第七章、无穷级数

第七章 无穷级数 思维导图，下图简便记忆，知识点梳理，对着讲义的大概思路。导图主要介绍了常数项级数、傅里叶级数、幂级数的知识点。

无穷级数

• 常数项级数
  • 内容
    • 概念
      • 一个数列的无穷项相加
      • Sn部分和，若Sn有极限，则成级数Un收敛，并称这个极限值s为级数Un的和，如果Sn极限不存在，则称级数Un发散
    • 性质
      • 级数收敛，×系数k也收敛
      • 极限相加减
        • 两个极限收敛，则相加减也收敛
        • 一个极限收敛，一个极限发散，则相加减必发散
        • 如果两个都发散，敛散性不定
      • 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性
      • 收敛级数加括号仍收敛且和不变（括号增加收敛性，可使有些发散变收敛），绝对值增加发散性（可使有些收敛极限变发散）
        • 级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛，级数加括号以后发散，原级数一定发散
      • 级数收敛的必要条件：若级数Un收敛，则极限Un=0
        • 若极限Un=0，级数Un不一定收敛
        • 若级数Un≠0，级数Un一定发散
    • 判断敛散性
      • 基本定理
        • 级数Un收敛=有界
          • 比较判别法
            • 大的收敛→小的收敛，小的发散→大的发散
              • 初步判断敛散性，收敛则放大，发散则缩小
          • 比较法极限形式
            • (取无穷)
              • 0<l<+∞，同敛散
              • l=0，分母大于分子，则Vn收敛→Un收敛
              • l=∞，分子大于分母，则Un收敛→Vn收敛
              • 常用P级数和几何级数比较
                • p级数，>1收敛
                • 几何级数，<1收敛，S=首项/（1-q）
          • 比值法
          • 根值法
          • <1，则收敛；>1，则发散；=1，不一定
          • 积分判别法
            • fx在[1，∞]单减，非负的连续函数，且an=fn，则
          • 等价代换仅适用于正向级数
    • 交错级数
      • 莱布尼茨准则
        • Un单调减
        • limUn=0
    • 任意项级数
      • 不是正向也不是交错级数，则是任意项级数
        • 做法：加绝对值，利用正向级数判别法
        • 绝对收敛与条件收敛
          • 绝对收敛：级数|Un|收敛，则级数Un收敛
          • 条件收敛：级数Un收敛，但级数|Un|发散
          • 结论
            • 绝对收敛的级数一定收敛
            • 条件收敛的级数的所有正项（或负项）构成的级数一定发散
  • 技巧
    • 正项级数敛散性判定
      • 使Un化成最简，初步判断敛散，不等式求敛散
      • 单调性找最值，测极限是否为0，≠0一定发散
    • 交错级数敛散性判定
      • 求导判单调性找递减，递减不需要全部，某一项以后递减就可
      • 洛必达找limUn=0
      • sin、cos要化成标准形式，+nΠ、-nΠ
      • 证明条件收敛：一般是交错级数
        • 证递减，证无穷极限=0
        • 加绝对值证发散
    • 任意项级数敛散性判定
      • 先求|Un|
      • 正项级数各种方法
      • 已有绝对值不好算，利用不等式公司，2ab≤a²+b²
      • 绝对收敛与条件收敛相加减
        • 绝对+条件=条件
        • 绝对+绝对=绝对
        • 条件+条件=不定
      • 多项式，分子项多，拆成几项简单级数
      • 几个常见思想
        • limUn=0
          • 验证an敛散性
          • 利用有界≤M，将乘积换成Mbn，判断收敛
        • 选择先判断绝对收敛
        • Un+Un-1，类似这种两数列前后项用定义从U1、U2开始相加减抵消求解
• 傅里叶级数
  • 内容
    • 概念
    • 性质
  • 技巧
    • 收敛定理：狄利克雷
      • 确定周期
      • 确定奇偶性，是否延拓
      • 观fx是否连续，利用fx求解
    • 展开为傅里叶
      • 首先确定fx函数奇偶性，确定an或bn=0
      • 确定周期带入公式
      • 几个常见计算
        • cosnΠ-1=
          • 0 n为偶数
          • -2 n为奇数
      • 求某级数和，算出展开式然后带入数值
• 幂级数
  • 基本
    • 收敛半径
      • 极限比值=1/R
    • 收敛区间
      • 不考虑端点
    • 收敛域
      • 考虑端点
  • 性质
    • 有理运算
    • 计算技巧
      • 多项式
        • 先积后导
      • 多项式倒数
        • 先导后积
      • 含n！
        • ex、cosx、sinx
        • 微分方程
    • 幂函数展开
      • 麦克劳林公式
      • 逐项可导，逐项可积
  • 技巧
    • 收敛区间和收敛域
      • 比值求收敛半径
      • 确定收敛区间
      • 带入两个端点，计算是否收敛
      • 若系数未给出用阿贝尔定理
        • 条件收敛是端点
        • 由比值可算出R，找出端点划分区域
        • 看题目是否给出某端点收敛，最后确定收敛去时加上
    • 将函数展开幂级数
      • 与积分有关时，别忘记考虑常数
      • 最后检验收敛域两端是否收敛
      • 收敛域要考虑原fx的可行域
      • 最终解检验i=1....带入表达式中，观fx是否存在，依次代换
      • ln复杂函数先从内部拆开分别求解
    • 级数求和
      • 常数项求和
        • 利用幂级数求和，最后带入特定的值
      • 几个展开式，注意x的范围：幂级数求和
        • 算出收敛R，求收敛域
        • 观收敛域与最后和函数的端点范围是都相同，否则将端点带入
        • 下标要变成标准公式形式，带入公式
      • 幂级数证明
        • 找an+1与an之间的关系
        • 反复迭代
        • 将已知数据带入
        • 两边同时×条件需要的x
        • 求Sx
    • 有关求和函数表达式
      • 微分方程，按题目条件求导，注意下标变化
      • 将题目已给的条件带入
        • n=0
        • 常数项相加减求关系（无关下标）
      • 设级数，构造微分方程