第4章 数据的概括性度量

这是一篇关于第4章 数据的概括性度量的思维导图，主要内容有集中趋势的度量(反映了—组数据中心点的位置)、离散程度的度量各变量值远离其中心值的程度、偏态与峰态的度量(分布的形状)。

第4章 数据的概括性度量

• 集中趋势的度量 （反映了一组数据中心点的位置）
  • 分类数据：众数（mode）
    • 定义：一组数据中出现次数最多的变量值，用Mo表示
    • 特点：是一个位置代表性，不受极端值的影响，
    • 缺点：具有不唯一性，一个/两个/多个/没有
  • 适用范围：①数据量较多 ②分类数据，顺序数据，数值型数据
  • 顺序数据：中位数和分位数
    • 中位数（median）
      • 定义：一组数据排序后处于中间位置上的变量值，用Me表示
      • 特点：用中位数代表总体标志值的一般水平，不受数据极端值的影响，对某些经济社会现象更具有代表性
      • 适用范围：顺序数据，数值型数据 当一组数据偏斜程度较大时，使用中位数会比较好，或者考虑众数
      • 中位数的确定：①根据未分组数据计算中位数时，要对数据进行排序 ②确定中位数的位置 ③确定中位数的具体数值
    • 四分位数（quartile）
      • 定义：也称四分位点，一组数据排序后处于25%（下四分位数)和75%(上四分位数)位置上的值
      • 计算
        • 根据未分组的数据进行计算四分位数时，①对数据进行排序，②确定四分位所在的位置，③该位置上的数值就是四分位数 下四分位数为Ql 上四分位数为Qu
        • 注意:①如果位置是整数，四分位数就是该位置对应的值 ②如果是在0.5的位置上，则取该位置两侧值的平均数 ③我是在0.25或0.75的位置上，则四分位数等于该位置的下侧值，加上按比例分摊位置两侧数值的差值
  • 数值型数据：平均数（mean）
    • 定义：一组数据相加后除以数据的个数得到的结果。平均数是集中趋势最主要的测度值
    • 特点：利用了全部数据信息，应用最广泛的集中趋势测度值，特别是数据呈对称分布或接近对称分布时
    • 缺点：易受数据极端值的影响，对于偏态分布的数据，代表性较差
    • 适用范围：数值型数据 当数据呈对称分布或接近对称分布时，三个代表值相等或接近相等，这是则应选择平均数作为集中趋势的代表
    • 分类
      • 简单平均数（simple mean）：未分组数据
      • 加权平均数（weighted mean）：分组数据 k组，各组组中值为Mi,各组变量出现的频数为fi
        • 注：加权平均数的大小取决于频数之间的比率和变量值之间的大小
      • 几何平均数（geometric mean）：计算现象的平均增长率 计算比率的平均
  • 众数、中位数和平均数的关系
    • 注:①偏斜程度越小，它们之间的差别越小，偏斜程度越大，它们之间的差别越大 ②中位数在众数和算术平均数之间 ③众数与中位数的距离约为中位数与算数平均数距离的两倍
• 离散程度的度量 各变量值远离其中心值的程度
  • 分类数据：异众比率（variation ratio）
    • 定义：非众数组的频数占总频数的比例
    • 计算公式：
    • 特点：①衡量众数对一组数据的代表程度 ②异众比率越小，说明众数的代表性越好；异众比率越大，说明众数的代表性越差 ③不受极端值的影响
    • 适用范围：分类数据，顺序数据，数值型数据
  • 顺序数据：四分位差（quartile deviation)
    • 定义：上四分位数与下四分数之差
    • 计算公式：
    • 特点：①反映中间50%的数据的离散程度 ②数值越小,说明中间的数据越集中;数值越大，说明中间的数据越分散 ③不受极值的影响
    • 适用范围：顺序数据，数值型数据
  • 数值型数据
    • 极差（range）
      • 定义：一组数据的最大值与最小值之差，也称全距，用R表示
      • 特点：①容易受极端值的影响 ②不能反映出中间数据的分散状况 ③不能准确描述出数据的分散程度
    • 平均差（mean deviation）
      • 定义：各变量值与其平均数离差绝对值的平均数，用Md表示
      • 计算公式
        • 未分组数据：
        • 分组数据：
