导图社区 FRM 1级 数量
FRM 1级 数量思维导图：包含概率论，全概率公式，离散概率分布，连续概率分布，：性质、公式、查表混合分布：低频高损事件，一维随机变量等等
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FRM1-风险管理基础的思维导图，分享了基础知识、投资组合管理、高级风险管理、风险案例、道德的内容，一起来看。
FRM1-估值与风险建模的思维导图，介绍了basic、价格、yield & return、利率、期限结构非平行移动、MBS、利率衍生品、市场风险、信用风险等知识。
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数量
概率论
概率
全概率公式
计算非条件概率
贝叶斯公式
先验概率
后验概率
信息调整因子
越接近0越有用
一维随机变量
分布
离散概率分布
伯努利分布
二项分布
独立重复n次伯努利实验
泊松分布
出现average关键词或者n，p只出现一个
一段时间内事件平均发生次数
连续概率分布
均匀分布
正态分布
X，Y相互独立服从正态分布
对数正态分布
x服从对数正态分布，lnx服从正态分布
lnx服从正态分布，x服从对数正态分布
抽样分布：性质、公式、查表
t分布
肥尾，对称，均值为0
卡方分布
右偏
F分布
混合分布：低频高损事件
矩
一阶矩
中位数&分位数
inter-quartile range（IQR）=
分位数
步骤
数列从小到大排序
计算每个数之间间隔的百分比，5个数，构成4个间隔，每个间隔25%
无法取到整数的进行线性插值
算数平均
众数
期望
性质
X、Y相互独立
二阶矩
方差
X，Y相互独立
协方差
相关系数（标准化协方差）
线性关系
三阶矩：对称性
偏度-尾巴的方向
左偏，负偏
右偏，正偏
四阶矩：陡峭，尾巴薄厚
峰度
标准正态-峰度=3
尖峰肥尾，矮峰收尾，与正态分布比
矩的性质
峰度不变
BLUE
best estimator should be unbiased and linear
linear：线性计算的估计量
unbiased：样本均值等于总体均值
best：最小方差的线性无偏估计量
二维随机变量-离散
相关系数
独立同分布 iid
数理统计
评价统计量
无偏：样本均值期望等于总体均值
有效：无偏且线性前提下，方差最小
一致：样本容量越大，样本参数越接近总体参数
定理
大数定律：样本容量增加，样本均值满足一致性
中心极限定理：未知分布转化为近似正态
条件
1、简单随机抽样
2、总体的均值&方差有限
3、样本容量超过30
样本统计量结论
1、服从正态分布
2、均值为μ
3、方差为
也为标准误
置信区间
定义：
示例：
要素
置信水平：1-α
显著性水平：α（显著错误的水平）
对应关系-双尾
90%置信区间 ->置信因子
95%置信区间 ->置信因子
99%置信区间 ->置信因子
假设检验
基本思想：单次抽样，小概率事件不会发生
1、立假设：原假设，备择假设
备择假设作为挑战者
2、选检验统计量
3、定显著性水平
4、定决策规则
5、计算检验统计量
6、判断：是否拒绝
p值：拒绝原假设最小显著性水平（“接受”的最大错误率）
越小越拒绝
p只与α比
7、决策
错误
第一类错误：拒真：α
多重检验容易发生第一类错误
第二类错误：受伪：β
统计检验力：1-β，拒伪，挑战成功，pk掉原假设，证明出原假设是错的
线性回归
最小二乘法
假设
1、残差期望为0
2、自变量方差严格大于0
同方差假设
3、独立同分布
4、残差的条件方差为常数
5、无极端异常值
高斯-马尔科夫定理
参数为最优线性无偏估计量 BLUE
有效
无偏
线性
回归分析
识别极端值
cook距离
大于1是极端值
挑选合适模型的方法
一般到特殊GtS
大模型删减变量至所有系数显著
1、找出所有相关变量
2、去掉显著性低（贡献）的统计量
3、重复步骤2，直到都显著
m-fold cross-validation
多个模型，数据分为m份，1份验证，其余训练，选残差方差最小模型
二值变量
n个相关二值变量，只需加入n-1变量，否则完全共线性
模型评估
TSS=ESS+RSS
总平方和TSS
total sum of squares
解释平方和ESS
explained sum of squares
残差平方和RSS
