导图社区 数学北师大版四年级上册第四单元-运算律(教案版)
数学北师大版四年级上册第四单元-运算律(教案版)。知识点包括四则混合运算顺序,加法交换律和乘法交换律,加法结合律,乘法结合律,乘法分配律等。 每个小节知识点详细,逻辑清晰,包括知识的教授过程与方法、详细的举例、知识点分类与总结。适合学生学习与老师备课
编辑于2022-07-20 20:48:52小学数学四年级上册第四单元 运算律
买文具
导入
师:同学们经常去文具店买东西吗?仔细观察这幅图片,从中你找到了哪些有用的数学信息?
生:计算器每个22元,铅笔盒每个18元,圆珠笔每支4元,钢笔每盒24元
师:你能提出什么问题?
1.买4支圆珠笔多少元?
2.钢笔每支多少元?
3.买3个计算器多少元?
4.买3个计算器和1支钢笔要多少元?
探究新知
①
师:今天这节课我们先来研究第4个问题:买3个计算器和1支钢笔要多少元?
师:需要多少元呢?你能独立完成吗?
学生试做,教师巡视
师:同学们怎么做的呢?
生:用3个计算器的钱加1支钢笔的钱,22×3=66(元) 24÷4=6(元) 66+6=72(元)
师:谁可以列成综合算式?
生:22×3+24÷4
师:怎么计算呢?
生:这个算式里含有加、乘、除两级运算,应该先算乘除,后算加法
练习:先说出下面各题的运算顺序,再计算
35+65×40÷5 12×(153-83)÷8
师:第二道有小括号,应该怎么办?
生:先算小括号里面的
小结
在一个算式里含有两级运算,应先算乘除法,后算加、减法,有括号要先算括号里面的
②
练习:你能添上括号使9÷3×5-2=1吗?
学生交流
师:怎么计算得数是1呢?大家怎么想的?
生:先算5-2=3,再算3×3=9,最后9÷9=1
师:算式里含有两级运算,应先算乘除,后算加减,那怎样才能最先算减法呢?
生:小括号
师:9÷3×(5-2),只使用小括号能行吗?怎么办?
生:只用小括号算出减法后还剩乘除法,同级运算按从左到右的顺序,还是不行
师:第二步应该算什么?
生:乘法
师:请中括号[ ]来帮忙
9÷[3×(5-2)] =9÷[3×3] =9÷9 =1
小结
当我们需要改变运算顺序时,如果只有小括号不行,那我们就可以请中括号来帮忙。计算时,要先算小括号里面的,再算中括号里面的
巩固练习
收获总结
学会了运算顺序
先乘除,后加减,有括号先算括号里的,先算小括号里面的,再算中括号里面的
加法交换律和乘法交换律
导入
复习计算
8+9= 12+16= 6×8= 4×7= 9+8= 16+12= 8×6= 7×4=
师:仔细观察上面的式题,你发现了什么?
生:上下两个算式数字相同,位置不同,但计算的结果却是相同的
师:数学真是奥妙无穷,这节课就让我们继续来探索数学运算中有关加法和乘法的规律吧! ( 板书课题:加法交换律和乘法交换律)
探究新知
①
师:通过刚才的举例验证,我们先一起探索加法中的规律吧
师:再观察这4个加法算式,这些例子都是几个数相加?上下两个算式之间发生了什么变化?结果怎样?
生:两个,位置交换,结果不变
师:老师要将这个现象归纳为一句话
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变
这就叫作加法交换律
师:能不能用一个等式来表示我们发现的规律?
同桌之间相互简单交流
师:大家想出了什么方案啊?
①用文字表示
甲数+乙数=乙数+甲数
②用符号表示
◆+●=●+◆
③用字母表示
a+b=b+a
小结
在刚才同学们提出的不同表示方式中,发现用字母表示规律比较简洁。所以加法交换律我们这么表示:a+b= b+a
今后我们在数学学习上还会经常用到字母来表示计算规律或数学公式
师:运用加法交换律,我们还可以验算加法的计算结果是否正确
师:验算时,可以将两个加数交换位置后再加一遍;也可以用原来的竖式,把每一位上的数从下往上再加一遍
师:为了计算正确,我们应养成良好的验算习惯。笔算时,要养成口头验算的习惯
②
师:我们再来看看乘法中,是否也存在这个规律
师:仔细观察这4个乘法算式,你能得出什么规律?