      • 特点：①平均差以平均数为中心，反映了每个数据与平均数的平均差异程度，它能全面准确地反映一组数据的离散情况 ②平均差越大，数据的离散程度越大；平均差越小，数据的离散程度越小 ③避免离差之和等于零而无法计算平均差这一问题，在计算时对离差取绝对值以离差绝对值来表示总离差;实际中应用较少
    • 方差和标准差
      • 方差（variance）
        • 定义：①方差：各变量值与其平均数离差平方和的平均数 ②样本方差：样本数据个数减1后除离差平方和。其中样本数据个数减1,即n- 1称为自由度
        • 样本方差的计算公式
          • 未分组数据：
          • 分组数据：
      • 标准差（standard deviation）
        • 定义：方差的平方根，用s表示
        • 标准差的计算公式
          • 未分组数据：
          • 分组数据：
        • 补：平均差和标准差的相同点：①计算方法相同又简单，平均法和加权平均法两种 ②范围相同，将所有的变量都考虑在内 ③作用相同，以平均数为中心测定各变量值的离散程度 不同点：①计算公式的依据不同 ②对政府离差综合平均的方法不同 ③说明同质总体的变异程度有差异 ④受极端值的影响程度不同
      • 相对位置的度量
        • 定义：可以利用平均数和标准差计算一组数据中各个数值的标准分数，以测度每个数据在该数据中的相对位置，并可以用它来判断一组数据是否有离群数据
        • 标准分数:
          • 公式:变量值与其平均数的离差除以标准差后的职称为标准分数，也称标准化值或z分数
          • 特点:①标准分数给出了一组数据中各数值的相对位置 ②平均数为0，标准差为1的特性 ③不改变一个数据在该数据中的位置，也不改变该数据分布的形状
        • 经验法则
          • 
        • 切比雪夫不等式
          • 
    • 离散系数或变异系数（coefficient of variation）
      • 定义：一组数据的标准差与其相应的平均数之比（受极端值的影响）
      • 计算公式：
        • 
      • 离散系数与方差标准差的区别:
        • 方差标准差
          • ①数据分散程度的绝对值 ②数值大小，一方面，受原变量值自身水平高低 ③数值大小，另一方面，他们与原变量值的计量单位相同，采用不同计量单位的变量取其离散程度的测度值也就不同
        • 离散系数
          • ①消除了变量值水平高低和计量单位不同，对离散程度测度值的影响 ②作用主要适用于比较对不同样本数据（多组数据）的离散程度 ③离散系数大，说明数据离散程度大，；离散系数小，说明数据离散程度越小
      • 补：在标准差相等的情况下，平均数小的，其变异系数大，即离散程度较大
• 偏态与峰态的度量 (分布的形状)
  • 偏态（skewness）
    • 定义：测度偏态程度的统计量，记作SK
    • 测度统计量：偏态系数（coefficient of skewness），记作SK
      • 未分组数据：
        • 数据分布对称：偏态系数等于0
        • 数据分布不对称：偏态系数不等于0
          • 大于1或小于-1：高度偏态分布
          • 0.5～1或-1～-0.5：中等偏态分布
          • 越接近0：偏斜程度越小
      • 分组数据：
        • 数据分布对称：偏态系数等于0
        • 数据分布不对称：偏态系数不等于0
          • 正值：正离差值较大，判断为正偏或右偏
          • 负值：负离差值较大，判断为负偏或左偏
  • 峰态（kurtosis）
    • 定义：对数据分布平峰或尖峰程度的测度
    • 测度统计量：峰态系数（coefficient of kurtosis），记作K
      • 服从标准正态分布：峰态系数的值等于0
      • 平峰分布或尖峰分布：峰态系数的值不等于0
        • K>0：尖峰分布，数据的分布更集中
        • K<0：扁平分布，数据的分布越分散
      • 计算公式
        • 未分组数据：
        • 分组数据：