第一章 函数 极限 连续

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第一章 函数 极限 连续

• 第一节 函数
  • 函数
    • 定义
    • 两个基本要素：定义域，对应关系
  • 复合函数
    • 定义
    • 不是任意两个函数都能复合
  • 反函数
    • 定义
    • 不是每个函数都有反函数
    • 单调函数一定有反函数，反之则不然
    • 恒等映射
  • 基本初等函数
    • 幂函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • 三角函数
    • 反三角函数
  • 初等函数
    • 定义
  • 函数的性质
    • 单调性
    • 奇偶性（直接运算）
    • 周期性
    • 有界性
      • 有界和无界的定义（在指定范围内）
  • 常考题型
    • 函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定
    • 复合函数
• 第二节 极限
  • 极限的概念
    • 数列的极限
      • 定义n（a，伊普西隆，N）
      • 数列极限存在与否与前有限项无关
      • 部分列极限都存在，则数列极限存在
    • 函数的极限
      • 自变量趋于无穷大
        • 定义（伊普西隆，X，A）
      • 自变量趋于有限值
        • 定义（伊普西隆，德尔塔，A）
        • 某点处的极限值与该点值，存不存在无关，与其去心邻域的函数值有关
        • 极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等
          • 分界点处的极限
          • arctan无穷型
          • e的无穷型
  • 极限的性质
    • 有界性
      • 数列（数列收敛，则一定有界）
      • 函数（某点的极限存在则某点的去心邻域有界）
    • 保号性
      • 数列
        • 极限保数列
        • 数列保极限
      • 函数
        • 极限保去心邻域
        • 去心邻域保极限
    • 极限值与无穷小的关系
  • 极限的存在准则
    • 夹逼准则（n项和）
    • 单调有界准则（递推关系）
  • 无穷小量
    • 定义（极限为零）
    • 无穷小的比较
    • 无穷小的性质
      • 有限个无穷小的和是无穷小
      • 有限个无穷小的积是无穷小
      • 无穷小量与有界量的积是无穷小
  • 无穷大量
    • 概念（函数值趋向无穷）
    • 常用的一些无穷大量的比较
      • 函数
      • 数列
    • 无穷大量的性质
      • 两个无穷大量的积任为无穷大量
      • 无穷大量与有界变量之和任为无穷大
    • 无穷大量与无界变量的关系
      • 无穷大量（都很大）
      • 无界变量（仅要求有一项很大即可）
      • 无穷大量必为无界变量，反之则不一定
    • 无穷大量和无穷小量之间的关系
      • 无穷大的倒数是无穷小，无穷小（但不为零）的倒数为无穷大
  • 常考题型
    • 极限的概念、性质及存在准则
    • 求极限
      • 利用基本极限求极限
        • 常用的基本极限
        • 1的无穷型
      • 利用等价无穷小代换求极限
      • 利用有理运算法则求极限
        • 加减乘除
      • 利用洛必达法则求极限
        • 需要查看是否满足洛必达法则的条件，特别是分母在该点的导数不为零
      • 利用泰勒公式求极限
        • 展开到相减不为零即可，或者看看分子或者分母的阶数
      • 利用夹逼准则求极限
      • 利用单调有界准则求极限
        • 证明单调递增或者单调递减（也可以通过图像性质）
        • 若单增，则求出上界 若单减，则求出下界
        • 设极限等于a，两段都用a代入求解
      • 利用定积分定义求极限
    • 无穷小量阶的比较
      • 洛必达
      • 等价无穷小
      • 泰勒展开
• 函数的连续性
  • 连续的概念
    • 在某点的领域有定义，且该点有极限且等于该点的值
    • 既左连续又右连续，则函数在该点连续
    • 在（a，b）内连续，若在a处右连续，b处左连续，则函数在[a，b]连续
  • 间断点及其分类
    • 定义
      • 在某点的去心邻域内有定义，但在该点不连续，则该点～
    • 间断点的分类
      • 第一类间断点（左右极限都存在）（两种分类完全）
        • 可去间断点（左极限=右极限）
        • 跳跃间断点（左极限≠右极限）
      • 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）（两种分类并不完全）
        • 无穷间断点
        • 振荡间断点
  • 连续性的运算与性质
    • 连续函数通过四则运算后在该点仍就连续
    • 两连续函数的复合函数在该点处也连续
    • 基本初等函数在其定义域内都是连续的
    • 初等函数在其定义区间（包含在定义域内）内都是连续的
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 最值定理
      • 在闭区间内连续，则必有最大值和最小值
    • 有界性定理
      • 在闭区间上连续，则必有界
    • 介值定理
      • 在闭区间上连续，则必有一个值介于两端点函数值之间
    • 零点定理
      • 闭区间上连续，且两端点函数值相乘小于零，则必有一点的函数值为零
  • 常考题型
    • 讨论函数的连续性及间断点的性质
    • 有关闭区间上连续函数性质的证明题