”），因此定义：在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。 3、习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，所以在考虑绝对运动和牵连运动时，其实不一定要建立真正的定坐标轴，因为无论你建到哪里，运动的矢量都不变。是直线就是直线，是曲线就是曲线，只要找到沿哪条直线，或绕那个定点转就行。
解题步骤
选取动点、动参考系和定参考系，所选的动参考系应能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。因此，动点和参考系不能选在同一物体上，一般应使相对运动易于看清楚。
分析三种运动和三种速度，应该已知四个要素时才能画出平行四边形
应用速度合成定理，做出速度平行四边形。必须注意，作图时要使绝对速度成为平行四边形的对角线。
利用平行四边形中的几何关系解出未知数。
点的合成运动这一章是运动学的重要内容之一，而恰当地选取动点、定系和动系是求解合成运动问题的关键。定系一般固连于地面，而动点、动系的选取，除了遵守两条基本原则之外，还应结合具体情况灵活选择： （1）求两个互不相关的动点的相对运动。选其中之一为动点，将动系固连于另一动点上。 （2）一单独的点在运动物体上作相对运动。选此点为动点，动系则固连于运动的物体上。 （3）两物体在运动过程中始终有一个接触点。若其中有一物体的接触点始终不变，则选其为动点，动系固连于另一运动物体上；若两物体的接触点都随时间变化，则两接触点均不宜选为动点，原因是相对运动分析非常困难。此时，应通过观察分析，选取满足基本原则的非接触点为动点。 （4）当遇到两物体的接触点都随时间变化时，可以以该点为动点，分别将两物体当做动系，联合确定动点的绝对速度。其中两个物体为动系的牵连运动确定，而动点相对于动系的相对运动只知道运动所在直线，大小方向都不确定，利用几何矢量方法进行确定，使得两组矢量合成的绝对速度的矢量相等即可，列方程是一边只有第一组，一边只有第二组，注意与平衡方程区分。 （5）注意绝对速度、相对速度、牵连速度的矢量的几何构成法，一定是：绝对速度=相对速度+牵连速度。
加速度合成定理
牵连运动是平移时加速度合成定理
牵连速度是定轴转动时的加速度合成定理
注意：科氏加速度的角速度w是动系的角速度！
刚体的平面运动
刚体平面运动的概述和运动分解
平面运动：运动中，刚体上的任意一点与某个固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。
注意在平面图形的运动方程的是三个参数中，若j始终不变，则刚体左平移；若点O'的位置不变，则刚体作定轴转动。
基点法的理解：刚体分析的基点法与点的合成运动中的相对、绝对和牵连的相同点在于，都有相对的部分，都是绝对=相对+牵连。而点的分析中的相对坐标系的构建是一个很大的刚体，因而牵连运动可能是平移、转动等，这就导致牵连速度的复杂性，上述中也提到，当牵连运动是平移是，刚体上各点运动都相同，任意一点速度就可以代表全刚体，而在牵连运动是转动时，牵连速度实际上是动系上与动点相重合的点的速度和加速度为牵连速度和牵连加速度；而在刚体的基点法中相当于把相对坐标系建在一个点上，也就是将上述的刚体缩小为一个点，而此时的牵连运动只能是平移，这也就使得牵连速度就等于基点的速度。 而将刚体变的无穷小（点）时，原来在点分析中，要求的动点与动系不选在同一物体上的要求也就不存在，类似与把该无穷小点看做独立于原来刚体的一个新刚体，也可以将其看做以轴承节点，这时候对动点的分析就可以分析该刚体上的点了（相当于动系缩小了，动点扩大了），这与其计算的方程相匹配。
平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。这里所谓的角速度和角加速度是相对于各基点处的平移参考系而言的。
求平面图形内各点速度的基点法
总结以上各例的解题步骤如下： （1）分析题中各物体的运动，哪些物体作平移，哪些物体作转动，哪些物体作平面运动。 （2）研究作平面运动的物体上哪一点的速度大小和方向是已知的，哪一点的速度的某一要素（一般是速度方向）是已知的。 （3）选定基点（设为 A），而另一点（设为B）可应用公式VB=VA+VBA，作速度平行四边形。必须注意，作图时要使VB，成为平行四边形的对角线。 （4） 利用几何关系，求解平行四边形中的未知量。 （5）如果需要再研究另一个作平面运动的物体，可按上述步骤继续进行。
速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在感两点连线上的投影相等。
平面图形内各点速度投影法
速度投影法是应用速度投影定理求解平面图形内各点速度的方法，也就是说同一平面内任意两点的速度在该两点连线上的投影是相等的。
速度投影定理不仅在刚体作平面运动时成立，而且对刚体作其它任何运动都成立。
求平面图形内各点速度的瞬心法
每一瞬时在图形内部都存在速度等于零的一点C，即Vc=0。选取C为基点，则刚体上A,B,C等各点的速度为如下。 由此可以得出：平面图形内任意一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。（基点速度为零）
由于平面图形绕任意点转动的角速度都相等，因此图形绕速度瞬心C转动的角速度等于图形绕任一基点转动的角速度，以w表示这个角速度，于是有
应该强调指出，刚体作平面运动时，一般情况下在每一瞬时，图形内必有一点成为速度瞬心；但是，在不同的瞬时，速度瞬心在图形内的位置是不同的。 综上所述可知，如果已知平面图形在某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，则在该瞬时，图形内任一点的速度可以完全确定。在解题时，根据机构的几何条件，确定速度瞬心位置的方法有下列几种： （1）平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心，因为在这一瞬时，点C相对于固定面的速度为零，所以它的绝对速度等于零。车轮滚动的过程中，轮缘上的各点相继与地面接触而成为车轮在不同时刻的速度瞬心。(滚轮在轮底） （2） 已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每一点速度的垂线上。（两点速度方向） （3）已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在连线AB与速度矢VA和VB端点连线的交点C上。因此，要知道瞬心位置，还真要知道速度的大小和方向。（平行、同向、不等大） （4）某一瞬时，图形上A,B两点的速度相等，即大小方向均相等，则瞬心在无穷远处。（平行、同向、等大）——瞬时平移 （5）平行、反向、同起点。 （6）速度大小、方向+角速度大小、方向
