考研高等数学思维导图

前置知识

三角函数

和差公式

和差化积

公式较多但没必要记忆

积化和差

基本公式

万能公式

半角公式

二倍角公式

正割(sec)与正切(tan)

三角恒等式

积分使用

欧拉恒等公式

辅助角公式

正余弦转换

反三角函数图像

正割/余割/余切函数

弧与弧度

弧长=弧度 x 半径

单位元半径为1，所以弧长=弧度角度制是古巴比伦人定的，也就被沿用至今但实际上也就是将圆进行一定的划分，用60进制作为分割单元而已。而弧度则是作为弧长半径之间的比例逻辑关系，所以更加合理，在计算中也更加便捷

不等式

调几算方

有兴趣了解的可以网上查一下，调和和平方平均数的命名来源和运用，就很容易一下记住。

算数 >= 几何

完全平方·

高数常用不等式0]" contenteditable="false">

数列求和

【注意这里公式下标从 0 开始】

等差数列

等比数列

对于公比绝对值小于1的， 1-q^n -> 1, 所以结果为：首项 / (1-公比)

SP：当数列从 1下标开始时

多项式

二项式定理

除与被除

这是一个小学数学的概念，不过容易搞混，被除数和除数 XD.例如: 6/2=3 余 06是被除【理解就是被分成几份】2是除数【也就是分的分数】所以就是6被2整除商为3

几何图形

扇形

面积： = 1/2 [半径弧长]

弧长 = n（圆心角）× π（圆周率）× r（半径）/180=α (圆心角弧度数)× r（半径）

球体

表面积

体积

锥体

表面积 = 侧面+底面

体积 = 底面积高

圆

当 r

面积 S=πr²

周长 C=2πr

椭圆

面积

周长

标准方程

焦点b>0]" contenteditable="false">

a,b,c关系

各种“心”

详见多重积分部分

重心

质心

有点类似期望

平面域

空间体

曲线段

曲面片

形心

当物体密度均匀分布时 [质心=形心]形心一般更多用于描述抽象物体[几何物体]

虚数

欧拉恒等公式

函数

一元函数

2021/9/9函数章节介绍的是整个高等数学的最基础内容。在进入微积分、重积分等，都会根据函数的这些基本性质、属性，从而更加容易的解决问题。

连续性

定义

理解：对于某点x0,x0点值存在，且其邻域值也存在，有 lim x->x0 f(x)=f(x0)[x0两侧极限等于该点函数值]则说明连续

自变量增量趋于0，函数值增量趋于0

定义里面只字未提趋于0的速度，x可以以很块趋于0，但y趋于0时慢的要死，不过最后还是趋于0.这也是极限的定义，无论走多块，最后只要能到就行【但这个慢是有限的慢】

记作

一般证明

左右极限存在且等于该点的值

连续函数

在该区间上的每一个点都连续的函数

单侧导数存在单侧连续, 所以左右导数同时存在则函数在处必然连续

定理

复合函数连续性

性质

连续与有界性

必须是闭区间，含有端点的状态

连续与左右极限

连续与绝对值

反之不成立

连续与可导性

连续与可积性

间断点

间断就是很直观的，函数在某点处断开【线没连上】的情形。所以不仅仅包含没有定义的情况，还包含在x0处有定义但是两侧极限不相等的情况。实在决定间断点的情况难记，就按照连续的反命题推导。两侧极限存在且等于x0处函数值1.x0两侧极限可能不存在2.x0处函数值可能不存在【x0无定义】3.x0两侧极限存在但不等于x0的值而根据两侧极限是否存在划分为一/二类间断点，即**类型划分与x0处是否有定义无关,只与两侧极限是否相等有关**

定义

类型

第一类间断点

左右极限存在，且为间断点

类别

按照左右极限是否相等进行划分

可去间断点

左右极限相等[一般常考察该点没有定义情况]

