控制系统的数学模型1

控制系统的数学模型1思维导图，讲述了基本概念、控制系统的动态微分方程、控制系统的复数域数学模型等板块。

控制系统的数学模型

• 基本概念
  • 描述系统在运动过程中各物理变量之间相互关系的数学表达式
  • 数学模型的几种表示方式
    • 时域模型
    • 频域模型
    • 方框图和信号流图
    • 状态空间模型
  • 建模方法
    • 解析法（ 或机理分析法）
    • 实验法（或系统辨识法）
• 控制系统的动态微分方程
  • 一.元件数学模型的建立（微分方程的列写）
    • 步骤：
    • • 分析元件的工作原理、确定输入量、输出量，找出中间变量
    • • 列写各变量的微分方程
    • • 消去中间变量，只保留输入、输出量
    • • 标准化：输入量放右端，输出量放左端
    • （降幂排列）
    • • 不包含储能元件用K代替，如果有储能参数用T。
  • 二.控制系统微分方程列写
    • 步骤以一相同
  • 三、非线性模型的线性化
    • 小偏差法：指非线性元件的变量，在动态过程中，只在偏离某一工作点附近不大的范围内变化，这种偏离很小的工作状态，可近似地作为线性来处理。
    • 用数学方法来处理，就是将一个非线性函数在某工作点附近展开成泰勒级数。然后略去二次以上的高次项，得到线性化方程用来代替原来的非线性函数。
    • 线性化处理满足实际要求时，可以线性化；若不满足实际效果要求，就不能线性化。
• 控制系统的复数域数学模型
  • 拉氏变换要求
    • ① t<0时 f(t)= 0 物理上可实现
    • ② t>0时，f(t)分段连续
  • 拉氏变换基本定理
    • 1.线性定理
    • 2.位移定理
    • 3.延迟定理
    • 4.终值定理
    • 5.微分定理
    • 6.积分定理
    • 7.初值定理
    • 8.卷积定理
  • 拉氏反函数由 ：由F(s)求 f(t)
    • 查表
    • 部分分式法
    • 留数法
  • 典型函数的拉氏变换
    • 阶跃函数
    • 斜坡函数（速度函数）
    • 抛物线函数（等加速度函数）
    • 单位脉冲函数
    • 正弦函数
    • 指数函数
  • 如何用拉氏变换求解数学模型
    • 1.方程两端同时进行拉氏变换
    • 2.利用拉氏的基本性质与运算法则求得C(s)
    • 3.进行部分分式分解,取拉氏反变换
    • 4.求出的c(t)叫系统的响应
  • 微分方程的解：特解+齐次微分方程的通解 通解:由微分方程的特征根所决定
  • 优点：比较直观，直接得到输出随时间变化的曲线及表达式。 缺点：如系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统的分析和设计。
  • 传递函数 Transfer Function
    • 定义
      • 线性系统的传递函数，定义为在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 （只适用于线性元件或线性系统）
    • 性质
      • 与微分方程一一对应;
      • 传函只反映系统的动态性能（自身固有性质）与输入输出无关。 不反映物理组成，不同物理元件可能有相同传函；
      • 输入信号作用位置与输出信号的取出位置不同，传递函数不一样；
      • 传递函数只适用于线性元件与线性系统，只适用于单变量控 制系统（多变量不行）。如果是多个输入对一个输出也可以
    • 典型环节的传递函数
      • 1.比例环节（放大环节）
      • 2. 惯性环节（非周期环节、惰性环节）
      • 3.积分环节
      • 4.微分环节
        • （1）理想微分环节
        • （2）实用微分环节
        • （3）一阶微分环节（比例微分）
      • 5.振荡环节
      • 6.时滞环节（迟后环节）
        • 延迟时间 t
      • （1）典型环节是按数学模型来划分，因此与元件不是一一对应关系。 一个元件可以同时包含很多典型环节 （2）输入量和输出量不同，包含的环节是不一样的
      • (1).典型环节形式(尾一型)（系统增益） (2).零极点形式（根轨迹增益）