高数考点梳理

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高等数学

• 第二章 函数 极限 连续
  • 函数
    • 定义域
      • 1.分式的分母不0
      • 2.偶次根式的被开方式大于等于0
      • 3.对数式中的真数必须大于0
      • 4.幂、指、三角、反三角各自考虑
      • 5.由几个数学是组成取各部分交集
      • 6.分段函数：各个定义域区间的交集
    • 奇偶性
      • 1.奇函数：f(x)=-f(x) 关于原点对称 偶函数：f(x)=f(-x) 关于y轴对称
      • 2.常见的奇偶函数： 奇函数：sinx，tanx ，arcsinx ，arctanx ，x，x³ 偶函数：cosx，x²，x⁴
      • 3.常考题型：计算f(-x)，与f(x)做比较 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶 × ÷ ➯一奇一偶则为奇，同奇同偶则为偶 偶＋常数：不改变奇偶性
    • 周期性
      • 1.满足f(x)＝f(x+T) T：周期
      • 2.周期公式：正余弦：y=sin(wx+∮) T：2π／w y=cos(wx+∮) T：2π／w 正余切：y=Atan(wx+∮) T：π／w y=Acot(wx+∮) T：π／w
      • 3.常见的周期函数：y=sinx，y=cosx，T：2π y=tanx，y=cotx，T：π
    • 有界性
      • 1.函数f(x)在x轴上既有上界，也有上界（充要条件）
      • 2.常用的有界函数：sinx∈[-1,1]，cosx∈[-1,1]，arcsinx∈[-π/2,π/2]，arctan∈[-π/2,π/2]， arccosx∈[0,π]，arccotx∈[0,π]
      • 3.收敛一定有界
    • 同一函数
      • 同时满足：1.定义域相同 2.表达式相同
    • 反函数
      • 1.原函数与反函数至于与定义域相反
      • 2.原函数方f(x)与他的反函数f⁻¹(x)的图像关于直线y=x对称
      • 3.常见的反函数：y=sinx与y=arcsinx；y=lnx与y=eˣ
    • 复合函数
      • 1.由基本初等函数通过复合而成的函数
      • 2.不是任意两个函数都可以复合成复合函数
  • 极限
    • 定义
      • 1.极限存在的充要条件：左右极限存在且相等
      • 2.收敛一定有界
      • 3.若极限存在则极限值必唯一
    • 无穷小量
      • 1.极限为的变量
      • 2.说一个函数f(x)是无穷小量时必须指出自变量X的取值范围
      • 3.性质：a.无穷小量乘有界函数任为无穷小量 b.有限个无穷小的和差积仍为无穷小量 c.无穷小量与常数的乘积，仍为无穷小量 d.无穷大的倒数是无穷小
      • 4.无穷小的比较 0 高阶 → 分母较分子 lim f(x) = ∞ 低阶 ↘ ˣ⁻ˣº g(x) A （A≠0，且A≠1） 同阶 → 分子较分母 1 等价 ↗
      • 5.等价无穷小的传递性：即：α∽β，β∽γ ⇨ α∽γ
    • 常见的等价无穷小量
      • △→0时常用的等价无穷小： sin△∽△； tan△∽△； arcsin△∽△； arctan△∽△； (e⁰-1)∽△； 1-cos△∽1/2△²； (secx-1)∽1/2△²； ln(1+△)∽△； (ⁿ√1+△ -1)∽△； (a⁰-1)∽△lna； △- sin△∽1/6△³； tan△ - △∽1/3△³； [(1+△)²-1]∽2△； (arcsin△ - △)∽1/6△³； (△-arctan△)∽1/3△³； (tan△-sin△)∽1/2△³；