跳跃间断点

左右极限不相等

第二类间断点

非第一类间断点以外被称为第二类间断点

无穷间断点

振荡间断点

其他

易错问题

0\end{cases}当x=0时是否为间断点" contenteditable="false">

闭区间性质

有界性/收敛

区间内有界

收敛【数列中讨论】

特殊函数

变换积分限的时候一定要注意，角度大小为 (-Π/2,Π/2)

最大最小值定理

零点定理

介值定理

一致连续性

函数性态

单调性

条件

结论

经典错误

0，则\exist\delta>0使得 f(x)在(0,\delta)单增" contenteditable="false">

**关键点**某点导数存在，其左右导函数极限不一定存在.左右导数即 lim x->x0(-) f(x)-f(x0)/x-x0 ≠ lim x-x0(-) g(x) 【假设g(x)为(-∞,x0)连续区间的导数】和单调性的定义进行对比：这里只提到0点的导数值>0，那么要在(0,a)区间内单调【a为一个极小的数】，必须满足在(0,a)的导数f'(x)>=0,且仅在有限多个点处成立。而由于f'(x)可能出现因含三角函数而振荡的情形，即周期性的在某些点其导数值f(0),因为由于导数极限公式:[f(x)-f(0)]/[x-0]; x>0,要是的f'(0)[x->0+]是大于0，则f(x)-f(0)>0，所以我们只能够根具其定义公式得到这个结论：在某点导函数大于或小于0，能够说明存在某领域比该点值小或者大

凹凸性

几何判断

平均值比较法

\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}" contenteditable="false">

导数判断

条件

结论0,则f(x)在[a,b]为凹；f''(x)

奇偶性

偶函数

幂函数

三角

抽象函数

奇函数

三角

对数

1)利用对数乘除变加间2)利用对数运算可提幂，对数倒数变负数

指数

抽象函数

记忆：x--x (GG的表情)

几何性质

奇函数：原点对称

偶函数：y轴对称

导数与原函数奇偶

【可导】原函数的导数，奇偶性与原函数相反

连续【可积】函数的原函数不一定与其奇偶相反

f(x）连续时，才可积

周期性

定义

其他性质

【可导】周期函数导数也为周期函数, 且周期不变

【可积】周期函数积分为0时，其原函数也为周期函数

证明

拐点

定义

凹凸改变，涉及到函数的二阶导数一阶导不存在则该点必定不为拐点

计算

步骤

由于二阶导不同，且连续。由介值定理可知道该点二阶导为0

判定

必要条件

第一充分条件

【两侧判定法】

第二充分条件

【三阶导数判断法】

三阶导数值不等于0说明，二阶导函数该点处具有单调性，即要么单减，从x轴上方穿下去，或者单增，从x轴下方穿上去。这就保证了，该点两侧二阶到导数异号

第三充分条件

记忆二阶导是偶数自己判断不了自己.所以n为偶不是拐，n为奇才要拐

n为偶数不是拐点

n为奇数拐点

驻点

一阶导数为0的点驻点不一定是极值点(驻点两侧必须异号)，极值点不一定是驻点(极值点处，导数不一定存在)

定义

极值与最值

极值

定义

函数值角度定义

f(x_0)\\则称f(x_0)是函数的一个极值" contenteditable="false">

计算

求出全部驻点与不可导点，观察这些点左右邻近的情况从而判断极值情况

判定

必要条件

可导函数极值点必为驻点

第一充分条件

一阶导数变号

一阶导存在且左右异号【两侧判断法】0,右邻域f'(x)

