导图社区 第5章 概率与概率分布
这是一篇关于第5章 概率与概率分布的思维导图，主要内容有随机事件及其概率、概率的性质与运算法则、离散型随机变量及其分布、连续型随机变量的概率分布。
这是一篇关于贾俊平统计学第九章分类数据分析的思维导图，主要内容有分类数据与x2统计量、拟和优度检验、列联分析:独立性检验、列联表中的相关测量、列联分析中应注意的问题。
这是一篇关于第8章 假设检验的思维导图，主要内容有假设检验的基本问题、一个总体参数的检验、两个总体参数的检验、检验问题的进—步说明。
这是一篇关于第6章 统计量及其抽样分布的思维导图，主要内容有统计量、由正态分布推导出的几个重要分布、样本均值的分布、中心极限定理。
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第5章 概率与概率分布
随机事件及其概率
随机事件的几个基本概念
试验和事件
试验：在相同条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验叫做试验
事件：把观察或试验的结果叫做实践
四种事件
随机事件：在相同条件下，每次试验可能出现，也可能不出现的事件，又叫做偶然事件
必然事件：在相同条件下，每次试验肯定发生的事件
不可能事件：在相同条件下，每次试验一定不发生的事件
基本事件：不能分解成两个或多个事件组合的最简单事件
样本空间和样本点
样本空间：一个实验中所有简单事件的全体集合，称为样本空间或基本空间
样本点：样本空间中每一个特定的试验结果
事件的概率
概率的定义：事件A的概率是事件A在随机试验中出现的可能性大小的数值度量
古典定义
定义：①一项随机试验的全部基本事件总数有限 ②各个基本事件出现的可能性相等 ③事件A发生的概率=事件A所包含的基本事件数m/样本空间所包含的基本事件数n
p(A)=m/n
统计定义
定义：①在相同条件下重复进行的n次试验中，事件A出现m次,称比值m/n为事件A发生的频率 ②当实验次数n很大时，该频率稳定的在某一常数p上下波动，且波动的幅度随试验次数的增加而减小，则定义频率稳定值p为事的概率
p(A)=m/n=p
主观概率定义
主观概率指的是一个决策者根据本人掌握的信息对某个事件发生的可能性作出的判断，对于一些无法重复的试验，只能根据以往的经验仍为确定这个事件的概率
概率的性质与运算法则
概率的基本性质
①0≤p(A)≤1 ②必然事件的概率为1，而不可能事件的概率为0；
概率的加法法则
互斥事件：
随机事件：
条件概率与独立事件
条件概率
定义：在事件B发生的条件下事件A发生的概率,记p(A|B)
注：①一般情况下，p(A|B)≠p(A) ②A,B独立时，p(A|B)＝p(A)
乘法公式
独立性
独立事件:①p(AB)=p(A)p(B),称事件A和事件B相互独立 ②p(A1A2…An)=p(A1)p(A2)…p(An),称A1,A2,…,An相互独立
相依事件：一个事件是否发生，会影响另外一个事件的发生
独立性与事件的互斥（互不相容）事件的关系
①互斥概率大于0的事件一定是不独立的 ②相互依赖的事件不一定是互斥的 ③不互斥事件可能是独立的，也可能是不独立的 ④独立事件一定不是互斥的
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
贝叶斯公式
离散型随机变量及其分布
随机变量的概念
随机事件的数量化
为了数学上的处理更简便，有必要把不采用数量标识表示化为采用数量标识表示
随机变量的定义
在相同条件下，如果每次试验可能出现不同的结果，把所有的结果都列举出来 ①把X所有可能的值x1,x2,…,xn都列举出来 ②X可能的值具有确定的概率p(x1),p(x2),…,p(xn)；其中p(xi)=p(X=xi),称为概率函数 ③X称为p(X)的随机变量，p(X)称为随机变量X的概率函数
两种类型的随机变量
离散型随机变量
随机变量x只能取有限个或可数个值
连续型随机变量
随机变量x可以取一个或多个区间中的任何值
