第 二 章 与 时 俱 进 的 数 学 教 育

数学教育概率 第 二 章 与 时 俱 进 的 数 学 教 育 第 一 节 20 世 纪 数 学 观 的 变 化 1、数学发 展史上的 四个高峰 【2014填 空】 2、四个高 峰期出现的 特点 这四个高峰期的出现显示出“ 数学应用” 和严密的“ 公理化” 交互出现，体现出螺旋上升波浪式前进的特点。 （1）以《几何原本》为代表的古希腊的公理化数学(公元前 700- 300；欧几里得-《几何原本》)— — 严密，从公理系统出发用逻辑方法演绎出来的知识体系； （2）以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数

第二章 与时俱进的数学教育

• 第一节 20 世纪数学观的变化
  • 1、数学发展史上的四个高峰【2014填空】
    • （1）以《几何原本》为代表的古希腊的公理化数学(公元前 700- 300；欧几里得-《几何原本》)— — 严密，从公理系统出发用逻辑方法演绎出来的知识体系；
    • （2）以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学(17- 18 世纪；17世纪的资本主义社会)— — 不严密，但非常有用；
    • （3）以希尔伯特为代表的现代公理化数学(19- 20 世纪中叶)— — 公理化，形式主义，抽象的数学成为人类思维能力的最高典范；
    • （4）以现代计算机技术为代表的信息时代数学(20 世纪中叶- 今天)—应用。
  • 2、四个高峰期出现的特点
    • 这四个高峰期的出现显示出“ 数学应用” 和严密的“ 公理化” 交互出现，体现出螺旋上升波浪式前进的特点。
    • （1）古希腊数学比较注重严密性
    • （2）无穷小算法数学十分有用
    • （3）现代公理化数学注重形式化
    • （4）信息时代数学注重联系与应用
  • 3、形式主义数学(重要，考点)P21
    • 内涵
      • 数学是从一组相容的、独立的、完备的公理体系出发，按逻辑方式推理出来的“形式”，与现实无关。只需要满足公理规定的关系，追求形式，讲究纯粹数学的定义、法则、逻辑推演，不重视数学联系实际。
    • 目的
      • 构造“ 数学公理” 来判断所有的数学命题，一切数学命题都能由这组公理判定其是否成立，数学就建筑在这一公理体系之上。
    • 观点
      • 数学应用是实用主义，短视行为，数学能力的核心是数学逻辑思维能力，不宜出数学应用题。
    • 评价
      • 数学要适当地形式化，不能完全地按照公理去思考问题，但也不能把日常生活中的测量等直接当做证明。所以这个度特别重要。
  • 4、人类的数学文明体现在哪里？ P22 可能出论述题
    • 人们享受的数学文明可以说无处不在。飞机起飞降落定位需要卡尔曼滤波技术, 汽车设计需要计算机模拟, 企业管理使用数学模型，医院看病使用数学技术, 药品效果有赖统计分析，股票涨落需要数学估算, 计算机设计使用二进制数，软件设计依赖离散数学, 信息传输依赖小波分析, 搜索引擎基于随机。
  • 5、核心数学的发展趋势特点（理解）
    • 从线性到非线性，混沌、分形、动力系统等研究迅速发展； 从交换到非交换，矩阵、算子的乘法都是不可交换的；  从一维数学到高维数学，特别是四维和无穷维； 随机数学和确定性数学、离散和连续、局部性质和整体性质间的对立与整合。
  • 6、数学观在 20 世纪的变化（重点）
    • （1）公理化方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但数学不等于形式。数学正在走出形式主义的光环。 （2）在计算机技术的支持下，数学注重应用。 （3）数学不等于逻辑，要做“ 好” 的数学。 因此，端正我们的数学观，实在是十分必要的。
  • 7、数学进步的推动力
    • 分为数学内部问题的驱动和数学外部问题的驱动(真题) p22
  • 2014 真题：举例说明“ 数学内部问题和数学外部问题是数学发展的动力” （15 分）
    • 我们以数学发展过程中的一些现象为例，对数学发展的内部、外部问题做一些说明。数学发展史上四个高峰
    • 第一个高峰的古希腊数学是从公理体系出发用逻辑方法演绎出来的知识体系；第二个高峰是以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学，但是是不严密的。虽然是不严密的定义，但却非常有用，这种方法可以解释许多物理学、几何学等问题。
    • 这些由数学内部问题而带来的数学上的发展很大程度上给当时社会带来了一定的积极影响。19 世纪的数学，在继续解决电磁学、热力学、流体力学中这些数学外部问题的同时，致力于数学基础的严格化这一数学内部问题，从而推动数学发展进入第三个高峰：严密的现代公理化体系。这一时期的数学家们给人们留下了许多的数学精品，其中抽象的数学成为人类思维能力的最高典范。
    • 随着 1946 年电子计算机的问世，第四个数学高峰也随着而来，在这一时期，数学外部问题更是发挥了巨大的推动作用。许多数学家投入反对法西斯的运动中，一大批直接服务于战争需要的数学技术随之产生。例如，英美海军为了对付德国潜艇的威胁，创立了运筹学；冯、诺依曼的对策论则用于太平洋战争的战术决策中。
    • 这些外部问题推动了数学发展，同时也极大地改造了数学本身，解决、完善了数学内部问题。由此可见，数学进步的推动力总有两个部分：数学内部问题和数学外部问题的驱动。