注意，只需要判断领域是否变号就行对于f'(x)和f''(x)在x=x0处是否存在不需要进行考虑

第二充分条件

一阶导为0，二阶导判正负

二阶导数存在且不等于0【二阶正负判断法】0,极小值" contenteditable="false">

第三充分条件

n为偶数f(x)在x0有极值，其中n阶导>0极小值，n阶导<0极大值

n为奇数无极值

最值

求出 f(x) 在 (a,b) 内的驻点和不可导点

驻点：一阶导数为0的点不可导点：一般为间断点，也有些例外 |x|

求出驻点和不可导点以及端点处的函数值

取这些函数值的极大值或者极小值

一元连续函数区间内部的唯一极值点，为该区间的最值点

渐近线

水平渐近线

垂直渐近线

斜渐近线

构造法【常用泰勒公式】

极限法

函数图形描绘

在积分部分比较重要，有些时候会给一些重来没有见过的函数，绘图也只能初略的绘制。同时例如重积分等需要交换积分次序，更加需要函数图形绘制

点/区间书写格式

极值点

驻点

零点

间断点

极值

单调区间

最好写逗号，不写为∪号：单调区间有时是不能并起来的，比如，函数在两个区间里都是增的，可能在一个区间里的最大值大于另一个区间里的最小值，这样就不能说函数在两个并起来的区间单调增了，因为在这个区间交界处不是单调增了，只能说在这个区间和另一个区间单调增

拐点

常见函数类型

符号函数

取整函数

复合函数

复合函数在整个函数运算中十分重要。例如在多元函数微分【链式求导法】，如果不能够熟悉掌握复合函数求导规则【思维】，就较难理解；尤其是抽象函数部分，不会给出具体的函数，也要清楚明白，变量函数之间的一些复合关系。

反函数

一种逆映射关系

计算步骤

y=f(x)在定义域上是否为单调函数

如果是单调函数逆运算求出x=g(y)

常见反函数

反三角函数

几何性质

关于x=y对称

对成性原因很简单，由于是y=f(x)反向表示为x=g(y)，即把x,y轴的标号对调一下即可。由于对调后，x指向上侧，y指向右侧。我们必须把纸面反面再重合轴，所以图形就好像折叠对称了

初等函数

定义域

2021/9/9定义域虽然是很基础的内容，但是必须弄清楚一个问题:f(x+1)的定义域为[0,a],指的是谁的定义域？x+1？还是x？

函数不等式证明

单调性

最值

拉格朗日中值定理

泰勒公式

凹凸性

基本不等式

常见基本不等式见前置知识 -> 不等式章节

多元函数

平面点集

邻域

点与点集关系

内点

外点

边界点

聚点

0,点P的去心邻域内总有E中的点，则称P是E的聚点" contenteditable="false">

n元函数定义

连续性

连续性的证明也是利用函数的极限；一般来说连续性都是考的分段函数所以要求出分界点部分的极限而多元函数极限求法一般就是夹逼法，所以求解也相对比较固定**题目条件**一般给出多元函数在某点连续，意味在该点的值等于该点极限值；而一般极限值通过与某无穷小进行比较为某常数，则可推出该点极限为0

定义

间断点

闭区间性质

有界性与最值定理

介值定理

一致连续性定理

极值/极值点

update:2021/9/2极值点：使函数取得极值的点（x0,y0)多元函数极值和多元函数微分一样，求极值/可微时只有必要条件和充分条件两者判断；而充要条件往往为形式较复杂的定义法

