高数第二章导数与微分

考研数学李永乐复习全书第二章节 导数与微分

导数与微分

• 考试内容概要
  • 导数与微分的概念
    • 导数的概念
      • 导数定义
      • 左导数右导数
      • 定理1 可导↔左右导数都存在且相等
      • 区间上可导及导函数 [a,b]与(a,b)的区别
    • 微分的概念
      • 微分的定义 dy=f'(x0)*Δx=f'(x0)dx 微分就是函数中x发生了变化，求y变化了多少
        • 一个正方形长度x0，现在加长了Δx，长度变化了后的面积是ΔS=(x0+Δx)^2-x0^2=2x0*Δx+Δx^2 也就是Δy=AΔx+o(Δx^2) Δx->0时候将Δx^2忽略,dy=AΔx,也称为线性主部
    • 导数与微分的几何意义
      • 导数在几何上表示曲线y=f(x)在x0处切线的斜率， 微分在几何上表示曲线y=f(x)在x0处切线上的增量，Δy≈dy
    • 连续、可导、可微之间的关系
  • 导数公式与求导法则
    • 基本初等函数的求导法则
      • 幂函数 指数求导法则 对数求导 三角函数 反三角函数
    • 求导法则
      • (u±v)'=u'+v' (uv)'=u'v+uv' (u/v)'=(u'v-uv')/v^2
      • 有理运算法则
      • 复合函数求导法
    • 隐函数求导法
      • 把y当成x的函数，不要忘了(y^2)'=2y*y'
    • 反函数的导数
      • 若y=f(x)可导且f'(x)≠0，则其反函数x=φ(y)也可导，且φ'(y)=1/f'(x)
    • 参数方程求导法
    • 对数求导法
  • 高阶导数
    • 定义
    • 常用的高阶导数公式
      • (sinx)(n)=sin(x+nΠ/2）
      • (cosx)(n)=cos(x+nΠ/2）
      • (u±v)(n)=u(n)±v(n)
      • (uv)(n)=∑CnK u(k) * v(n-k)
• 常考题型与典型例题
  • 题型一 导数定义
  • 题型二 复合函数、隐函数、参数方程求导
  • 题型三 高阶导数
  • 题型四 导数应用