第二章 与时俱进的数学教育

• 第二节 作为社会文化的数学教育 (P23- 27)
  • 提示
    • 题目中若出现数学文化，数学史，数学与人类文明等都可以回答本节内容
  • 1、怎么理解数学文化是人类文化的重要组成部分?
    • （1）首先，数学和人类文明是互相促进的关系。 一方面，数学的内容、思想、方法和语言，都会深刻地影响人类文明的进步。另一方面，数学又从文化的发展中汲取营养，会受到时代文化的制约。(阐明关系)
    • （2）数学是具有文化价值的。 比如研究函数, 我们会看到社会的需要，牛顿创立的微积分，哲学上关于物质运动的学说等。这些都体现了函数的文化价值。（ 为什么、举例说明）
    • （3）从研究数学文化的角度上讲，我们应该从数学思想方法和文化互动的过程中展开。 数学家的创造，是他所处时代的文化产物，反过来又丰富了那个时代的文化。我们应该从这样的互动中认识数学的文化本质，并且在数学教学中揭示数学的文化意义。（ 怎样做）
  • 2、数学具有广泛而深刻的文化内涵和人文价值
    • （1）数学是人类文明的火车头【16复试】 人类文明往往以数学成就作为特殊的标志。 古希腊文明以《几何原本》作为标志，17世纪的资本主义文明，是以牛顿的科学成就作为标志，以爱因斯坦的相对论为代表的现代科学文明，建立在黎曼几何之上，20世纪下半叶开始的信息时代则以数学信息论、数学控制论以及电子计算机冯•诺依曼方案为代表。 从人类文明的高度来审视数学，就不会简单地把数学看成逻辑。 （ps：这句话也可以用来回答关于形式数学只注重数学逻辑的论述题，例如 2015 年真题：谈谈你对“ 数学就是逻辑推理；数学教学就是抽象命题的教学” 观点的理解与认识）
    • （2）数学打上了人类各个文化发展阶段的格印 以“ 对顶角相等” 的证明为例，我们可以看出中国古代数学文化和古希腊文化的不同造成了数学呈现出不同的特点。古希腊的数学特点是典型的用公理进行逻辑推演，体现了理性思维。这一个特点是与古希腊的文化密切相关的。因为古希腊的城邦实行“ 奴隶主的民主政治” ，反映在文化上，他们必须要说服对方，来争取选票，所以说证明的最好途径就是从大家公认的真理（公理）出发，通过逻辑推演来得到结论，因此古希腊的数学闪耀着理性思维的光辉，客观地、冷静地、逻辑地进行思考，来探求真理。而中国传统的数学是以计算见长，具有“ 算法数学” 和“ 数学机械化” 的特征. 这与中国古代数学注重实用，利用数学丈量田亩，计算税收和土方有密切的关系。（ 学习数学不能脱离有关的文化背景）
    • （3）数学应从文化中来汲取营养 数学家在创立数学的时候，不断地从文化中汲取营养。许多数学家的思想和人类普通的思想是相通的。以守恒为例，中华民族传统文化中的宣扬美德是不变的，数学上的对称和文学中的对仗是相通的，物理上有能量守恒定律。数学思想的建立离不开人类文化的进步。在本原的思想上，许多学科之间都彼此相通。
    • （4）数学思维方式对人类文化具有独特贡献 数学为人类提供了用高度抽象思维把握现实存在的文化范例。数学是自然科学和社会科学在数量上的一种抽象的概括。数学是世界的抽象化、符号化描述。数学世界是一个由人类来编制的、有自己严密的组织与系统的、超物质的理性思辨体系。数学的这一特质，成为人类思维的象征。数学理性成为人类文明的核心部分之一。 数学抽象和数学理性的世界具有文化的形态。例如，数的世界是数学思维的产物，数学是人类思维的精致化，无理数的发现是数学抽象的又一重要台阶，非欧几何的创立是数学理性的又一伟大胜利，数学模拟世界是数学理性的新境界（数学模型）。
    • （5）数学成为描述自然和社会的语言 数学是一种普遍使用的科学的语言，一门科学只有成功地运用数学表达时才会成熟。学更多的是使用符号、图像语言以及特有的句式，符合逻辑的严密性。数学语言的特定的简约性也使其成为人类用于描述自然和社会规律的通用语言。另一方面，数学又对自然语言产生了重大影响，比如，直线上升、指数爆炸等数学术语渐渐为媒体广泛使用。(ps：若题目中出现有关数学语言特点可以回答这段落内容)