定理1

主要是和一元函数的极值进行对比学习一元中利用一阶导数与极值点之间的关系进行判断，多元函数则是利用偏导进行判断

驻点

驻点：与一元导数同理，不过从导数变为了两个偏导进行判断

判断方法

充分条件

和一元函数极值有略微区别，

定义

0【A0极小值】" contenteditable="false">

记忆：二阶导的±对极大极小的影响

证明

同济版高数下p125

几何法

对于形如:z=Ax^2+By^2+Cx+Dy;可以利用配方，得到最大或者最小值点【利用几何性质】

保号性判断法

假设某函数f(x,y)在(0,0)点极限为0，同时该点处极限和某【正】无穷小比值为某负数说明该函数

性质

条件极值求解

条件最值是【条件极值+闭区域】

拉格朗日乘法

定义

一般函数除了自身定义域以外没有其他限制条件，被称为无条件极值；而条件极值则是在定义域外，还增加方程，从而对函数的自变量进行限制

原函数

约束条件

求解步骤

Q：为什么要这样求解？A：假设有一个函数z=f(x,y).在条件g(x,y)=0下要求得其极值；1）g(x,y)=0能得到什么信息？y是否是关于x的一个隐函数?还是说x与y是互不关联的变量【相关，y是x的隐函数】2）那么根据隐函数求导定理中，必然就会有f'_y(x0,y0)≠0，因此方程可以y=y(x);将其带入原函数中z=f[x,y(x)]所以其最后的极值即使求x在x0处的极值3）由一元可导函数极值必要条件可知，【一阶导数为0】，以及隐函数求导公式dy/dx=-Fx/Fy;则会得到y在这两个函数偏导之比等于一个数，记为λ。所以最后条件变为【原函数x偏导+λ约束条件x偏导=0】，同时又可以把这个式子看作一个新的函数L(x,y)【该函数被称为**拉格朗日函数**】，λ被称为**拉格朗日乘子**

构造函数

列出所有偏导方程

对所有未知数x,y,z,λ求偏导

解方程

极坐标求解

利用极坐标替换为一元函数，从而更好计算极值

特征

一般是边界区域为圆域类型

不等式

利用范围条件构造不等式进行放缩

最值点

闭区间的边缘位置，导数可能不存在，同时导数两侧也不会异号，在此情况下，内部极值点，不一定是区间最值点

极限/重极限

一元函数极限

定义

函数

某点的极限，极限只与其邻域有关，而与该点本身无关【连续时才有关系】

书写

极限存在证明

数列极限

涉及到无穷集合；即某正整数集合=奇数集合+偶数集合

函数极限

一元函数的逼近方式只有数轴左右侧两种，所以能够以有限相等方式进行等价

常见分左右极限讨论

分段函数

指数

arctan

海涅定理

数列极限和函数极限转换的充要条件

数列极限为 a【接近但不相等, 极限是因为 x是趋于 a而不等于a的情况】

定理】一个数列收敛，则其所有的子列均收敛```函数是连续变量，数列是离散变量，可以视为函数的一个子列，因此函数收敛，则必然数列收敛```

极限性质

局部有界性

即对于函数在某点处有极限，则其局部领域的值肯定会向其靠拢，收敛于这个有界的位置

保号性

极限值与无穷小关系

无穷小就像一个小尾巴一样，出现在极限/微分/泰勒等等后面，作为一个忽略主部的无穷小值，从而使得约等于变为等于。注：无穷小是一种极限为0的极限

极限与绝对值

无穷小/无穷大

性质

相比与 ∞ 0 被称为未定式，像有限各无穷小之和积必为无穷小则可以理解为必定式，而一般考题中肯定是考察未定式，因为这种不能一眼看出具体的答案，需要把小尾巴扯出来进行运算。

无穷小有限和积

无穷小 x 有界函数 = 无穷小0}x\sin x=0" contenteditable="false">

阶大小关系

高阶

同阶

等价

k阶

阶的比较

直接比较法【极限比较法】

泰勒展开

yOz平面曲线

定义法【洛必达法,用进行比较】

取对数法

求导定阶【微分阶】

积分等价

积分的阶

结论法

假设上限函数的阶数为m,被积函数阶数为n,则其积分为m(n+1)阶无穷小

积分上限函数的阶

2020 】第一题

不定式

解题法：极限形式分为三阶形态【只是为了求解方便在这里划分，并不存在规定的形态】高阶可以往低阶转换[有点变身的意思在里面]最终的目的都是转为未定式方便求解分式中利用无穷大的大小转无限到有限，无穷到无穷小

