函数值域知识点（导图）

高中数学 值域求解题型，包含判别式法：将函数式化成关于的方程，肪程有解，用根的判别式求出参数的 取值范围，即得函数的值域

函数值域知识点

• 定义
  • 函数值的集合叫做函数的值域.
  • 表示方式
    • 集合或区间
• 常见函数的值域
  • 一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R
  • 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)
    • 当a>0时的值域
    • 当a<0时的值域
  • 反比例函数的值域为{y∈R|y≠0}
  • 指数函数)的值域为{y|y>0}.
  • 对数函数的值域为R
  • 幂函数的值域
    • • 值域为R
    • • 值域为[0,+∞)
  • 正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的值域为[-1,1]，正切函数y=tanx的值域为R.
• 求值域常用方法
  • 配方法
    • 特征
      • 二次函数或可以化成二次函数的函数
    • 步骤
      • 一般先对二次函数配方，再画图观察得到函数的值域.
  • 分离常数法
    • 特征
      • 分式上下齐次或次数相差一
    • 步骤
      • 一般先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数，再求函数的值域.
  • 判别式法
    • 特征
    • 步骤
      • 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.
  • 单调性法
    • 特征
      • 函数的单调性容易判断.
    • 步骤
      • 先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.
  • 数形结合方法
    • 特征
      • 函数有明显的几何意义.
    • 步骤
      • 先找到“数”对应的“形”，再利用数形结合分析解答.
  • 反函数法
    • 特征
      • 已知函数比较容易求反函数.
    • 步骤
      • 先求已知函数的反函数，再求反函数的定义域，最后利用反函数的定义域就是原函数的值域关系得到原函数的值域.
  • 导数法
    • 特征
      • 函数的结构比较复杂，利用导数可以方便地求出函数的单调性.
    • 步骤
      • 先利用导数求出函数的单调性，再根据函数的单调性得到函数的值域.
  • 换元法
    • 普通换元法
      • 特征
        • 未知数存在平方关系转二次
      • 步骤
        • 一般先引进一个新元代替旧元，再求新函数的值域.
    • 三角换元法
      • 特征
        • 齐次且存在根号未知数加减
      • 步骤
  • 不等式法
    • 基本不等式
      • 特征
        • 分离常数法与换元
      • 步骤
        • 一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.
    • 绝对值不等式（数形结合法）
      • 特征
        • 一般含有两个绝对值.
      • 步骤
        • 直接使用绝对值不等式 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b||求解，也可以利用数形结合求解.
          • 备注
            • 使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“一”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边. 再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“一”，总之要使中间是常数.
    • *柯西不等式
      • 特征
        • 一般含有平方和或交叉的乘积等.
          • 补充
      • 步骤
        • 取等