    • 数列极限
      • 1.单调有界数列必有极限
      • 2.极限存在则数列收敛
    • 极限的四则运算
      • 2.储备：c/∞=0；∞/c=∞；c/0=∞ (c为常数)
      • 3.x→∞时求极限(直接看分子分母最高次数) a.分子>分母，极限为∞ 分子<分母，极限为0 分子=分母，极限为最高次系数比 b.抓大头：忽略次要部分，抓住最高次系数比
      • 4.x→a求极限（a为常数） a.若f(x)是多项式：直接将f(x)中的x换为a计算 b.若f(x)为分式函数：分母不为0，直接将f(x)中的x换为a 分母为0，先化简，再求解
    • 两个重要极限
    • 分段函数的极限
      • 考察分段函数分段点的极限
    • 洛必达法则
      • 1.适用题型：0／0型或∞／∞型
      • 2.方法：分子分母分别求导
      • 3.洛必达变形
        • (1)0·∞型：思路：0·∞➯1／∞·∞或0·1／0
        • (2)∞·∞型：思路：通分合并
        • (3)1ºº,0º,∞º型：思路：1ºº ∞·ln1 0º {取自然对数} 0·ln0 → 0·∞ ∞º 0·ln∞ 注：aᵇ=N → b=logₐN ; eᵇ=N → b=lnN
    • 渐近线
      • 1.水平渐近线与斜渐近线不能同时出现
      • 2.分类：a.limf(x)=b,y=b为水平渐近线 b.limf(x)=∞,x=x₀为垂直渐近线 c.若k=limf(x)/x，blim[f(x)-kx],ze y=kx+b为斜渐近线
  • 连续
    • 连续
      • 1.极限值＝函数值，左极限＝右极限，则连续
      • 2.初等函数的连续性：a.基本初等含糊在其定义域内都是连续的 b.连续函数的和差积商都是连续的 c.连续函数的复合函数人卫连续函数 d.一切初等函数在其定义域内都是连续的
      • 3.闭区间上连续的函数一定在该区间上有界
      • 4.零点存在定理：设f(x)在[a,b]上连续f(a)·f(b)<0，则必存在∮∈(a,b)，使f(∮)=0
    • 间断点及其分类
      • 第一类间断点（左右极限都存在）：跳跃间断点：左右极限不相等 可去间断点：左右极限相等但不等于函数值 第二类间断点：无穷间断点：极限为无穷 震荡间断点：极限不为无穷，即不存在
• 第三章 导数
  • 定义
    • 1.记法：f'(x)，y'，dy/dx，df(x)/dx。
  • 几何意义
    • 1.可导不一定连续（可微即可导）
    • 2.连续不一定可导
    • 3.不连续一定不可导
  • 导数与连续的关系
    • 1.考试方向：切线斜率切线方程法线方程
    • 2.直线的点斜式方程：y-y₀=k(x-x₀) 切线与法线相互垂直：k切×k法＝-1
  • 基本初等函数导数公式
  • 导数的四则运算
    • 设V(x)与U(x)在点x出可导，则： 1.加减：(u±v)=u±v 2.乘：(u·v)'＝u'v＋uv'；(c·v)'＝c'v+cv'=cv' 前导后不导，加前不导后导 3.除：(u/v)'＝u'v-uv'/v²；[1/v(x)]'＝v'(x)/v²(x) 分母平方，分子先导
  • 复合函数求导法则
    • 1.步骤：a.分清复合函数的复合过程 b.分清内外函数，先对外函数求导再乘上内函数的导数
    • 2.复合函数的导数＝外导×內导
    • 3.抽象函数求导
  • 反函数求导
    • 反函数的导数等于原函数导数的倒数
  • 高阶导数
    • 1.除参数方程外几阶导就是求几次导