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的概率分布
概率分布
性质
离散型随机变量的期望和方差
期望
定义：①数学期望是X所有可能取值Xi与其对应的概率pi的乘积之和，记为E(x)或μ。 ②它表示随机变量本身的平均水平或集中程度
公式：
有限个数值
无限个数值
方差与标准差
方差
定义：方差反映了随机变量取值的离散程度
特点：①方差小，X的取值比较散；方差大，X的取值比较集中 ②如果方差为0，则意味着随机变量取值集中在期望值E(X),随机变量以概率1取值为E(X)
公式：
标准差
特点：标准差的单位与随机变量的单位相同，相对于方差更易于解释
离散系数
定义：离散系数可用来比较不同期望值的总体之间的离中趋势
均值和方差在财务中的应用
在财务分析中，风险的高低可以用方差或标准差去测量
几种常见的离散型概率分布
0-1分布
伯努利试验的特点： ①试验包含了n个相同的试验 ②每一次试验成功的概率是相同的，概率为p;失败的概率也是相同的概率为q;p+q=1 ③每次试验只有两个可能的结果，“成功”或“失败” ④试验相互独立 ⑤试验“成功”或“失败”可以计数，试验结果对应于一个离散型随机变量
伯努利分布：一次伯努力实验成功的次数为离散型随机变量x，它的概率分布就是一个最简单的分布类型，即两点分布，亦称伯努力分布。随机变量随机变量x，只可能取0和1两个值
概率分布：p(X=1)=p,p(X=0)=q X服从参数为p的0-1分布
期望和方差
期望：E(x)=p
方差：D(x)=pq
二项分布
定义：若随机变量x表示n次重复独立试验中事件A(成功）出现的次数，那么 从随机变量x服从二项分布，参数为n，p，记作X~B(n,p)
特例：当n=1时二项分布化为0-1分布，
期望：E(x)=np
方差：D(x)=npq
泊松分布
定义：泊松分布是用来描述在（一指定时间段或在一定空间区域或其他特定单位内）某一事件出现的次数的分布，仅取非负整数
分布：入为给定的时间间隔内事件出现的平均数
期望和方差
期望：E(x)=入
方差：D(x)=入
泊松分布近似二项分布
条件：①“成功”的概率很小，p趋向0 ②试验的次数很大，n很大
应用：在实际应用中，当p≤0.25，n＞20，np≤5时，用泊松分布近似二项分布效果良好
超几何分布
定义：设有N件产品，其中有M件次品,现从中任取n件,则在这n件中所含的次品的件数X=m
分布：m为任取n件中次品的件数。则称x服从参数为n，N,M的超几何分布
用二项分布近似超几何分布：对于抽样问题来说，当原产品的批量相当大时，“无放回”可以当做“有放回”来处理，此时可用二项分布近似超几何分布
连续型随机变量的概率分布
概率密度函数与分布函数
概率密度函数：
函数f(x)满足：①f(x）≥0 ②
分布函数：
注：f(x)不是一个概率，f(x)≠p(X=x),因为在连续分布的条件下p(X=x)为零。（在连续分布中，一个点的概率是零） 在连续分布的情况下，以曲线下面的面积表示概率，如随机变量x在a和b之间的概率可以表示成
概率密度与分布函数的关系
连续型随机变量的概率密度是其分布函数的导数，
期望与方差
期望：
方差：
正态分布
正态分布的定义及图形特点
定义：
图形特点：
①f(x)≥0，整个概率密度曲线都在x轴上方
②f(x）是关于x=μ对称的对称钟型曲线，且在x=μ处达到最大值
③σ为大于零的实数，它决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭
④当x趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线
⑤正态随机变量在特定区间上的取值概率有f(x)下的面积给出,而且曲线下的总面积等于1
标准正态分布：
正态分布表：只要将一般正态分布转化为标准正态分布，通过查表，就可以解决正态分布的概率计算问题。对于负的x值，有
正态分布在质量管理中的应用：
二项分布的正态近似：
