会计考研朱曦代数

这是一篇关于3.方程和不等式的思维导图，主要内容包括：方程，不等式，其他。帮助您熟悉知识要点，加强记忆。有需要的同学，可以收藏下哟。

3.方程和不等式

• 一、 方程
  • 1. 一元二次方程
    • 1. 根的求解(已知方程求根）
      • 1. 优先十字相乘
      • 2. 配方
      • 3. 公式法
        • 一元二次方程的解形式为
    • 2. 已知根还原方程
    • 3. 根的个数和符号情况
      • 1. ▲
      • 2. 韦达定理
      • 3. 记住一条：a、c异号，一正一负两正根。
    • 4. 根的范围
      • 1. x1<m,x2>m→af(m)<0
      • 2. m<x1<n,p<x2<q→ f(m)*f(n)<0且f(p)*f(q)<0
      • 3. m<x1<x2→①对称轴-b/2a>m ②▲>0 ③f(m)*a>0
      • 4. 通解：①特殊点②开口方向③▲④对称轴
    • 5. 韦达定理
      • 考法：根与系数的关系 通过a、b、c的参数«x1、x2之间的关系
  • 2. 分式方程
    • 增根(分母不可以为0）
  • 3. 绝对值方程
    • 1. 分段讨论（内部为一次）
    • 2. 平方法，两边都为大于等于0才可以，
  • 4. 指数方程和对数方程（对数考的比较少）
• 二、 不等式
  • 5条基本性质
    • 1. 传递性
      • a>b,b>c→a>c
    • 2. 同向相加性
      • a>b,c>d→a+c>b＋d
    • 3. 同向皆正相乘性
      • a>b>0,c>d>0→ac>bd
    • 4. 皆正倒数性（这个是可以互推的）
    • 5. 皆正乘方开方性
  • 和函数有关的类型
    • 1. 一元二次不等式
    • 2. 分式不等式
      • 分母恒大于或者小于0，直接乘过来变成整式方程， 否则，则是移项。
      • 穿针引线法（高次分式方程）
        • 从右上角开始穿进去
        • 面对重根时：奇穿偶不穿（反弹）
    • 3. 根号不等式
      • 注意分类讨论
    • 4. 绝对值不等式
      • 补集，相对于R的补集
    • 5. 指数和对数不等式
  • 特殊不等式
    • 均值不等式
      • 算术平均值＞几何平均值＞调和平均值
    • 均值定理的精髓
      • 积定和小，和定积大：当几个数的乘积一定时，越靠近则和越小；当几个数的乘和一定时，越靠近则积越大。
      • 如果反常规，当乘积确定，求和的最大值：让一个数字超级大，剩下的数字超级小（尽可能不平等原则）。 例如a*b*c=30=1*1*30，a+b+c的最大值为32； 例如a*b*c*d=270，且四个数字都是大于1的自然数，则270=2*3*3*15，a+b+c+d的最大值为23
    • 柯西不等式
• 三、 其他
  • 空集问题全部转化为恒成立问题
  • 验根
    • 1. 一元二次方程的有理根和整数根（验根）
      • ▲为完全平方数→根为有理根，至于是否是整数根，需要将算出的值代入方程验算才知道。
    • 2. 分式方程只有1个实根的情况）
      • 直接变成一次函数，直线型1个根
      • 二次函数，▲=0
      • 二次函数，▲＞0，但是其中一个根被分母舍掉（必须验根才能知道）
    • 3. 分式方程无解的情况
      • 先用参数表示根，再考虑问题
      • ①无解，让未知数前面的系数为0
        • 例如：mx=2，那么m=0时，方程必定无解
      • ②有一个解，但是这个解舍掉（必须要验根）
• 浮动主题

