复变-第一章-复变与复变函数

复变-第一章-复变与复变函数的思维导图，详细的总结了复变函数的极限与连续性，符号代表的含义，复数及其代数运算，复数的几何表示。

复变与复变函数

• 符号代表的含义
  • Re(z):x+yi的实部 Im(z):x+yi的虚部 Arg z:复数z的辐角 arg z:复数z的辐角主值
• 复数及其代数运算
  • 概念
    • 复数
    • 相等
      • 两复数相等即它们的实部和虚部分别相等
      • 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小
    • 共轭复数
      • 共轭运算的性质:
  • 四则运算
    • 运算性质
• 复数的几何表示
  • 复平面
    • 定义
    • 复数的模(或绝对值)
    • 辐角
      • 定义
      • 性质
      • 辐角主值
        • 定义
        • 算法
    • 方程表示图形
  • 复数的三角表示和指数表示
  • 复数的乘幂与方根
    • 表述
      • 乘幂
        • n次幂:n个相同复数z的乘积为z的n次幂
        • 两个复数的积的模等于它们的模的积; 两个复数的积的辐角等于它们的辐角之和.
        • 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
      • 方根
        • 任何一个非零复数 z 都有 n 个 n 次方根.
        • 方根公式推导
    • 公式
• 复平面上的点集（主要是一些概念）
  • 区域
    • 邻域
      • 满足不等式|z|>R (R>0)的一切点(包括无穷远点)的集合称为无穷远点的邻域.
      • 去心邻域
    • 内点
    • 开集
      • 如果 G 内每一点都是它的内点,那么G 称为开集
    • 边界点、边界
    • 有界区域和无界区域
      • 一些常见面
        • ）
  • 平面曲线
    • 连续曲线
      • 平面曲线的复数表示
    • 光滑曲线
    • 简单曲线（若当曲线)
      • 简单闭曲线
        • 性质
          • 若当定理
            • 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，他们都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部，另一个为无界区域，成为外部。
  • 单连通域与多连通域
    • 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 直观上，单连通区域是不带洞的平面点集，带洞的区域必为复连通
    • 双曲线等几何性质
      • 椭圆
        • 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和2a等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。当2a=2c时，点的轨迹是线段F1F2
      • 双曲线
        • 把平面内与两个定点 F1,F2的距离的差的绝对值2a等于非零常数(小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.当2a=2c时，点的轨迹是两条射线.
      • 抛物线
        • 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
• 复变函数的概念
  • 复变函数的定义
  • 复变函数与实变函数之间的关系
• 复变函数的极限与连续性
  • 函数的极限
    • 函数极限的定义
    • 极限计算的定理
  • 函数的连续性
    • 连续的定义
    • 连续的定理
    • 特殊