    • 2.常用的高阶导技巧
  • 隐函数求导
    • 步骤：a.把隐函数中的y看作一个关于x的复合函数 b.结合复合函数求导法，式子两边都求导（对含y的项求导后要乘一个y′） c.整理变形接触y′ 注：1.把x,y看成中间量同时求导。2.依据复合函数求导
  • 参数方程求导
    • 1.一阶导：dy/dx=y'/x'
    • 2.二阶导：d²y/dx²=(dy/dx)′·1/x′=y′/x′·1/x'
  • 对数求导法
    • 1.针对题型：幂指函数较复杂形式的函数
    • 2.步骤：a.函数式两边取自然对数 b.利用对数的运算性质进行化简 c.利用隐函数求导法求导
  • 微分
    • 1.dy=y'dx(先去函数的导数再乘自变量的微分)
    • 2.微分与导数的关系：可微⇔可导
    • 3.几何意义：切线纵坐标
• 第四章 导数及微分的运用
  • 罗尔中值定理
    • 条件：若函数y＝f(x)满足一下条件 a.在闭区间[a,b]上连续 b.在开区间(a,b)内可导 c.f(a)＝f(b)，左右端点函数值相同 结论：在开区间(a,b)内至少存在一点，使f′(∮)=0 f′(∮)=f(b)-f(a)/b-a=0/b-a=0
  • 拉格朗日中值定理
    • 条件：若函数y=f(x)满足一下条件 a.在闭区间[a,b]上连续 b.在开区间(a,b)内可导 则：在开区间(a,b)内至少存在一点∮，使f(b)-f(a)=f'(∮)(b-a) f'(∮)=f(b)-f(a)/b-a
    • 推论1：若函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点的导数恒为0 则y=f(x)在(a,b)内是一个常数 推论2：若′f(x)=g′(x)，那么f(x)=g(x)＋c
  • 柯西中值定理
    • 条件：a.闭区间[a,b]上连续 b.开区间(a,b)内可导 c.对任意x(a,b)，且g'(x)≠0 则：开区间(a,b)内至少存在一点∮，使f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(∮)/g'(∮)
  • 边际函数
    • 1.边际成本：C′(Q) 经济意义：当已生产了Q个单位产品后再增加一个单位的产品，使总成本增加的数量
    • 2.边际收益：R′(Q) 经济意义：销售Q个单位产品后再多销售一个单位产品是所增加的总收益
    • 3.边际利润：L'(Q) 经济意义：若已经产生了Q个单位的产品再多生产一个单位的产品是所增加的总利润
  • 函数的单调性
    • 1.判断单调性：a.若f'(x)>0，函数y=f(x)单调递增－－增区间 （求一阶导） b.若f'(x)<0，函数y=f(x)单调递减－－减区间
    • 2.解题步骤：a.求定义域 b.求一阶导f′(x) c.令f′(x)=0，求全部驻点，并找出令f′(x)不存在的点 d.定义域分区间列表考察（找特殊值）
  • 函数的极值
    • 1.左增右减极大值，左减右增极小值 a.极值：极大值 极值点：极大值点 极小值 极小值点 b.极大值不一定大于极小值；极小值也不一定小于极大值 c.函数存在极值的必要条件：如果函数f(x₀)在点x处可导，且取的极值那么f′(x₀)=0 d.函数的极值在驻点处或倒数不存在的点处取得驻点处不一定取得极值
    • 2.求极值的步骤：a.求定义域 b.求一阶导：f'(x) c.令f'(x)=0，求出驻点并找出令一阶导无意义的点 d.定义域分区间，列表考察 e.求极值
    • 3.利用二阶导求极值（只适用于判断驻点的极值） a.f′′(x₀)>0⇨y=f(x)在x₀处取得极小值 b.f′′(x₀)<0⇨y=f(x)在x₀处取得极大值 前提：f(x)在x₀处有二阶导，且f′(x)=0，f′′(x)0