代数式和函数

• 基本公式和应用
  • 1. 6大公式
    • 1. 平方和/差
      • • 看到形如（a+b)(a^2+b^2)(a^+b^3)(a^4+b^4)...
    • 2. 完全平方公式
    • 3. 三个数的完全平方公式
    • 4. 配方公式
    • 5. 立方和/差
    • 6. 和差的立方公式
  • 2. 其他常考的公式
• 整式
  • 1. 因式定理（整除和余式定理（非整除）
    • 因式定理
      • f(x)含有（x-a）因式，(x)能够(x-a)整f除。 如果能够被ax-b整除，那么f(b/a)=0
    • 余式定理
      • 学会设数
  • 2. 因式分解
    • 1. 二次
      • 十字相乘/双十字相乘
      • 解方程、▲大于等于0
    • 2. 三次
      • step1：试根（-1、1/2、0、1、2）
        • 试根的方法
      • step2：长除法或者直接求
• 分式
  • 比较大小
    • 糖水不等式
      • • 记忆口诀： 如果真分数，上下都加一个数，分数值变大。 如果假分数，上下都加一个数，分数值变小。 上下同时减去一个数的首先排除
  • 分式裂项恒等变形（先列出一个常数项）
• 函数
  • 1. 一元二次函数
    • 比较大小
      • 找与对称轴的距离, |x1-对称轴| ? |x2-对称轴|
    • x确定，对称轴(b)不确定的情况 例如，x属于【1，2】
      • 求b是多少
        • 取值讨论
          • 区间定，轴动 最好先代数后几何， 思路更清晰
            • 对称轴<=1
            • 对称轴属于（1，2）
            • 对称轴>=2
      • 求区间的最大内的最大最小值
  • 2. 幂函数
    • 图像
      • 1. 一奇到底、上偶下偶
  • 3. 指数函数、对数函数
    • 比较大小
  • 4. 特殊函数
    • max、min函数
      • 如果试具体的函数
        • 画图
      • 抽象函数（难）
        • 建立中间值
    • 绝对值函数
      • 只有一个x
        • 全包
        • 半包
      • x、y都有绝对值
        • 全包
        • 半包
        • 特殊的
      • 面积公式
• 其他
  • 幂函数为1的三种情况
    • （算出来0也是偶数）

