高数第一章函数、极限、连续

考研数学必备 武忠祥的高等数学第一章节 函数、极限、连续的思维导图

第一章

• 函数
  • 一、考试内容
    • （一）函数概念及常见函数
      • 函数概念 两个基本要素：定义域、对应规则
      • 常见函数
        • 符号函数、取整函数
      • 复合函数
        • 注：并不是任意的两个函数可以复合
      • 反函数
        • 注：①不是所有函数都有反函数。 ②单调函数有反函数。 ③有时将x=f-1(y)写成y=f-1(x)。 ④f-1[f(x)]=x；f[f-1(x)]=x
        • 普通函数是任意x都有一个y与之对应；反函数是任意一个y都与之对应 也就是说y与x一一对应（注意y与x只是变量名，无实际意义）
      • 初等函数
        • 定义：由初等函数经过有限次加减乘除和复合所能得到且能用一个解析式表示的函数
        • 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
    • （二）函数性质
      • 1、单调性
      • 2、奇偶性
        • 奇函数：f(x)-f(-x)
        • 偶函数：f(x)+f(-x)
        • 奇+奇=奇；偶+偶=偶 奇*奇=奇；偶*偶=偶 奇*偶=奇；
      • 3、周期性
      • 4、有界性
  • 二、常见题型及典型例题
    • 一、函数的四大性质与判定
    • 二、复合函数
• 极限
  • 一、考试内容
    • （一）极限的概念
      • 数列极限
      • 函数极限
        • 自变量趋近于∞时函数的极限
        • 自变量趋近于有限值时函数的极限
        • 左极限、右极限
        • 需要分左右极限的函数
          • 分段函数分界点（分界点两侧函数表达式不同）
          • e∞型极限
          • arctan∞型极限
    • （二）极限的性质
      • 有界性
        • ①（数列）如果数列{Xn}收敛，那么Xn一定有界。
        • ②（函数）若limx->x0(f(x))存在，则f(x)在x0的某去心领域有界。
      • 保号性
      • 极限值与无穷小之间的关系
    • （三）极限存在准则
      • 夹逼准则（求n项和）
      • 单调有界准则（求递推关系定义的极限）
        • 单调有界数列必有极限：单调递增有上界 单调递减有下界
        • 解题做法：①证存在极限，即单调有界 ②求极限a=f(a)
    • （四）无穷小
      • 无穷小的概念
      • 无穷小的比较
        • 高阶
        • 低阶
        • 同阶
        • 等价
        • 无穷小的阶
      • 性质
        • (1)有限个无穷小的和仍然是无穷小。 (2)有限个无穷小的积仍然是无穷小。 (3)无穷小量与有界量的积仍是无穷小。
    • （五）无穷大
      • 无穷大的概念
      • 常见的一些无穷大的比较
        • ln^n(x)<<n^a<<a^n<<n!<<n^n ，其中a>0
      • 无穷大的性质
        • (1)两个无穷大量的积仍然是无穷大量。
        • (2)无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量。
      • 无穷大与无界变量的关系
        • 无穷大量是无界变量，无界变量不是无穷大量。
      • 无穷大与无穷小量的关系
  • 二、常考题型及典型例题
    • 题型一 极限的概念、性质及存在准则
    • ***题型二 求极限
      • 方法1 利用基本极限求极限
        • limx->0(sinx/x)=1; limx->0(1+x)^(1/x);
      • 方法2 利用等价无穷小代换求极限
        • 代换原则：乘除关系可以换，加减关系在一定条件下可换
        • 常用的等价无穷小 x->0时：x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1+x)~(e^x)-1; (a^x)-1~xlna ;(1+x)^α~αx ;1-cosx~x^2/2; x-sinx~(x^3)/2 ;tanx-x~(x^3)/3; arcsinx-x~(x^3)/6 ;x-arctanx~(x^3)/3; x-ln(1+x)~(x^2)/2
      • 方法3 利用有理运算法则求极限
        • 若limf(x)=A,limg(x)=B,则： lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x) lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)*lim g(x) lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)/lim g(x)
          • 注：1)存在±不存在=不存在 2)不存在±不存在=不一定 3)存在*/不存在=不一定 4)不存在*/不存在=不一定
        • 常用结论：1)lim f(x)=A≠0 ➡lim f(x)g(x)=Alim g(x) 即非零因子先求出来 2)lim f(x)/g(x)存在，lim g(x)=0➡lim f(x)=0 3)lim f(x)/g(x)≠0，lim f(x)=0➡lim g(x)=0
      • 方法4 利用洛必达法则求极限
        • 适用类型：0/0，0/∞，0*∞，∞-∞，1^∞，∞^0,0^0
        • 注意f(x)若n阶可导只可洛必达到n-1阶，n阶连续可导可以洛必达到n阶
      • 方法5 利用泰勒公式求极限
        • 设f(x)在x=x0处n阶可导，则f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...+(x-x0)^n*(f(n)(x0)/n!)+o(x-x0)^n
        • 常见的泰勒公式： (1)e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+o(x^n) (2)sinx=x-x^3/3!+...+(-1)^(n-1)*x^(2n-1) (3)cosx=1-x^2/2!+...+(-1^n)x^2n/(2n)!+o(x^2n) (4)ln(1+x)=x-x^2/2+...+(-1^n-1)*x^n/n+o(x^n) (5)(1+x)^α=1+αx+α(α-1)*x^2/2!+...+...+α(α-1)...(α-n+1)*x^n/n!+o(x^n)
      • 方法6 利用夹逼原理求极限
        • 求n项和：①夹逼准则②定积分定义
      • 方法7 利用单调有界准则求极限
        • 一般是用来求递推关系类型
        • ①证单调有界存在极限
        • ②求极限a=f(a)
      • 方法8 利用定积分定义求极限
    • 题型三 无穷小量阶的比较
      • 0/0型 可用洛必达、等价代换、泰勒公式
• 连续
  • 一、考试内容
    • （一）连续性的概念
    • ***（二）间断点及其分类
      • 第一类间断点：左右极限均存在的间断点
        • 可取间断点：左极限=右极限
        • 跳跃间断点：左极限≠右极限
      • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
        • 无穷间断点
        • 振荡间断点
    • （三）连续性的运算与性质
      • 1、连续函数和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数
      • 2、连续函数的复合仍为连续函数
      • 3、基本初等函数在其定义域内是连续的
      • 4、初等函数在其定义区间内是连续的
    • （四）闭区间上连续函数的性质
      • 有界性定理
      • 最值定理
      • 介值定理
      • *零点定理
  • 二、常见题型及典型例题
    • 题型一 讨论函数连续性及间断点的类型
    • 题型二 有关闭区间上连续函数性质的证明题