用基点法求平面图形内各点的加速度
平面图形内任意一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和
牵连运动为平移，刚体上的牵连加速度一样
注意：这里的a和w均为刚体的角加速度和角速度，因为实际是对基点A的角加速度和角速度，但平面运动可取低意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。这也就使得角加速度和角速度表示的是刚体的角速度和角加速度。
一般情况下，求加速度没有类似于速度投影定理的加速度投影定理（即同一平面内任意两点的加速度在该两点连线上的投影是相等的），只有图形的角速度等于零时，才有此结论。另外，加速度等于零的点（加速度瞬心）实际上也存在，即求加速度的加速度瞬心法也存在，但一般因找加速度瞬心很麻烦，故一般不用加速度瞬心法，而普遍采用基点法。
运动学综合应用举例
1.在运动学中，除了点的合成运动，刚体的平面运动这一章也是运动学的重点和难点，同时又是掌握运动学问题综合应用的基础。因此，在学习中要给以足够的重视。 2.刚体的平面运动可以看成是随基点的平移和绕基点的转动的合成运动；同时，刚体的平面运动也可以看成是绕该瞬时速度瞬心的转动。但需注意，当把刚体的平面运动看成是绕该瞬时速度瞬心的转动时，虽然其上各点的速度分布与刚体绕定轴转动时的相同，可是其上各点的加速度分布则与刚体绕定轴转动时的不同，这是由于速度瞬心的加速度一般不等于零的缘故。 3.要深刻理解速度瞬心的概念及其特点。速度瞬心不是平面图形上一个固定的点，它的位置是随时间而改变的，也就是说，平面图形在不同的瞬时有不同的速度瞬心。 4.由于在平面运动刚体的基点上建立的是平移坐标系，动坐标轴始终平行于静坐标轴，因此平面图形绕速度瞬心的角速度和角加速度就是绝对角速度和绝对角加速度。 5.平面运动刚体作瞬时平移时，刚体上各点的速度处处相同，但各点的加速度不同，否则刚体就永远作平移了。 6.对于由几个平而图形组成的平面机构系统，在用速度瞬心法求解时，必须注意到每一个平面图形都有自己的速度瞬心、角速度和角加速度，切不可相互混淆。
动力学 研究物体的机械运动与作用力之间的关系
质点动力学的基本方程
动力学的基本定理
第一定律
第二定律
第三定律
质量是质点惯性的度量
惯性参考系
质点的运动微分方程
动量定理
动量与冲量
动量
物体之间往往有机械运动的相互传递，在传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与他们的质量有关。
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量
质心：质点系的质量中心。 对于质量均匀分布的规则刚体，质心也就是几何中心
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。 质点系的动量是描述质心运动的一个物理量。
冲量
物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量
元冲量：在微小时间间隔dt内，力F的冲量
动量定理
质点的动量定理
微分形式：质点动量的增加量等于作用于质点上的力的元冲量
积分形式：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
质点系的动量定理
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。
质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和。
质点系动量定理的积分形式，即在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。
质点系动量守恒定律
如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的动量保持不变
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。
质心运动定理
质量中心
质心运动定律
质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和（即等于外力的主矢）。
质点系质心的运动，可以看成为一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。
质点系的内力不影响质心的运动。
质心运动守恒定律：如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心做匀速直线运动；若初始静止，则质心位置始终保持不变。如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若初始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
动量矩定理
质点和质点系的动量矩
质点的动量矩
质点系的动量矩
转动惯量
动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩
质点系的动量矩定理：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
动量矩守恒定律：当外力对于某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。
刚体绕定轴转动的转动微分方程
刚体对轴的转动惯量
质点系相对于质心的动量矩定理
