一元函数积分学思维导图

这是一篇关于一元函数积分学的思维导图。该思维导图比较系统全面地归纳总结了关于一元函数积分学的知识的和解题方法，干货满满。

一元函数积分学

• 不定积分
  • 基本概念
    • 原函数
    • 不定积分
  • 原函数的存在性
    • 若fx在I上连续，则fx在I上必有原函数
    • 若fx在区间I上有第一类间断点，则fx在I上没有原函数
  • 不定积分的性质
  • 基本积分公式
  • 三种积分法
    • 凑微分换元
    • 第二类换元：复合函数，常利用三角函数
    • 分部积分：构成导数与函数的关系
  • 三类常见积分
    • 有理函数积分
      • 部分分式
      • 特殊：加项减项拆项或凑微分降幂
    • 三角有理式
      • 万能公式：tanx/2=t
      • 三角变形、换元、分部
    • 简单无理函数积分：x是一次，令整个根号=t
  • notes
    • • 令其=t
      • 想方设法令ex=dex
      • 善用分子分母同除或同乘
• 反常积分
  • 子主题
• 定积分应用
  • 子主题
• 定积分
  • 将区间分成n个若干个小区间，取微小近似：概念
  • 所围成面积：几何意义
  • 可积性
    • 必要条件
      • 存在，则fx在[a,b]上有界
    • 充分条件
      • fx在[a,b]上连续，则积分必定存在
      • 有界，且有有限个间断点，积分存在
      • 只有有限个第一类间断点，积分存在
  • 定积分的计算
    • 莱布尼兹公式
    • 换元积分法
    • 分部积分
    • 利用奇偶性与周期性
      • 对称区间，奇函数=0，偶函数一半的2倍：奇偶性
      • 积分在任意同一周期内积分相等：周期性
    • 利用公式
  • 变上限积分
  • 定积分的性质
    • 不等式
      • fx≤gx，则
    • 积分中值
• 常用题型方法与技巧
  • 定积分概念性质、几何意义
    • 连乘考虑对数
    • 与n有关的x积分
      • 如果好求则放大缩小，类似夹逼
      • 利用广义积分时，注意积分中值点是否依赖n（积分中值点依赖于积分区间和被积函数）
    • 几何
    • 变量代换的基本原则，代换后区间不变（不好积或找不到原函数时考虑变量代换）
    • 变限积分
      • 连续性
        • fx在[a,b]上可积，则其积分在[a,b]上连续
      • 可导性
        • fx连续，Fx可导，F'Xo=fXo
        • fx可去，Fx可导，F'xo=limfx
        • fx跳跃，Fx连续但不可导
    • 积分不等式
      • 变量代换
      • 积分中值定理
      • 变上限积分
        • 一般题目有fx单调性
      • 柯西积分不等式
        • 出现平方
      • 定积分不等式性质
      • 出现f'x
        • 莱布尼兹
        • 拉格朗日
        • 子主题
    • notes
      • 函数与反函数的复合函数=x
  • 反常积分
    • 无穷区间上的反常积分
    • 无界函数的反常积分
    • 相同定理，处理过程不同
      • 比较判别法
        • 大的收敛小的收敛，小的发散大的发散
      • 比较法的极限形式
        • 与p作比较
      • p积分
      • 原函数好找的情况：定义
    • 当出现无穷区间+无界点时，先将区域分开
  • 定积分应用
    • 利用二重积分算体积
      • 取一小块面积，环状体的面积×周长（类似呼啦圈）
    • 弧长公式
    • 物理应用
    • 易忘公式P120