导图社区 一元函数微分学
考研数学第二章的思维导图，包含了倒数应用、导数与微分的常考题型方法和技巧等内容，需要的朋友可以收藏。
第七章 无穷级数 思维导图，下图简便记忆，知识点梳理，对着讲义的大概思路。导图主要介绍了常数项级数、傅里叶级数、幂级数的知识点。
这是一篇关于一元函数积分学的思维导图。该思维导图比较系统全面地归纳总结了关于一元函数积分学的知识的和解题方法，干货满满。
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一元函数微分学
导数与微分
导数概念
微分概念
导数与微分的几何意义
连续、可导、可微关系
求导公式
反函数
高阶
参数
易忘公式
求导法则
导数应用
微分中值定理
【a,b】上连续，（a,b）上可导，且fa=fb——f'（c）=0：罗尔定理
分子≠0：柯西
拉格朗日
泰勒
建立函数与导数的关系
极值与最值
极值点是导数=0或不存在的点：极值的概念
fx在Xo处可导，且Xo为fx的极值点，则f'Xo=0（驻点）：极值点的必要条件
极值点必为驻点，但驻点不一定为极值点
极值的充分条件
一阶导数变号，左右两端异号：第一充分
第二充分
f'Xo=0,f''Xo≠0，取极值，f''Xo＞0时取极小值
前n-1阶导数都为0，第n阶≠0：第三充分
n取奇数，在Xo处无极值
n取偶数，有极值
最值
求出fx在（a，b）内的驻点和不可导点
求在各点和两端点的函数值
比较大小
曲线的凹向和拐点
凹向
f''x＞0判断
拐点
必要条件
在Xo两边异号：第一充分
f''=0,f'''≠0：第二充分
前n-1阶导都为0,n阶≠0：第三充分
n为奇数有拐点
n为偶数，不是拐点
渐近线
无穷极限=A:水平
某点等于无穷（第二类间断点）：垂直
斜渐近线
公式
fx=ax+b+α(x)（x→∞，α(x)→0）
平面曲线的曲率
易忘
常考题型方法和技巧
方程的根的存在性及个数
存在性
零点定理
至多n个零点，至少n个零点=n个零点
找原函数：罗尔定理
最大值的导数为0：费马定理
由求证判断条件是否矛盾：反证
根的个数
单调性
在区间I上fx的n阶导≠0，则方程fx=0在I上最多有n个实根：罗尔定理的推论
含参数求根的个数
确定x范围
分离参数
确定单调性
极限判断两端点是否异号
以y=a（参数）讨论根个数问题
notes
先判断x的范围
利用导数确定方程单调性
最后求两端点极限，看是否异号
实根个数思路
注意积分的各种隐含条件
证明有多少根
先取最近点判断至少存在的根数
利用导数（罗尔定理推论）
证明函数不等式
凹凸性
微分中值定理证明
一个未知
分析还原法
微分方程
两个未知
=
柯西
≠
确定c点，一般是中点
不等式
以条件信息最多的点为泰勒展开
中点展开
两端点展开
构造泰勒被展开点相加减
善用绝对值不等式关系
局部（泰勒）：与某点邻近有关
极值
极限
整体（拉格朗日余项）：与某点邻近无关
常考题型方法与技巧
利用导数定义求极限
已知某导数存在，用导数定义求已知
抽象函数、复合函数
在某点有公共切线，切点带入分析函数值与导数值
利用导数定义求导数
分段函数在分界点处的导数一般用定义
fx在Xo处连续
在某空心领域内可导
（x~Xo）limf‘x存在
利用导数定义判断函数的可导性
概念定义题型：动点-定点，将点带入极限中，观某点极限与点是否有联系
复杂复合函数：
b(x)~0，但b(x)≠0
b(x)可正可负
a（x）与b(x)同阶
fx=h(x)|x-a|，其中h（x）在x=a处连续，则fx在x=a处可导的充要条件是h(a)=0
fx可导不一定|fx|可导
设fx连续
若fXo≠0，则fX在Xo处可导=|fx|在Xo处可导
若fXo＝0，则f’Xo=0＝|fx|在X处可导
分段函数定义求导判断一阶连续：x≠0直接求导，然后求极限，判断是否和x＝0定义求导解出值相等，相等则连续（0为某点）
导数与微分计算
复合函数求导
奇偶性：奇函数在0点处＝0
f'(a)g'(Xo)（g(Xo)=a）内外层导数相乘
内外层不可导不能判定复合不存在
内外层都可导则复合可导
高阶导数
代公式
设uv，将简单v求导直至k阶时=0，u求到n-k阶
sin：降幂套公式
泰勒：
泰勒级数