这表明，以质点的相对速度或以其绝对速度计算质点系对于质心的动量矩，其结果是相等的。即质点系相对于质心的动量矩也等于质点系内各质点相对于质心平移参考系的动量对质心C的矩的矢量和。——矢径不变，速度相对速度和绝对速度之分，但结果一样。这表明了质心在动力学中的特殊地位。 对一般的点，欲求质点系对该点的动量矩，通常用质点系中各质点在绝对运动中的动量对该点取矩再求矢量和。这是由于对一般的点，质点系在绝对运动中和在以该点为基点的平移坐标系的相对运动中计算的对该点的动量矩是不等的。
刚体的平面运动微分方程
注意：该公式是在平面运动刚体的条件下，也就是这里的外力F，是平面力系简化后得到的。平面力系也就有了过质心的法向转轴。
注意： （1）动量矩定理的表达式只适用于对固定点或固定轴，对于一般的动点或动轴，其动量矩定理具有较为复杂的表达式。 （2）然而，相对于质点系的质心或通过质心的动轴，动量矩定理仍保持其简单形式。
动能定理
力的功
功
功的解析表达式
重力的功
弹性力的功
有势力或保守力 势力场或保守力场
定轴转动刚体上作用力的功
任意运动刚体上力系的功
质点和质点系的动能
质点的动能
质点系的动能
平移刚体的动能
定轴转动刚体的动能
平面运动刚体的动能
（1）利用速度瞬心法对刚体动能的求解，但刚体的速度瞬心是时刻变化的。 （2）由于瞬心表达法的多变性，利用平行轴定理，用对质心的转动惯量以及质心的动能来表示。
（3）平面运动刚体的动能：做平面运动的刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和。（Vc速度是其绝对速度，相当于C相对于P的相对速度）
动能定理
质点的动能定理：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。
质点系的动能定理
质点系动能定理的微分形式：质点系动能定理的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。
质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所做功的和。
约束力及内力做功：理想约束不做功。
功率、功率方程、机械效率
势力场、势能、机械能守恒定律
势力场：如果一物体在某空间任意一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为立场。
在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。
质点系从某位置到其“零势能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。
有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。
质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。
质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能保持不变——保守系统。
普遍定理的综合应用举例
动力学普遍定律 （1）从不同的侧面掲示了质点和质点系总体的运动变化与作用量之间的关系 （2）动量定理和动量矩定理从某一角度掲示了质点系机械运动状态的变化规律，而动能定理则从功与能的角度来研究 （3）能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能定理。不同于动量和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题，它给出了动能的变化与功之间的关系，有时这是更为方便和有效的。同时，它还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系。
达朗贝尔原理
子主达朗贝尔原理提供了研究非自由质点系动力学的一个新的普遍的方法，称为动静法
惯性力、质点的达朗贝尔原理
惯性力：把运动的加速度和质量的乘积化为一个假想力。
达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、约束力在和它的惯性力在形式上组成平衡力系。
应该指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是使动力学问题可以借用静力学的理论和方法求解。
质点系的达朗贝尔原理
刚体惯性力系的简化
主矢与简化中心无关；主矩与简化中心相关。
刚体平移：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。
刚体定轴转动：当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴与对称平面交点简化时，得位于此平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。
刚体平面运动（平行于质量对称面）：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在些平画内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，且大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反，这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。
用动静法求解动力学问题的步骤与求解静力学平衡问题相似，只是在分析物体受力时，应再加上相应的惯性力；对于刚体，则应按其运动形式的不同，加上相应惯性力系的简化结果。为计算方便，加惯性力时，主矢与主矩的方向在图上应与加速度a及角加速度a反向，而列出的惯性力的表达式只表示大小，在实际计算时，按图示方向考虑正负即可，而不用再加负号了。
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动约束力的条件是：转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。