  • 函数的最值
    • 1.闭区间上连续的最值：一定在端点处或极值点处取得 步骤：a.求出f(x)在区间(a,b)上的所有极值 b.求出端点处的函数值f(a),f(b) c.比较:最大值为最大值，最小值为最小值
    • 2.开区间上连续函数的最值： 若f(x)在一开区间内可导且有唯一极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值
  • 曲线的凹凸性(二阶导)
    • 1.知识点：f′′(x)>0，∨，凹曲线，上凹，下凸 f′′(x)<0，∧，凸曲线，上凸，下凹
    • 2.拐点：凸的曲线与凹的曲线的分界点
    • 3.步骤：a.求定义域 b.求二阶导y′′ c.令y′′=0，求出x的值并找出令y′′不存在的点 d.列表考察
• 第五章 不定积分
  • 不定积分的概念与性质
    • 1.原函数：若F′(x)=f(x)，则F(x)叫做f(x)的一个原函数
    • 2.不定积分：表示f(x)的所有原函数 记∫f(x)dx=F(x)+C
    • 3.性质：a.(∫f(x)dx)′=d/dx∫f(x)dx=f(x） b.∫f′(x)dx=∫df(x)=f(x)+C c.∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
    • 4.原函数存在定理：若f(x)在某区间上连续，则函数f(x)在该区间上的原函数一定存在(即可积)
    • 5.几何意义：表示被积函数的一族曲线积分
  • 基本积分公式
    • 1. ∫kdx=kx+c (k≠0) 2. ∫xᵘdx=u/(u+1)xᵘ⁺¹+c 3. ∫aˣdx=1/lna·aˣ+c 4. ∫eˣdx=eˣ+c 5. ∫1/xdx=lnlxl+c 6. ∫lnxdx=xlnx-x+c 7. ∫sinxdx=-cosx+c 8. ∫cosxdx=sinx+c 9. ∫tanx dx=-In|cosx|+c 10. ∫cotx dx=In|sinx|+c 11. ∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 12. ∫cscx dx=In|cscx-cotx|+c 13. ∫sin²xdx=1/2x-1/4sinx+c 14. ∫cos²xdx=1/2x+1/4cosx+c 15. ∫tan²xdx=tanx-x+c=-lnⅠcosxⅠ 16. ∫cot²xdx=-cotx-x+c 17. ∫sec²xdx=tanx+c 18. ∫csc²xdx=-cotx+c 19. ∫cscx·cotxdx=-cscx+c 20. ∫secx·tanxdx=secx+c 21. ∫1/√(1-x²)dx=arcsinx+c 22. ∫1/(1+x²)dx=arctanx+c 23. ∫1/√(a²-x²)dx=1/a arcsin(x/a)+c 24. ∫1/(a²-x²)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 25. ∫1/(a²+x²)dx=(1/a)arctan(x/a)+c
  • 添项减项法解不定积分
    • 方法：分子加一个数再减同一个数（加一减一原函数不变）
  • 第一类换元积分(凑微分)
    • 1.积分与元无关
    • 2.步骤：a. d谁？ b.能约分就说明d对了 c.根号内外、分子分母→相差一次，d高次
  • 第二类换元积分(带入换元法)
    • 1.三角函数代换法(三角代换) a.目的：代换根式 b.规律：①√a²-x²时，令x=asint，则√a²-x²=acost ②√a²+x²时，令x=atant，则√a²+x²＝asect ③√x²-a²时，令x=asect，则√x²-a²=atant