生:两个数相乘,交换乘数的位置,它们的积不变
师:这就叫作乘法交换律
师:如果用字母a、b分别表示两个数,那么乘法交换律用字母可以怎样表示?
生:乘法交换律用字母表示:a×b=b×a
③练习
④思考
探讨:减法和除法中有交换律吗?
只要举一个反例就能推翻猜想
⑤交换律的应用
①连加算式
师:交换律只能在加数为两个的算式中用吗?
师:比如这个24+35+46+80=80+46+35+24,这个成立吗?前面的算式通过交换加数位置后变成后面一个算式,还相等吗?
师:相等的,加数的个数只要≥2都可以交换加数的位置,交换时就选择其中两个进行交换
师:比如这题,它进行了怎样的交换?(将24和80进行交换,35和46进行交换),也就是说可以多次对两个数进行交换位置,并且多次交换你会发现每一个加数可以在任意一个次序(位置)
师小结:加法交换律可以用在若干个加数相加的加法算式中,交换后每个加数可以在任意次序
通过多次交换任意两个数最终可以达到
②连乘算式
师:乘法算式中也是成立的,乘法交换律可以用在若干个乘数相乘的乘法算式中,交换后每个乘数可以在任意次序
②连减算式
例154-78-54,154-54-78
减去同样的数先减和后减得数一样
有时候交换位置计算更简便
小结
连减算式,交换减数的位置,差不变
③同级运算的混合算式
加减混合计算
例35-17+5,35+5-17;71-23+9,71+9-23
第一个数不动,后面的数交换位置时,与前面的运算符号一起交换,结果不变
乘除混合计算
例125÷5×8,125×8÷5;40×12÷4,40÷4×12
第一个数不动,后面的数交换位置时,与前面的运算符号一起交换,结果不变
巩固练习
收获总结
学会了加法交换律和乘法交换律
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变
两个数相乘,交换乘数的位置,它们的积不变
交换律的应用
连加算式
加法交换律可以用在若干个加数相加的加法算式中,交换后每个加数可以在任意次序
连乘算式
乘法交换律可以用在若干个乘数相乘的乘法算式中,交换后每个乘数可以在任意次序
连减算式
连减算式,交换减数的位置,差不变
同级运算的混合算式
加减混合计算
第一个数不动,后面的数交换位置时,与前面的运算符号一起交换,结果不变
例35-17+5,35+5-17
乘除混合计算
第一个数不动,后面的数交换位置时,与前面的运算符号一起交换,结果不变
例125÷5×8,125×8÷5
学会熟练运用加法交换律和乘法交换律进行简便计算
加法结合律
导入
师:上节课我们学习了加法交换律,谁来说一说
生:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变
师:我们一起练一练,根据加法交换律,在()里填上合适的数
20+34=()+(),36+()=64+(),a+100=()+()
师:那么加法还有没有其他规律性的知识?这些知识又有什么作用呢?这节课我们继续学习
探究新知
①由题入手,引出猜想
课件出示准备题:(4+8)+6、4+(8+6),学生计算出得数
师:比较两式题的异同
生1:加数相同,得数相同
生2:运算顺序不同
师:再看这题,19+62+38和19+(62+38),得数会相同吗?(相同)
师:刚才的两个例子说明了什么?
生1:不能用文字概括,而结合具体式题说出结合律
教师稍加引导
师:几个数相加?
生:三个,且加数相同
师:它们的运算顺序分别是怎样的?
生:第一个先算的前两数的和再与第三个数相加,第二个先算的后两数的和再与第一个数相加
师:结果如何?
生:得数相同,即和不变
师:同学们能试着总结出一个规律吗?
生2:基本能用文字概括出结合律
师:三个数相加,先把前两个数相加,再与第三个数相加;或者先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变
师:这个规律正确吗?普遍适用吗?猜想是从准备的题中归纳出来的,是否正确,还有待于我们去验证它
②验证猜想,形成规律
师:要验证我们的猜想是否正确,可以通过计算其他式题来证明
女生完成:3024+(73+6) (13+8)+5;男生完成:(3024+73)+6 13+(8+5)
汇报答案:得数相同,符合猜想
师:能证明猜想正确,还有我们身边的一些生活实例
果园里有桃30个,梨40个,苹果50个,一共有多少个?
生1:30+40+50
生2:40+50+30
生3:50+30+40
老师进一步启发:以上几个加法算式,每个算式有什么相同点和不同点?各表示什么意义呢?