如果刚体对于通过某点的z轴的惯性积Jxz和Jyx等于零，则称此轴为过该点的惯性主轴。通过质心的惯性主轴，称为中心惯性主轴。所以上述结论也可叙述为：避免出现轴承附加动约束力的条件是：则体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。 设刚体的转轴通过质心，且刚体除重力外，没有受到其他主动力作用，则刚体可以在任意位置静止不动，称这种现象为静平衡。当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时不出现轴承附加动约束力，称这种现象为动平衡。能够静平衡的定轴转动刚体不一定能够实现动平衡，但动平衡的定轴转动刚体肯定能够实现静平衡。
虚位移原理
虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一种路径
约束、虚位移、虚功
约束及其分类
概念：限制质点或质点系运动的关系式称为约束，若这些关系式可以用等式来表述，则称之为约束方程。
几何约束和运动约束
几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的关系式称为几何约束。
运动约束：限制质点系运动情况的运动学关系。
定常约束和非定常约束
定常约束：不随时间变化的约束称为定常约束
非定常约束：约束条件是随时间变化
双侧约束与单侧约束
双侧约束
单侧约束
完整约束与非完整约束
由几何约束和可积分的运动约束所组成的这类约束称为完整约束。
若运动约束关系式中包含的微分项不能积分成有限形式，则称这类约束为非完整约束。
虚位移
理解：虚位移是无限小的不真实的位移，是可能产生，但还没产生的位移。虚位移有很多组，各个质点都有不同的位移可能，任意改变其中一个，其它的对应也会跟着变。
对于定常约束，虚位移和可能位移是等价的。对于非定常约束，某瞬时的虚位移是指将时间固定，约束所允许的无限小位移，与可能位移无关。
必须注意，虚位移与真实位移（简称实位移）是不同的概念。实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关，而虚位移仅与约束条件有关。因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常完整约束的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
对于非定常约束，某个瞬时的虚位移是将时间固定后，约束所允许的无限小位移、而实位移是不能固定时间的，所以这时实位移不一定是虚位移中的一个。对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例如dr，dx，dj等。
虚功与理想约束
虚功
力在虚位移中作的功称为虚功
注意：一般定义力的虚功为负，力偶的虚功为正，正负可直接表出，其中的未知量默认为是数值。
理想约束
如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所做的虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。
光滑的固定面约束，光滑铰链、无重杆、不可伸长的柔锁。
虚位移原理
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作虚功的和等于零。上述结论称为虚位移原理，又称为虚功原理。
虚功方程
注意：应该指出，虽然应用虚位移原理的条件是质点系应具有理想约束，但也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当作主动力，在虚功方程中计人摩擦力所作的虚功即可。——达朗贝尔原理和虚位移原理结合
用虚位移原理求解机构的平衡问题，关键是找出各虚位移之间的关系。一般应用中，可采用下列三种方法建立各虚位移之间的关系。 （1）设机构某处产生虚位移，作图给出机构各处的虚位移，直接按几何关系，确定各有关虚位移之间的关系。 （2）建立坐标系，选定一合适的自变量，写出各有关点的坐标，对各坐标进行变分运算，确定各虚位移之间的关系。 （3）按运动学方法，设某处产生虚速度，计算各有关点的虚速度。计算各虚速度时，可采用运动学中各种方法，如点的合成运动方法，刚体平面运动的基点法，速度投影定理，瞬心法及写出运动方程再求导数等。 用虚位移原理求解结构的平衡问题时，若要求某一支座约束力，首先需解除该支座约束而代以约束力，把结构变为机构，把约束力当作主动力。这样，在虚位移方程中只包含一个未知力，然后用虚位移原理求解。
一般步骤总结： （1）分析题目是否可以直接使用虚位移原理，主要是判断是否为理想约束，即是否有力做功（重力做功也算外力做功） （2）如果没有可以直接用，如果有也可以将其转化为外力进行分析，如将摩擦力当做主动力；若求某支座处不做功的力解开，化为做功的主动力进行分析。 （3）确定好主动力后，确定自由度即结构在各点处可能产生的虚位移，利用几何、坐标、运动关系找到可能产生虚位移的之间的几何关系。 （4）利用虚功原理构建方程（将各处的虚位移与对应的主动力相乘，之和为零） （5）最后由虚位移的任意性解出力的大小。 做题细节总结 （1）题目当中哪里有力，就需要在哪设置虚位移 （2）虚位移的方向与力相同或相反都可以，但其关系必须符合几何变形的结构关系 （3）在确定运动线的虚位移可以直接设出，而在不能具体确定方向处可以设出x、y两个分量，分别乘以力在该方向的投影即可 （4）在虚位移确定的方向与力的方向不在同一直线上时，可以只设出力方向的分量虚位移即可，因为另一方向无力，也就不做功 （5）当结构中有多个独立虚位移时，且现有方程不足以直接求解，则根据虚位移的任意性，可以先令其中一虚位移为零，进而对所剩的虚位移进行求解。但需要注意的是，所选为零的虚位移必须满足使得剩余虚位移在进行变形运动时有明显的几何变化关系。 （5）如果遇到求其内部的约束力大小的情况，需要先将几何结构进行拆解，而拆解后一定出现一对平衡力，如果都做功，都要设出相应的虚位移，如果只有一力做功设出一个即可。
虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。
分析力学基础
动力学普遍方程
第二类拉格朗日方程
当广义坐标有多个时，需要对每一个广义坐标都带入拉格朗日函数进行求解