residual sum of squares
可决系数
一元
解决多元回归中，增加自变量可决系数不下降，反而增大的问题
可能小于0
回归标准差
anova table
significance F: F统计量查表得到的P-value
联合假设检验：整体检验多个参数
F统计量
模型错误
遗漏变量偏误：有解释变量被放在了残差中
取决于
遗漏变量对因变量的影响
遗漏变量与自变量的相关性
模型简单
bias偏误大
无关变量
标准误增大
variance方差大
违反回归假设
异方差：残差的方差不是常数
发现：残差项图
条件异方差conditional heteroskedasticity
方差和x有关
影响
影响1：回归系数不有效，但无偏、一致
只影响标准误，不影响系数大小
影响2：回归系数方差不准
过小：易拒真
过大：易受伪
检验：white检验
解决方法
异方差稳健标准差：解决影响1
加权最小二乘法WLS：解决影响2
多重共线性
完全共线性：一个自变量能被其他自变量线性组合表示
不完全多重共线性：2个or以上自变量高度相关
影响：方差大，但无偏
检验
t检验时没有一个系数显著不为0（任意单看每一个变量都觉得可有可无），但F显著，R方大
自变量间相关系数大，>0.7
解决
去掉相关性高的
逐步回归分析
时间序列
概述：时间序列→去趋势→去季节性→是否随机游走→差分去随机游走→噪声→判断协方差平稳→判断白噪声→判断使用的模型ACF&PACF
协方差平稳
均值有限且为常数
方差有限且为常数
自协方差只与滞后阶数有关，与时间点无关
对称性
自相关函数 ACF
偏相关函数 PACF
自回归后的系数
白噪声
均值为0
序列不相关，自协方差，自相关系数均为0
独立白噪声
高斯白噪声
独立且正态
检验残差是否为白噪声
原假设：时间序列是白噪声
统计量：检验自相关系数
Box-Pierce Q统计量
Ljung-Box Q统计量
比BPQ更优秀
时间序列模型
平稳
移动平均模型 MA(1)
μ长期平均项
Wold定理
任意均值为0且协方差平稳的时间序列都能写成无穷多项白噪声变量的线性组合
定义：时间序列的变动由现在以及过去每期的冲击累积而成
均值 μ
ACF截尾， PACF衰减
MA(q): q+1阶开始截尾
一直平稳，短记忆力
自回归模型AR(1)
定义：t时刻与之前时刻的关系，关系系数φ绝对值小于1时收敛&协方差平稳
均值
ACF衰减，PACF截尾
AR(q): q+1阶开始截尾
含之前项，长记忆力
自回归移动平均模型ARMA
ACF、PACF均衰减
AR部分平稳则整体平稳
季节性因素
商业数据不季度调整，宏观数据季度调整
引入季节性滞后变量
非平稳
趋势性
线性趋势模型
多次趋势模型
对数线性模型
季节性
注意二值变量的多重共线性问题
随机游走
即φ=1的AR模型
检验：单位根
非平稳，滞后算子多项式中有(1-L)的因式
检验：Augmented Dickey-Fuller，ADF检验
原假设：有单位根，非平稳
伪回归
不均值复归
ARMA模型建模，时间序列服从Dickey-Fuller分布
DF分布
非对称
关键值依赖样本容量
关键值需考虑模型中趋势项
收益率、波动率、相关系数
收益率
单利复利转换
金融资产收益率分布检验
Jarque-Bera，JB统计量
检验服从正态分布
原假设：偏度为0，峰度为3
幂律
非正态分布尾部特征
波动性
波动率volatility
单位时间内收益率标准差
方差变化率variance rate
波动率的平方，收益率方差
隐含波动率
BSM模型推导得出
相关性
Pearson相关系数
常规相关系数
非线性
Spearman相关系数
排名的相关系数，对极端值不敏感
Kendal τ 相关系数
协调concordant：排名同向变动
τ衡量协调点与非协调点之间占比差异
（协同组数量-非协同组数量）/总组数
模拟、自举
蒙特卡洛模拟
通过数据生成过程生成数据，可进行情景分析
缺点
准确性依赖假设
耗时耗力
方差减少技术
反向变量法antithetic variables：取一半值，其余取负数
控制变量法：引入相似特征已知变量，估计原有变量
自举法bootstrapping
实际抽样数据最为总体，反复抽样：检测数据挖掘偏差
样本不能代表总体，存在极端值异常值时模型失效
数据发生结构性变化模型失效
伪随机数生成器PRNGs
去掉前面一些随机数再使用