1.实数、比例、绝对值（条件充分性判断）

• 有理数（整数、分数、自然数）和无理数
  • 1. 有理数
    • 1. 整数
      • 取值讨论
        • 未知数在分子
          • 约数分析
        • 未知数在分母上
          • 倍数分析（设k法）
        • 未知数分母和分子都有
          • step1：通过整式变形转化为 未知数只在分子或者分母的 情况
            • 整式变形
              • 分子的次方＞=分母的次方
                • 裂开→分子为常数的分母
              • 分子的次方＜分母的次方
                • 同除
          • step2：重复上面的步骤
      • 小技巧
        • 分式=整数
          • 4/(2m-1)是整数，m也是整数，2m为偶数，偶数-奇数=奇数，所以2m-1=2、-2、4、-4都不需要代入计算，只需要代入-1和1
    • 2. 分数
      • 分母对分数的影响比分子大，决定一个分数的最大最小值，优先考虑分母
    • 3. 小数
      • 小数变成分数的
        • 纯循环小数
        • 混合循环小数
  • 2. 无理数
    • 需要记住的：按照等差数列去记
    • 无理数的5条规则
      • 纯有理和纯无理
        • 有理（+-x÷）有理=有理
        • 无理（+-x÷）无理=无理
      • 混合
        • 非0有理（+-×÷）无理=无理
        • 0（x÷）无理=有理
• 有理数和无理数的性质
  • 1. 奇数和偶数
    • 2个数：a和b 喜欢考逆向推导
      • 1. 2个逆向推导
        • m+/-n=偶数
          • m和n同奇偶
        • m+/-n=奇数
          • m和n 一奇一偶
      • 2. a+b和a-b同奇偶，因为a+b+a-b=2a，故相加为偶数，两数一定同奇偶
    • 3个数：a b c
      • a+b+c为奇数：3奇或者1奇2偶 a+b+c为偶数：3偶或者2偶1奇
    • n个数
      • 相加
        • 奇数的个数是奇数，相加为奇数
        • 奇数的个数是偶数，相加为偶数
        • 注：因为偶数相加一定是偶数了
      • 相乘
        • 相乘为奇数，这n个数都是奇数
        • 相乘为偶数，这n个数都至少一个为偶数
    • 次方不改变奇偶性
  • 2. 质数和合数 只考20以内（8个）
    • 质数合数和奇偶之间的关系
      • 除了2，所有的质数都为合数
        • 2 3 5 7 11 13 17 19
      • 质数+/-质数=质数，其中一个质数为2 质数+/-质数=奇数，其中一个质数为2 如果算不出来，特值法，令其中一个质数为2 想办法凑两个质数的加减关系 最后一个质数必为奇数，那么前者为一奇一偶
        • 《数学分册》第三章 自我检测 p60 第15题 没做出来 答案选B 
        • m+/-n=奇数
          • m和n 一奇一偶
  • 3. 最大公约数和最小公倍数
    • 1. 最大公约数（a，b）
      • 常见的设最大公约数的方法：如果a和b的最大公约数为k， 设a=kx，b=ky，x和y互为质数（除了1之外没有其他公约 数）
    • 2. 最小公倍数【a，b】
      • 常见的设最小公倍数的方法：如果a和b的最大公约数为k， 那么对k进行质因数分解
    • 3. 求多个数的最大公倍数和最小公因数
      • 短除法
    • 4. a*b=（a，b）*【a，b】
    • 5. 如果 a-b=【a，b】-（a，b），那么a=【a，b】，b=（a，b） a和b互为倍数
    • 6. 余数的个数
      • step1：质因数分解
      • step2：利用排列组合
  • 4. 整除和余数问题
    • 能被4整除的数，4k=2k1*2k2
    • 11的算法：两边一拉，中间相加
    • 连续k个整数相乘必是k的倍数；连续k个整数相乘，必能被k!整除
    • 当整除a除以非0整数b，余数为r时，a-r能被b整除
    • 审题，a÷b,a被b除 或者 b除a，故b整除a，是a/b，也叫a被b整除
    • 题型
      • 同余问题（最简单）
        • m=6x+1
        • m=7y+1
        • m=8z+1
        • m-1=【6,7,8】k
      • 有规律
        • 除数-余数=相同的数
          • m=6x+3
          • m=7y+4
          • m=8z+5
          • m+3=【6,7,8】k
        • 除数+余数=相同的数
          • m=6x+3
          • m=7y+2
          • m=8z+1
          • m=9+【6,7,8】k
      • 无规律
        • 先用大数表达，再找小数的余数
• 比例
  • 1||| 常考的点
    • a（1+p%）(1-x), x=p%/(1+p%)
    • a（1-p%）(1+x), x=p%/(1-p%)
    • 甲比乙大p%，乙比甲小 p%/（1+p%）
  • 2||| 等比定理（4条）
  • 3||| 变比例问题（某量不变）
    • 统一不变量份数，其他方程求解
• 绝对值
  • 绝对值函数
  • 绝对值三角不等式
    • • 等号的取等的条件并非a=b
    • 记忆方法
      • 只需记住等号成立的情况， 然后利用补集
    • 难点
      • 识别考点
        • 特征：①2个绝对值②相加
• 其他
  • 三个数比较大小
    • 错题 数学分册p30页 例7 
    • 要么加
      • a+b+c=0
        • 2负1正、1负2正
      • a+b+c<0
        • 3负、2负1正、1负2正
          • 至少有一个正
      • a+b+c>0
        • 3正、2负1正、1负2正
          • 至少有一个负
    • 要么乘
      • a*b*c>0
        • 3正，2负1正
      • a*b*c<0
        • 3负，1负2正
  • 末尾有几个0的题
    • 找5，看质因数分解之后有几个0
      • 含有一个5，就产生一个0
      • 含有一个25，2个0
      • 含有125，3个0
  • 含根号的比较大小题
    • 分子有理化/分母有理化
  • 常见的设数技巧
    • 连续3个整数
      • n-1、n、n+1
    • 直角三角形三边
      • • 直角三角形至少有一条边是3的倍数
  • 取值讨论：当未知数 大于方程的个数 （符号定方法）
    • 加减
      • 奇偶性
    • 乘
      • 质因数分解
    • 除法（分式）
      • 整式变形，分离分子

难想的代数变形 但积累一下吧

• 1
  • 1.已知a、b、c满足a<b<c,ab+bc+ac=0，abc=1，则 |a+b|（）|c|, A.> B.< C.=' 答案为：A
• 2
  • 2.已知x、y、z都是正实数，则（x+y)(y+z)的最小值为2。 （1）xyz(x+y+z）=1 （1）xyz(x+y+z）=2 答案为：A
• 3（这个会考）
• 4(这个会考）
• 5