学生讨论交流。同:都是同样的三个数相加。不同:先计算的两个量的和不一样。生1先计算的桃子与梨的数量的和再加苹果。生2先计算的苹果与桃子的数量的和再加梨……
师:都是算三种水果的数量,先算哪个后算哪个不影响总数
师:所以3个数相加,无论先算哪两个加数的和,最后3个加数的和都不变
师:刚刚总结的,在加法中,三个数相加,先把前两个数相加,再与第三个数相加;或者先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变,正确吗?
师:正确的,无论先算前两个加数的和还是后两个加数的和,最后3个加数的和都不变
师:这就叫加法结合律。三个数相加,先把前两个数相加,再与第三个数相加;或者先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变
师:你们能用自己喜欢的方式表示出来吗?
生1:(甲数+乙数)+丙数=甲数+(乙数+丙数)
生2:(△+○)+☆=△+(○+☆)
生3:(鸡+鸭)+鹅=鸡+(鸭+鹅)
生4:(a+b)+c=a+(b+c)
师:同学们表示的方式都很好,通常用“生4”的方式,也就是用字母表示。请同学们思考一下,加法结合律在计算中有什么作用?
生1:三个数相加,可以先选择能凑整十或整百的两个数相加,使计算简便
生2:运用加法结合律,能使计算既简便又正确
③加法结合律的应用
师:对的,加法结合律是这样的(a+b)+c=a+(b+c),但我们在应用结合律时它的样式不是必须要和他一样。我们要理解它的意义。它实质告诉我们不一定非按从左到右的顺序将前两个数相加,更侧重结合凑整,有凑整的就将能凑整的两个数结合先算,有利于计算简便,有时候是前两个凑整,有时候是后两个凑整,但有时候是第一个和第三个凑整,我们都要用加法结合律,将凑整的两个数结合一起先算。我们说了,加数不变,无论将哪两个加数结合在一起先算,最后3个加数的和都不变,我们一起看例子
23+46+24 =23+(46+24) =23+70 =93
后两个数可以凑整,把后两个数结合一起先算,则要加一个小括号。(a+b)+c=a+(b+c)这个规律的样式不是说要严格执行,前面必须要有括号才能,它只是告诉我们要将能凑整的两个数先结合算。计算中要改变顺序则加小括号
57+288+43
57+288+43 =288+(57+43) =288+100 =388
师:像这题,第一个和第三个需结合一起先算,原本位置不相邻的直接用结合律时交换了加数的位置,所以这一步也用了加法交换律。第一个是把43与288交换,然后前两个数结合先算。第二个是将288与57交换,这样是后两个结合先算。当然也可以先只用交换律写第一步,然后只用结合律写第二步。一般直接用结合律计算,若加数位置交换则同时用了交换律
师:加法结合律的应用:三个数相加,将能凑整的两个数结合在一起先算,运算顺序改变但结果不变
④结合律的推广应用
师:像这题,加数不止3个。有能凑整的数,不止一组。115+85=200,132+118=250。所以将115与85结合一起先算,同时也将132+118结合一起先算,就有了两个小括号,一样的小括号下一步可以同时计算。加数交换了位置所以也会用到交换律。当然也可以先只用交换律调整位置,让能凑整的数相邻(如图)交换中不用太在意谁和谁交换,若干个数相加,交换加数位置后,加数可以在任意次序
师:加法结合律的推广应用,若干个加数相加,也能使用结合律,将能凑整的数结合在一起先算。只要加数不变,无论先将哪几个加数先算,和都不变
师:所以大家在以后的计算中,要灵活运用,怎样算简便就怎样算
⑤扩展知识:连减算式的简算
减法的性质
一个数连续减去两个数就等于这个数减去这两个数的和
字母表示
a-b-c=a-(b+c)
例
巩固练习
收获总结
加法结合律
三个数相加,先把前两个数相加,再与第三个数相加;或者先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变
(a+b)+c=a+(b+c)
加法结合律的应用
连加算式(加数个数≥3)使用结合律简便计算时,将能凑整的数结合在一起先算,运算顺序改变但结果不变
(三个数相加结合律的应用与推广应用结合)
连减算式的简算
减法的性质
一个数连续减去两个数就等于这个数减去这两个数的和
a-b-c=a-(b+c)
乘法结合律
导入
师:(出示课件)请同学们迅速口算下面的算式
23×3= 70×5= 13×100= 25×4= 125×8=
师:有谁愿意试一试,直接告诉我答案?
