第二章：整式、分式与函数（14考点）

管综数学第二章整式分式与函数考点总结归纳，通过清晰的结构和详细的知识点罗列，帮助考生系统梳理和掌握整式、分式与函数这一章节的重点内容，为管综数学的复习和考试提供有力支持。

第二章：整式、分式与函数（14考点）

• 代数式（5）
  • 整式核心公式
    • 完全平方式
      • a²±2ab+b²=(a±b)²
      • (a+b)²=(a-b)²+4ab
      • (a-b)²=(a+b)²-4ab
      • a²+b²=(a+b)²-2ab
      • a²+b²=(a-b)²-2ab
      • (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
      • a²+b²+c²±ab±ac±bc=1/2[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]
      • (|a|+|b|+|c|)²=a²+b²+c²+2|ab|+2|ac|+2|bc|
      • c⁴-2abc²+a²b²=(c²-ab)²
    • 平方差公式
      • a²-b²=(a+b)(a-b)
      • 1/(√n+1+√n)=√n+1-√n
      • a⁴-b⁴=(a²+b²)(a+b)(a-b)
    • 完全立方公式
      • (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³=a³+b³+3ab(a+b)
      • (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³=a³-b³-3ab(a-b)
    • 立方和，立方差公式
      • a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
      • a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
      • x6+y6=(x²+y²)(x⁴+y⁴-x²y²)
      • x6-y6=(x²-y²)(x⁴+y⁴+x²y²)
  • 分式核心公式
    • 分式裂项运算
      • k/x(x+k)=1/x-1/x+k
      • 1/x(x+1)(x+2)=1/2(1/x(x+1)-1/(x+1)(x+2))
      • k/√n+k+√n=√n+k-√n
      • n-1/n!=1/(n-1)!-1/n!
    • 分式转化运算
      • 若x+1/x=m
        • x-1/x=±√m²-4
        • |x-1/x|=√m²-4
        • x²+1/x²=m²-2
        • x³+1/x³=m(m²-3)
        • x⁴+1/x⁴=(m²-2)²-2
  • 展开求系数
    • 搭配求系数：2个或3个式子相乘求对应项系数
    • 高次多项式展开求系数（特值法）
      • 识别：f(x)=a0+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a2nxⁿ
      • f(0)=a0
      • f(1)=a0+a1+a2+a3+…+a2n
      • f(-1)=a0-a1+a2-a3+…+a2n
      • -f(-1)=-a0+a1-a2+a3-…+a2n
      • 偶次系数和=[f(1)+f(-1)]/2=a0+a2+a4+…+a2n
      • 奇次系数和=[f(1)-f(-1)]/2=a1+a3+a5+…+a2n-1
  • 因余式定理
    • 因式定理：
      • 若f(x)能被ax-b整除，或者f(x)含有因式ax-b，则必有f(b/a)=0
      • f(x)=g(x)×q(x)，若已知f(x)和g(x)，则q(x)等于与g(x)配凑f(x)最高次和常数项
    • 余式定理：
      • 若多项式f(x)除以g(x)的商为q(x)，余式为r(x)，则必有f(x)=g(x)×q(x)+r(x)
      • 若g(x)的根为a,b则f(a)=r(a)，f(b)=r(b)
      • 已知除式g(x)为n次函数，则设余式r(x)为n-1次（n-1次能表示n-1次及以下次数）
  • 因式分解
    • 提公因式法
    • 公式法：完全平方，平方差，立方差，立方和等
    • 单十字相乘法：分解最高次与常数项
    • 双十字相乘法：分解平方项和常数项
    • 试根法：若f(a)=0，则含有x-a因式，再用长除法求余下式子
• 集合（3）
  • 集合的定义及性质
    • 集合定义：集合，元素元素与集合关系：属于，不属于
    • 集合性质：确定性（清晰的标准），互异性（各个元素不同），无序性（打乱顺序还是同一个集合）
  • 集合之间的关系
    • 子集：个数2ⁿ，包括空集，子集A所有的元素都来源于集合B，若子集A有其他不属于集合B的元素，则不是B的子集，子集A可以和集合B取等
    • 非空子集：2ⁿ-1，减去空集的情况
    • 真子集：2ⁿ-1，真子集A内所有元素都来源于集合B，包括空集，但真子集A不能与集合B取等
    • 非空真子集：2ⁿ-2，去掉空集和与集合B相等的情况
  • 集合之间的运算
    • 交集：二者都能取到的值
    • 并集：二者的所有部分，且要去掉多余重复的值
    • 补集：根据全集U的范围内，集合A取不到的数，集合B作为补集要取，反之不能取。
• 函数（6）
  • 函数的定义及性质
    • 定义：自变量x，因变量y，值域，定义域，关系式
    • 性质
      • 单调性
        • 单调递增：x增大，则y对应也增大。a>b，则f(a)>f(b)
        • 单调递减：x增大，则y对应却减小。a>b，则f(a)＜f(b)
      • 奇偶性
        • 奇函数：f(-x)=-f(x)