基础形态【未定式】无穷/无穷[分子分母同除以最高次] -> 0/0

注：这里的 1 必须是常数而不是极限值

六大求极限方法

极限有理运算

限制条件

1）加间极限必须存在2）商的分母值不能为03）幂次必须为正整数

常见错误

lim(A+B)=C,不能推出lim A+limB=C[A,B可能分别极限均不存在]

夹逼原理

利用不等式，极限夹极限【如果放缩不好，就容易导致求不出】

证明方式：拉格朗日中值定理

对分母进行放缩

等价无穷小

等价无穷小不需要记忆，实际上要么洛必达，或者泰勒展式就可以解决。一些等价形式实际上移项做商，就是洛必达形式。只需要记住对应函数的导数公式即可。同时要注意的是，等价无穷小中的x，不仅仅是变量x，还可以是关于x的某些函数f(x)

限制条件

1）乘除形式，分子分母必须整体代换2）加法等价替换必须同阶不等价

常用公式

函数

幂等价

形式推导来源于二项式展开：(1+x)^k

1的无穷次方形式，即计算lim ab = x * 1/x = 1

指/对数

导数公式推导 (a^x-a^0) / x = a^xln a因为x为0，所以将分子x 移项，a^x=1.就可以推得xlna

同理利用导数来进行记忆；1/(1+x)[x=0]:ln(1+x) / x = 1;

将 1/x 作为 (1+x) 的幂，即可得 lim (1+x)^(1/x) = e

ln(1+x)泰勒展示前两项

三角等价

只需要记住泰勒展示推导即可

tan x的泰勒展开式相当难以计算，可以利用贝利多项式计算得到。所以在高数部分是超纲内容，记住前两项即可。

记忆/证明：夹逼定理，做一个单位元，画一个三角函数三角形，设x为弧度，那么sinx

数列

0)" contenteditable="false">

积分等价

阶的比较

直接比较法【极限比较法】

泰勒展开

求导定阶【微分阶】

积分等价

结论法

假设上限函数的阶数为m,被积函数阶数为n,则其积分为m(n+1)阶无穷小

真题

x 趋近于 0

\infty} e-(1+\frac{1}{n})^n\sim \frac{e}{2n}" contenteditable="false">

中值定理

罗尔定理

前提

费马引理

极值点且该点导数存在，则必然为0费马引理 = 极值的必要条件

限制条件

结果

拉格朗日中值定理[微中]

注：微分中值定理又被称为**有限增量定理**当自变量函数值取得有限增量且要进行准确表达，微分中值定理就很无敌**拉格朗日yyds**

限制条件

公式

公式含义:(a,b)区间中存在一点斜率等于直线ab的斜率其他注意：把原式的有限值积分限[a,b]变成关于x函数的新的积分限，在实际运算中也要抽象看待中值定理中的[a,b]，不一定是一个数

柯西中值定理

限制条件

公式

和导数定义式像很像 f(x+x0)-f(x0)/(x+x0-x0)所以可以与导数相同，与洛必达相通

常见处理式

以下默认x为0或者∞时的情形【省略点打字时间XD】 []中为极限值

洛必达法则

限制条件

着重讨论 0/0 未定式情况，而 ∞/∞ 则可以通过分子分母同时倒数来转化为 0/0 型

高数上: p133

推导来源

柯西中值定理

泰勒公式

使用思考

是否对于任意形式都满足泰勒公式

泰勒公式与泰勒级数、泰勒展开式之间的关系

泰勒公式是函数在某区间(a,b)，利用多项式函数逼近的思想得到的。泰勒级数是如果一个函数具有 ∞ 阶导数，那么可以得到一个级数形式，最后用级数形式去表达。这两者之间的一般性在于，都是使用多项式函数去逼近原函数。差别在于，泰勒公式的余项一般使用**拉格朗日余项**，而拉中能够准确的与原函数误差值划等号【而不像等价无穷小，仅仅是等价】所以泰勒级数为了保证完全相等，必须使得其n阶导数(n趋近于∞)的极限为0，此时才能够将该级数与函数值划等号即**收敛于原函数**

常用公式[麦克劳林展式]

该公式使用皮亚诺余项式

偶次项导数为sin(n)x, sin(n)0=0.所以偶次阶导数不存在；同时由于cos求导增加负号，而sin求导符号不变，所以每项之间正负变号

n阶导的值为(-1)^(n)*(n-1)!