生1:69;350;1300;100;1000
师:好!请坐,太棒了!同学们再看这题,淘气和笑笑给我们带来了两组式题,分别如下:
观察式子,我们发现(2×4)×3=2×(4×3),7×4×25=7×(4×25)。想一想:这是为什么呢?
探究新知
①乘法结合律
师:观察这两组算式,你发现了什么?
生可能说:含有相同的乘数,积相等;都用乘法计算,但运算顺序不同
师:任意三个数连乘,改变运算顺序,积都不会变吗?我们来找出三个数,算算看
先独立举例子,再在小组内交流,说说想法。为了节省时间,遇到较大的数可以借用计算器
一起举例子
师:刚才大家列举了那么多的算式,三个数相乘,虽然运算顺序变了,但结果怎样?(不变)
师:同学们能观察这些算式,用自己的语言说说其中的规律吗?
学生尝试回答
师:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变。这就是乘法结合律
师:如果用a、b、c三个字母分别表示这三个数,你能写出乘法结合律吗?
学生口头用字母表示出乘法结合律
(a×b)×c=a×(b×c)
师:同学们真聪明!老师把我们刚才发现的过程用语言表示出来,就是“发现问题——举例验证——概括规律”。以后,我们可以用这样的方法,去发现更多的规律
②乘法结合律的应用
师:乘法结合律的应用和加法的结合律类似。加法结合律是将能凑整的数结合起来先算。你能说说乘法结合律有什么意义吗?
生:三个数相乘,将能凑整的两个数结合在一起先算,运算顺序改变但结果不变
后两个数可以凑整,把后两个数结合一起先算,则要加一个小括号
第一个和第三个可以凑整,把它两个结合一起先算,由于位置不相邻,结合一起先算的同时也用了乘法交换律,交换有两种情况所以这一步还可以这么写:(25×4)×38
③乘法结合律的推广应用
师:结合律只能用在3个数相乘的算式中吗?
师:不是的,它和加法结合律一样,若干个数相乘的算式也是可以用结合律的,看例子
师:式子中有能凑整的数吗?
125×8
师:那我们就把它俩结合在一起先算:=38×(125×8)×3,当然你也可以这样写:(125×8)×38×3,这样同时也用了交换律
38×125×8×3 =38×(125×8)×3 =38×1000×3 =38000×3 =114000
师小结
若干个数相乘的算式我们叫连乘算式(乘数个数≥3),也能使用乘法结合律,将能凑整的数结合在一起先算,运算顺序改变但结果不变
④扩展知识:连除算式的简算
除法的性质
一个数连续除以两个数,等于用这个数除以两个除数的积
字母表示
a÷b÷c=a÷(b×c)
例
巩固练习
收获总结
学习了乘法结合律
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法结合律的应用
连乘算式(乘数个数≥3)使用乘法结合律简便计算时,将能凑整的数结合在一起先算,运算顺序改变但结果不变
连除算式的简算
除法的性质
一个数连续除以两个数,等于用这个数除以两个除数的积
a÷b÷c=a÷(b×c)
乘法分配律
导入
师:同学们,通过前面的探索活动,我们已经发现了一些数学规律,并应用乘法结合律等运算律解决问题。这节课我们再一起去探索,看看我们又会发现什么规律?
探究新知
①
师:一套套房正在装修,请工人叔叔贴瓷砖,请同学算一下一共贴了多少块瓷砖?
师:请同学们用已学过的知识来计算。并说明你是怎样算的
学生汇报
①每列8块,侧面4列,正面6列
4×8+6×8 =32+48 =80(块)
师:请你说说算式中的4×8和6×8分别算的是什么?
生:分别算出侧面和正面贴的块数
②侧面4列,正面6列,一共10列,每列8块
(6+4)×8 =10×8 =80(块)
师:为什么这样算呢?
生:两面墙共有6+4列,一列有8块,所以我先算出一共有10列,再用10×8算出共有多少块瓷砖
③每行有10块瓷砖,白瓷砖有3行,蓝瓷砖有5行
3×10+5×10 =30+50 =80(块)
师:这是用行数×每行的个数计算的,3×10,5×10分别算的什么呢?
学生回答
④白瓷砖有3行,蓝瓷砖有5行,一共8行,每行10块
(3+5)×10 =8×10 =80(块)
师:这也是用行数×每行的个数计算的,只是你没有蓝白瓷砖分开算,算的整体的行数
师:同学们对于这一组式子4×8+6×8和(6+4)×8有没有什么发现?