        • 偶函数：f(-x)=f(x)
    • 分段函数：x不同范围内有不同对应关系y
    • 复合函数：y=f(u)，u=g(x)。复合函数单调性同增异减，只有内外函数均递增或均递减，则复合函数递增，若内外函数一个递增一个递减，则复合函数递减
  • 一次函数与反比例函数
    • 一次函数：
      • 定义：y=kx+b（k≠0），当b=0时，y=kx为正比例函数。
      • 性质：k>0，单调递增，k<0，单调递减
    • 反比例函数
      • 定义：y=k/x（k≠0）
      • 性质：线上任意一点（a,b）都有k=ab
  • 一元二次函数
    • 定义：y=ax²+bx+c
    • 核心参数
      • a:开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下
      • 对称轴：a,b决定对称轴位置，x对=-b/2a
      • 截距：抛物线在y轴上的截距c，交点为（0，c），截距可正可负
      • 常考：f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c，f(2)=4a²+2b+c，f(0)=c，f(x1)=f(x2)=0
    • 顶点坐标：（-b/2a，4ac-b²/4a），已知顶点坐标可写出顶点式：y=a(x+b/2a)²+4ac-b²/4a
    • 最值本质：越接近对称轴越接近最值
      • a>0
        • 最大值：越远离对称轴
        • 最小值：越靠近对称轴，且在对称轴取到最小值（注意区间是否能取到对称轴，不能取到对称轴就找距离对称轴最近的点）
      • a<0
        • 最大值：越靠近对称轴，在对称轴取到最大值（注意区间是否能取到对称轴，取不到对称轴则找距离对称轴最近的点）
        • 最小值：越远离对称轴
    • 三种表现形式
      • 标准式：y=ax²+bx+c
      • 零点式：y=a(x-x1)(x-x2)
      • 顶点式：y=a(x+b/2a)²+4ac-b²/4a
    • 与x轴交点个数（△=b²-4ac）
      • △=0，只有一个交点，或者两个相同的根
      • △>0，两个不同的交点
      • △<0，没有交点
        • a>0：f(x)大于0恒成立
        • a<0：f(x)小于0恒成立
    • 特殊的抛物线（a≠0）
      • b=0，对称轴为y轴
      • c=0，过原点（0，0）
      • b=c=0，y=ax²，过原点且对称轴为y轴
  • 幂函数
    • 定义：y=xa（a属于R），a为常数，整体系数为1，恒过（1，1）
    • 图像：记常见的x，x²，x³，√x，x-1
    • 单调性
      • a>0：递增
      • a<0：递减
      • a=0：常数，不存在单调性
    • 奇偶性
      • a为整数
        • a为奇数：奇函数
        • a为偶数：偶函数
      • a为分数
        • 奇函数：奇/奇
        • 偶函数：偶/奇
        • 无奇偶性：奇/偶
  • 指对函数
    • 指数函数
      • 定义：y=aⁿ(a>0且≠1)
      • 性质
        • 定义域：R
        • 值域：（0，+∞）
        • 恒过（0，1）
        • a>1：在R上为增函数
        • 0<a<1：在R上为减函数
      • 运算公式
        • 乘法：am·aⁿ=am+n
        • 除法：am÷aⁿ=am-n
        • (am)ⁿ=(aⁿ)m=amn
        • ambm=(ab)m
        • aº=1，a-n=1/aⁿ
    • 对数函数
      • 定义：y=logₐx（a>0且≠1）
      • 性质
        • 定义域：（0，+∞）
        • 值域：R
        • 恒过（1，0）
        • a>1：在（0，+∞）上为增函数
        • 0<a<1：在（0，+∞）上为减函数
      • 运算公式
        • logₐM+logₐN=logₐ(MN)
        • logₐM-logₐN=logₐM/N
        • 换底公式：logₐN=logbN/logba
        • logₐnbm=m/n·logₐb
        • logₐb·logba=1
  • 对勾函数与双撇函数
    • 对勾函数
      • 定义：y=ax+b/x(ab>0)
      • 图像特点
        • a,b>0：过一三象限
        • a,b<0，过二四象限
        • 当且仅当ax=b/x时取到最小值，此时x=±√b/a，y=2√ab
      • 最值
        • a,b>0
          • 在（0，+∞）时，x=√b/√a取得min，y最小值为2√a√b
          • 在（-∞，0）U（0，+∞）时，无最值
          • 在（-∞，0）时，x=-√b/√a取到最大值，y最大值为-2√a√b
        • a,b<0
          • 在（0，+∞）时，x=√b/√a取到最大值，y最大值为-2√a√b
          • 在（-∞，0）U（0，+∞）时，无最值
          • 在（-∞，0）时，x=-√b/√a取到最小值，y最小值为2√a√b
    • 双撇函数
      • 定义：y=ax-b/x
      • 图像特点
        • a,b>0：过（-√-b/a，0）与（√-b/a，0），渐近线为y=ax，单调递增
        • a,b<0：过（-√-b/a，0）与（√-b/a，0），渐近线为y=ax，单调递减
        • 无最值