奇偶性与对称性

高中数学，一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(- x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数

奇偶性对称性周期性

• 奇偶性
  • 偶函数
    • 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
    • 关于y轴对称
      • 图示
  • 奇函数
    • 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
    • 关于原点对称
      • 图示
  • 判断
    • 定义法
      • 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求f(-x)；最后比较f(-x)和f(x)的关系，如果有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数，如果有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.
    • 和差判别法
      • 对于函数定义域内的任意一个x，若f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数；若f(x)-f(-x)=0，则f(x)是偶函数.
    • 作商判别法
      • 对于函数定义域内任意一个x，设f(-x)≠0，若(f(x))/(f(-x))=-1，则f(x)是奇函数，(f(x))/(f(-x))=1，则f(x)是偶函数.
  • 常用结论
    • 对于奇函数如果过原点则f(0)＝0
    • 对于奇偶函数的四则运算
      • 同性加减得同
      • 同行乘除的偶
        • 异性乘除得奇
    • 特殊奇函数
      • 对数与反比例
      • 指数与反比例
      • 对数与无理式
• 对称性
  • 轴对称
    • f(a+x)=f(b-x)
      • 对称轴
    • f(a+x)=f(b-x)
      • 对称轴
    • f(x)=f(2a-x)
      • 对称轴
  • 点对称
    • f(a+x)+f(b-x)=c
      • 中心对称点
        • f(a+x)+f(b-x)=2c
          • 中心对称点
    • • 中心对称点
• 周期性
  • 定义
    • 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零常数T为这个函数的周期
      • 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
  • f(x+a)=f(x−a)
  • f(x+a)=−f(x)
  • 周期2a
  • 对称与周期
    • 两个对称中心(a，0)与(b，0))，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|
    • 两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|
    • 一个对称中心(a，0)与一条对称轴x=b，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|