生:它们都用到了同样的三个数字
师:是的,还有这样一组:3×10+5×10和(3+5)×10
师:由于它们的得数都一样,老师要将每一组中的两个式子画上“=”
(6+4)×8=4×8+6×8;(3+5)×10=3×10+5×10
师:观察这两组算式有什么发现?
特点:两个数的和同一个数相乘等于这两个数分别与这一个数相乘的积相加
规律:等号左边算式中的两个加数,就是等号右边算式中两个不同乘数;等号左边算式中的一个乘数,就是等号右边算式中两个相同的乘数
师:如果用a、b、c分别表示三个数,你能写出你的发现吗?
板书:(a+b)×c=a×c+b×c(并带读)
师:你觉得怎样才能更好地理解这个规律呢?
学生交流
汇报:我们都是幸福的三口之家,爸爸、妈妈和小朋友,爸爸和妈妈都爱小朋友,也就是爸爸爱小朋友加妈妈爱小朋友。这里的a、b、c就可以分别代表爸爸、妈妈和小朋友
师:这就是我们今天要学习的乘法分配律(板书:乘法分配律)
两个数的和同一个数相乘,可以先让它们分别与这个数相乘,再相加,结果不变。这叫做乘法分配律
师:根据乘法的意义我们也可以这么理解记忆
师:例(6+4)×8表示6+4个8的和,我们简说成6+4个8,也就是6个8加4个8,即6×8+4×8
师:(a+b)×c=a×c+b×c,就是a+b个c=a个c加b个c
②乘法分配律的应用过程
去括号
含义
从分配律(a+b)×c=a×c+b×c的等号左边变到等号右边,我们把这一过程叫去括号
步骤
用括号外的数乘括号里的每一个数,连接积的符号与括号内的加减符号对应
也可以利用乘法的意义做每一个步骤,即几个几
例
(25+9)×4 =25×4+9×4 =100+36 =136
如果不去括号则计算34×4,去括号则是括号外的数×括号里的每一个数的积相加,25×4可以口算,4×9也可以口算,更简便,简便算法可以利用乘法分配律去括号计算
乘法的意义:(25+9)个4分开算即25个4加9个4
提出相同数
含义
从分配律(a+b)×c=a×c+b×c的等号右边变到等号左边,我们把这一过程叫去提出相同数
步骤
提出相同的数写上乘号,剩下的数写在括号里,括号里的加减符号与连接积的符号对应
也可以利用乘法的意义做每一个步骤,即几个几
例
35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700
不利用分配律则要算两个乘法并且需要笔算。利用乘法分配律则第一步提出相同的数然后写上“×”,剩下的数放在括号里相加,这样计算更简便
乘法的意义:35个37加65个37,合起来一共(35+65)个37
③乘法分配律的应用
①
两个数的差乘一个数,即(a-b)×c=a×c-b×c
例
(125-16)×8 =125×8-16×8 =1000-128 =872
26×8-6×8 =8×(26-6) =8×20 =160
②
若干个数的和乘一个数,即(a+b+c+……+z)×m=a×m+b×m+c×m+……+z×m
③
若干个数的差乘一个数,即(a-b-c-……-z)×m=a×m-b×m-c×m-……-z×m
④
若干个数的和差乘一个数,即(a+b-c-……+z)×m=a×m+b×m-c×m-……+z×m
连接积的符号与括号内的符号对应
巩固练习
收获总结
乘法分配律
两个数的和同一个数相乘,可以先让它们分别与这个数相乘,再相加,结果不变。这叫做乘法分配律
(a+b)×c=a×c+b×c
乘法分配律的应用
应用一:去括号
步骤
用括号外的数乘括号里的每一个数,连接积的符号与括号内的加减符号对应
也可以利用乘法的意义做每一个步骤,即几个几
应用二:提出相同数
步骤
提出相同的数写上乘号,剩下的数写在括号里,括号里的加减符号与连接积的符号对应
也可以利用乘法的意义做每一个步骤,即几个几
乘法分配律的推广
①
两个数的差乘一个数,即(a-b)×c=a×c-b×c
②
若干个数的和乘一个数,即(a+b+c+……+z)×m=a×m+b×m+c×m+……+z×m
③
若干个数的差乘一个数,即(a-b-c-……-z)×m=a×m-b×m-c×m-……-z×m
④
若干个数的和差乘一个数,即(a+b-c-……+z)×m=a×m+b×m-c×m-……+z×m
连接积的符号与括号内的符号对应