第一章：算术与数据描述（12考点）

管综数学第一章考点总结归纳，详细涵盖了实数、绝对值、比和比例、数据描述等相关知识点，结构清晰，便于考生全面复习和掌握相关知识点。

第一章：算数与数据描述(12考点)

• 实数（5）
  • 有理数与无理数
    • 实数分类：有理数（整数，分数），无理数（无限不循环小数）
    • 有理数与无理数组合性质
      • 有+-×÷有=有
      • 有+-无=无，有×无=0或无（门当户对模型）
      • 无+-×无=有或无
    • 乘方与开方：平方根有正负根（算数平方根是正根），偶次根号要求非负，实数都有奇次方根，且奇次方根唯一
    • 循环小数化分数
      • 纯循环：循环节有几个，分母就写几个9，分子照抄循环节
      • 混循环：分母中，循环节有几位数，写几个9，不循环有几位数，写几个0；分子即小数到第一个循环节结束-不循环的部分
  • 整除与余数
    • 整除定义：被除数÷除数（正数）=商（整数）…余数（0）
    • 整除特点
      • 被2/4/8整除：末一位/两位/三位是2/4/8的倍数
      • 被3/9整除：各个数字之和能被3/9整除
      • 被5/10整除：末位为0或5/0
      • 被6整除：同时是2，3的倍数
      • 被7整除：将末位去掉，余下的数减去个位的两倍是7的倍数（abc,ab-2c为7的倍数）
      • 被11整除：奇数位上之和-偶数位上之和的差是11的倍数
      • 被n!整除：连续n个正整数的积能被n!整除
      • 注：0是任何非0自然数的倍数
    • 带余除法：被除数=除数×商+余数（0≤余<除数），当负数为被除数时，通过余±除数的倍数使其落在区间内）
    • 余数性质：
      • （n±km）÷m不影响余数r
      • 已知m÷a余数x，n÷a余数y，则能确定m±n÷a的余数（x±y÷a）
      • 已知m÷a余数x，n÷a余数y，则能确定mn÷a的余数（xy÷a）
  • 约数与倍数
    • 约数和倍数定义
    • 公倍数和公约数定义：几个数公有的倍数即公倍数[a,b,c]；几个数公有的约数为公约数(a,b,c)。两个数乘积ab=[a,b]（a,b）为最小公倍数和最大公约数的乘积。
    • 最大公约数和最小公倍数计算：短除法。最大公约数除到这几个书除1以外没有公约数，最小公倍数除到几个数两两互质。最大公约数为约数的乘积，最小公倍数为约数和剩余数的乘积
  • 奇数与偶数
    • 奇偶数定义：偶数2k，奇数2k±1
    • 奇偶数组合性质：
      • 加减法：同偶异奇 乘法：有偶则偶
      • m,n均为整数时，m-n与m+n同号
      • 连续两个整数之和为奇，连续两个整数之积为偶
      • 乘方不改变奇偶性：a，a²，a³，a⁴，aⁿ奇偶性一致
      • 多个整数加减运算：奇数个数为奇则为奇数，奇数个数为偶则为偶数（两两配对）
  • 质数与合数
    • 质数合数定义：50以内质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47（2为唯一的偶质数），最小合数为4，1既不是质数也不是合数
    • 质数合数运算：
      • nm均为质数，若n±m=奇数，则必有一个为质数2；若nm=偶数，则必有一个质数为2
      • a,b为正整数，c为质数，且a×b=c，则ab中必有一个为1，一个为c
      • a,b,c为质数，且a+b=c，则a,b中必有一个为2。
      • 若a,b为质数，且a-b=1，则必有a=3，b=2
    • 质因数分解：将合数分解为若干质数的乘积
• 比和比例（2）
  • 比例定义与关系
    • 比和比例的定义：两数的商
    • 正比与反比
      • 正比：y=kx，本质是y与x的比值为定值k
      • 反比：y=k/x，本质是y与x乘积成定值k
  • 比例运算与定理
    • 基本性质：a:b=c:d即ad=bc，比例外项之积等于比例内项之积（只适用于两项之间，不能用于三项）
    • 合比定理：a/b=c/d等于a+b/b=c+d/d，本质是两边同时+1
    • 分比定理：a/b=c/d等于a-b/b=c-d/d，本质上是两边同时-1
    • 更比定理：a/b=c/d，则a/c=b/d，本质上是对角线上的数互换，常用于相似三角形求比例
    • 等比定理：a/b=c/d=k，则a±c/b±d=k（当分母之和不为0时成立）。拓展：ma±nc/mb±nd=k（重点，只要对应的系数一致即可）
• 绝对值（3）
  • 绝对值定义
    • 绝对值代数定义：当x大于≥0，则|x|=x，当x＜0，则|x|=-x
    • 绝对值几何定义：|a-b|即a,b两点之间的距离
  • 绝对值性质
    • 绝对值的非负性：
      • |a|≥0,√a≥0(偶次方根)，a²≥0
      • |a|+√b+c²=0，则a=b=c=0
      • √a+√-a=b，则a=b=0
    • 绝对值的等价性：|a|=√a²，|a|²=a²，|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|，|-a|=|a|，|a-x|=|x-a|
    • 绝对值的自比性：
      • |a|/a=a/|a|=1(a>0)或-1(a<0)
      • 三个自比式子相加：3（三正），1（两正一负），-1（两负一正），-3（三负）
  • 绝对值和差模型
    • 绝对值和模型：y=|ax-m|+|ax-n|，没有最大值，只有最小值为|m-n|，直接代入其一零点即可，呈现中间平，两头高
    • 绝对值差模型：y=|ax-m|-|ax-n|，最大值为|m-n|，最小值为-|m-n|，在两个零点之外取最值，呈现Z字形，两边平，中间斜
    • 拓展应用
      • 奇数个绝对值相加求最值：零点a<b<c，取中间得到最小值，即f(中间零点b)=min
      • 偶数个绝对值相加求最值：零点a<b<c<n，取中间区间[b,c]得到最小值，f(b)=f(c)=min
• 数据描述（2）
  • 数据计算
    • 平均值：平均值m=(x1+x2+…xn)/n，平方平均值≥算数平均值≥几何平均值≥调和平均值
    • 极差：极差=max-min，反映分歧度，分歧度越大，极差越小（反比）
    • 方差与标准差：
      • s²=1/n[(x1-m)²+(x2-m)²+…+(xn-m)²]=(x1²+x2²+…xn²)/n-m²，反映波动水平，方差越小越稳定。标准差s=√s²
      • x同时±k，平均数为m±k，方差为s²
      • x同时变成kx，平均数为km，方差为k²s²
      • x同时变成kx±n，平均数变成km±n，方差为k²s²
    • 其他概念
      • 众数：出现最多次的数据，且不唯一
      • 中位数：将数据从小到大排列，正中间的数为中位数，若有偶数个数据，则中间两个数的平均数为中位数
  • 图表
    • 直方图：
      • 每部分面积s=频率=纵坐标×组距，各个部分面积之和为1
      • 求总量=部分量/对应的面积（频率）
      • 众数：最高矩形底边中点的横坐标 中位数：s=1/2的地方 平均数：重心，平均值=每个矩形面积s×底边中点横坐标之和
    • 折线图：反映数据波动情况，常用来算平均值
    • 饼图：各个部分之和为100%，平均值=各个部分占比×对应数值