    • 2.根式代换 a.目的：换掉含根号的式子 b.做法：令含根式的项等于“t”，做代换
    • 3.倒代换 a.题型：分母的次数远大于分子的次数 b.目的：将分子分母次数变换为相差不大的分式 c.方法：令x=1/t，做变换
    • 4.指数代换 a.目的：消除被积函数分母中的变量因子的指数形成 b.方法：令指数的项等于t
  • 分布积分法
    • 1.核心公式：∫udv=uv-∫v·u′dx ∫u·v′dx=fudv=uv-∫v·u′dx=uv-∫vdu
    • 2.适用于两类函数相乘正确选取u和v'，对象为“反对幂指三”，靠后的当v'，lnx永远不当v'
    • 3.类型：a.∫任意两个dx(常规用箭头) b.∫xⁿ·三角dx或∫xⁿ·指数dx(简易分部积分) (x在左边求导至三角／指数在右边找原函数) c.循环积分法：算着算着出现原式，进行移项计算 ps:同一题多次使用分部积分u和v′的类型前后须一致 d.充分利用公式：uv′dx=udv=uv-vdu
  • 特殊类型函数的积分
    • 有理函数的积分：(有理假分式＝多项式＋有理真分式） 1.分子<分母：分母可因式分解 方法：a.裂项相消：1／(x+a)(x+b)＝1／b-a(1/x+a-/x+b) b.待定系数法 2.分子>分母：分母不可因式分解 a.多项式除法 b.配方法
• 第六章 定积分
  • 定义
    • 1.函数f(x)=[a,b]上用定积分表示为：
    • 2.求函数f(x)与x=a，x=b时与x轴所围面积，即为定积分：且是一个定值
    • 3.定积分只与被积函数及积分区间有关于积分变量无关
  • 几何意义
    • 设：f(x)与x=a，x=b时与x轴所围面积为A 1.f(x)>0，∫ₐᵇf(x)dx=A 2.f(x)<0，∫ₐᵇf(x)dx=-A 3.f(x)既有>0，也有<0，∫ₐᵇf(x)dx=A₁(x>0)-A₂(x<0)
  • 存在定理
    • 1.连续一定可积
    • 2.单调一定可积
    • 3.有界且只有有限个间断点一定可积
  • 性质
    • 1.∫ₐᵇf(x)dx＝-∫ₐᵇf(x)dx
    • 2.∫ₐᵇf(x)dx＝0
    • 3.∫ₐᵇkf(x)dx＝k∫ₐᵇf(x)dx (k∈R)
    • 4.∫ₐᶜf(x)dx＝∫ₐᵇf(x)dx＋∫ᵇᶜf(x)dx 积分区间的可加性
    • 5.∫ₐᵇ[f(x)±g(x)]dx＝∫ₐᵇf(x)dx＋∫ₐᵇg(x)dx 积分的有限性
    • 6.若[a,b]上f(x)≤g(x)，则∫ₐᵇf(x)dx＝∫ₐᵇg(x)dx 用于比较两个定积分的大小
    • 7.Ⅰ∫ₐᵇf(x)dx＝Ⅰ∫ₐᵇⅠf(x)Ⅰdx (a<b)
    • 8.[∫ₐᵇf(x)dx]'＝d/dx∫ₐᵇf(x)dx＝0 (a,b均为常数
  • 中值定理
    • 函数f(x)在区间[a,b]内存在一点 则∫ₐᵇf(x)dx＝f(∮)(b-a) 即：f(∮)＝∫ₐᵇf(x)dx／b-a
  • 积分上限函数及其导数
  • 牛顿-莱布尼茨公式
    • 1.公式：∫ₐᵇf(x)dx＝[F(x)]ₐᵇ＝F(b)-F(a)
    • 2.先找原函数，再代上下限
  • 计算
    • 1.换元积分法： 思路：a.先求原函数再代积分上下限 b.用换元必换限(积分上下限)的方法求解
    • 2.分部积分：先用分部积分法找原函数，再代上下限
    • 3.对称性（偶倍奇零） 若f(x)为奇函数，则＝0 若f(x)为偶函数，则＝2
    • 4.含绝对值的定积分：a.去绝对值；b.分区间；c.计算
    • 5.无穷积分的计算： (广义)
    • 6.瑕积分