因为e(n)0=e0=1.所以每一项均为正数

基本形式

关于余项如果有n阶连续导函数，则可以连续求n阶导数，从而逼近到x^n，后面再跟一个皮亚诺余项。如果在U(x0)处还有n+1阶导函数【该点可导，但是不一定导函数存在】那么可以有n+1阶逼近式作为余项，也就是拉格朗日余项

无论是值还是n阶导数，希望都能基本相等，这样多项式的逼近效果才好。

系数 an 与 f(x)的n阶导关系

【变形式子】

前提在于x趋于0

课外内容

大名鼎鼎的欧拉公式就是基于cos与sin的泰勒所想到的

导数定义

极限定义式

有理化

有理化在处理带有根号的相加或者相减式非常好用；在求极限时，分子部分加减难以用等价无穷小，同时根式导致泰勒展开也困难，所以有理化是最好选择；**有理化题型特征在于：**1）分子或分母出现根式相加减情况2）配凑有理式为有界量，可以直接计算出当然，如果能够观察出根式的共性，还可以使用【拉中】

求极限思路

乘积形式/指对数

等价

导数简单/积分上限函数

洛必达

高阶式子/加减不能等价代换/复杂三角函数

泰勒【部分展开】

导数形式

求导定义

带有根号形式的分式

幂等价式

三角函数化简

有理化

幂指函数

幂指恒等式

幂等价式

不定式

其他题型

确定极限式参数

1）化简为分式比较形式，由无穷小阶的关系，确定未知数值2）化简为无穷小量与有界量之间的关系从而求出有限量值

难题总结

此处并不能使用等价无穷小来求解由等价无穷小定义可得 lim α/β = 1(且β≠0)由于 x^2*sin1/x 的某个子列[x=1/(2nΠ)]，此时值=0，所以不能成立

夹逼定理求解

多元函数极限

这里讨论二元函数极限【重极限】

定义

利用欧式距离表示点(x,y)向(x0,y0)的趋近程度

存在证明

从二重极限来看，相比一元函数极限而言，趋近方式不再是数轴简单的左右两个方向趋近，所以不能使用x,y轴侧极限存在来证明，因为还有可能螺旋接近等方式，即无穷中趋近方式所以反角度思考，证明部分趋近方式函数值不同，则可以证明函数极限不存在，即以部分代整体的方式

常见求极限方法

利用一元函数极限求解方法计算

夹逼定理

夹逼定理核心在于不等式【不然用什么夹呢？】常见一般利用三角不等式关系或者分母大于1进行放缩

反证法

由于多元函数极限的任意趋近方式有无穷种，而一元函数沿x轴方向只有两种，所以要正向证明比较困难。一般考题考察利用特殊性反向证明不存

计算方法

极限判断

根据次幂，优先考虑极限结果可能性最大的。在利用放缩，向这个结果方向靠拢。小概率出现不同的计算结果。

数列极限

单调有界准则

定积分定义

核心在于和式极限形式

n项和数列极限

当变化部分最大值与主题部分项比较是次量级则使用夹逼原理；当变化部分最大值与主题部分项比较为同量级时使用定积分定义；【原因：积分域定的是0->1,即1/n->n/n】先提出可爱因子，并写出和式极限形式，判断i【变化】与n【主部】之间次幂关系即可