      • 瑕点：即无穷间断点，在瑕点出f(x)无意义
      • 瑕积分敛散性判断算出积分是具体数字则收敛否则发散
  • 定积分的应用
    • 1.求平面图形的面积
      • a.x型区域：上、下曲线与上下直线所围的面积 S＝∫ₐᵇ[f上(x)-f下(x)]dx（图形曲线上-下积分区间左→右）
      • b.y型区域：左右曲线与上下直线所围成的面积 S＝∫ₐᵇ[f左(y)-f右(y)]dx（图形曲线右-左积分区间下→上）
      • c.解题步骤：①画图；②求交点确定积分区间；③确定被积表达式定上下限；④计算定积分
    • 2.求旋转体的面积
      • a.旋转体
      • b.由平面截面面积求体积 ①解题思路：先求出某个截面面积，再求某个截面面积再求截面面积再积分区间上的定积分 ②重点掌握两类：第一类：绕X轴旋转所成体积：（区间左到右，半径上减下） Vx＝∫ₐᵇπf²(x)dx=π∫ₐᵇf²(x)dx f(x)=r=半径,f(x)²=r²=截面圆半径的平方 第二类：绕Y轴旋转所成体积：（区间上到下，半径右减左） Vy＝π∫ₐᵇ∮²(y)dy ∮(y)＝半径
• 第七章 常微分方程
  • 微分方程的基本概念
    • 1.微分方程：含有未知函数及其导数或微分的方程
    • 2.常微分方程：在微分方程中位置函数只含一个自变量(一般为x)
    • 3.微分方程的阶：位置函数导数的最高阶数(求几阶导就是几阶，与几次方无关)
    • 4.微分方程的解：a.解：满足微分方程的函数 b.通解：接种包含任意常数，且任意常数个数与方程阶数相同 c.特解：通解中的常数，取某一特定值。（先求通解,再代条件）
    • 5.线性：方程中关于未知量y及其导数y'都是一次式
  • 可分离变量的微分方程 （用分离变量法）
    • 1.形式：dy/dx=f(x)·g(y)
    • 2.解题步骤：a.变形：分离变量，含y的放左边，含x的放右边 b.两边同时积分 c.求不定积分（对y积分不加C，对x积分加C，C为不定型)
  • 齐次微分方程
    • 1.形式：dy/dx＝∮(y/x) 右边可化为y/x的函数
    • 2.解题步骤：a.将原方程华为dy/dx＝∮(y/x)的形式 b.令y/x＝u，dy/dx＝∮(u) c.直接代入通解公式：∫du/(u)＝∫1/xdx
  • 一阶线性微分方程
    • 1.形式：dy/dx +P(x)y＝Q(x) 的微分方程
    • 2.求解技巧：若Q(x)≠0，为一阶非齐次线性微分方程 通解：y＝e^-∫P(x)dx [∫Q(x)e^∫P(x)dx dx＋C
  • 二阶常系数线性微分方程
    • 1.形式：y′′＋P(x)y′＋q(x)y＝f(x) 若f(x)≠0，为二阶非齐次线性微分方程 若f(x)=0，为二阶齐次线性微分方程
    • 2.二阶常系数齐次线性微分方程 a.形式：y′′＋P(x)y′＋q(x)y＝0 b.解题步骤：写出对应的特征方程：r²+pr+q=0 求特征根：r₁,r₂（一般用十字交叉法求解） 根据rr的情况写出通解：r₁r₂，两个不等实根：y=ceʳ¹ˣ+ceʳ²ˣ r₁r₂，两个不等实根：y=(c₁+c₂x)ʳˣ 无实根，y=eᶞˣ(ccos∮x+csin∮x) ∂=-b/2，∮=√4ac-b²/2
  • 可降阶的高阶微分方程
    • 1.y=f(x)型微分方程（只含X） 解法：连续积分n次可得含有常数的通解
    • 2.不显含y的y′′=f(x,y′)型微分方程（只含x和y′） 特点：不显含y（方程中没有出现y） 解法：令y′=p，做变量替换则y′′＝p′＝dp/dx
    • 3.不显含自变量x的y''=(y,y')型微分方程 特点：方程中没有自变量x 解法：令y'=p，做自变量替换则y''＝p'＝dp/dy；dy/dx＝pdp/dy