变化部分

根号n次幂次项和

n项连乘

夹逼原理

取对数化为n项和

例题

递推关系定义数列

定义

数列N,使得|x_n-a|

a为数列极限=数列收敛于a

充要条件

涉及到无穷集合；即某正整数集合=奇数集合+偶数集合

收敛性质

数列收敛，则极限唯一【唯一性】

数列收敛，则一定有界【有界性】

【保号性】0(或aN时，x_n>0(或x_n

【子序列关系】如果数列收敛，则其任一子数列也收敛，且极限也为 a

无穷级数

定义

级数

收敛/发散

级数的收敛发散与函数极限的存在类似对应

级数与部分数列和 Sn 同收敛发散\infty} s_n=s=\sum_{i=1}^\infty u_i=\lim_{n->\infty}\sum_{i=1}^n u_i" contenteditable="false">

常见级数

等比(几何)级数

p 级数

调和级数

1\end{cases}" contenteditable="false">

基本性质

性质一：级数每项乘以不为0的常数，收敛性不改变\infty} \sum ku_i=k\lim_{n->\infty} \sum u_i=k\lim_{n->\infty} S_n" contenteditable="false">

性质二：收敛级数加减仍收敛；两个收敛级数可以逐项相加或相减

性质三：级数中修改有限项，不会改变级数收敛性【即真正决定敛散性的不是有限项】

性质四：如果原级数收敛，则加括号仍收敛【逆否：如果加括号后级数发散，则原级数发散】

性质五 (必要条件)若级数收敛，则其一般项 un 趋于零

注：必要而非充分，例如调和级数

一般项极限与x为同阶无穷小则会发散；如果 x->无穷，x * 1/n = x * 1/x = 1;所以此时无穷项和为一个非零值；如果是高阶无穷小则不一定会发散

收敛数列必有界

敛散性判断

柯西审敛原理 (充要条件)N时,\forall 正整数p，|u_{n+1}+...+u_{n+p}|

柯西审敛就是把对数列极限的定义搬到Sn[部分数列和]来用

常数项级数审敛法

正向级数

正向级数的好处是保证了部分和 Sn 的单调性右侧所有的公式均建立在正向级数的前提下进行比较

(充要条件) 部分和数列 Sn 有界

充要条件就是敛散性的定义；一般出题人肯定不会让极限那么好计算，所以定义法用的不多

比较审敛法

和数列的收敛发散一致:小的发散，大的必然发散大的收敛，小的必然收敛

推论

比较审敛法【极限形式】

比较审敛法需要适当选择已知收敛散性的级数作为比较标准；常见应用于 lim P(n)un = A，化乘为除，即转化为可比的比较审敛形式【而常用比较的级数为**等比级数**和**p级数**】

v 收敛 -> u 收敛【k倍】

v 发散 -> u 发散【发散->发散】0)" contenteditable="false">

常见比较级数

p 级数

等比级数

比值审敛法【达朗贝尔判别法】

“自我比较法”明天的自己和今天的自己比较身高，明天比今天高，说明我还有机会再长高，我有无限可能，甚至超过姚明。明天的自己比今天的自己矮，完了，涨不动了，这辈子就这么高，开始收敛了。今天和明天比身高一样，哎，说不定后天就长了呢，一切都有可能。

1 发散，\rho=1都有可能" contenteditable="false">

根值审敛法【柯西判别法】

1 发散，\rho=1都有可能" contenteditable="false">

极限审敛法

本质就是比较审敛法

级数发散0(或+\infty) 级数发散\\\lim u_n/\frac{1}{n}，与调和级数比较，发散->发散" contenteditable="false">

级数收敛1,而\lim n^pu_n=l(0\leq l收敛" contenteditable="false">

积分审敛法

交错级数

定义

各项正负交错

莱布尼兹定理

交错级数收敛充分条件

绝对收敛/条件收敛

定义

绝对收敛（充分条件）对于级数 un 各项绝对值所构成的正向级数 |un| 收敛则称为绝对收敛

条件收敛如果原级数收敛而其绝对值所构成的正向级数发散，则称为条件收敛【部分交错级数】

相关定理

如果级数绝对收敛，则级数必然收敛

该定理说明，对于级数，我们直接用其正向级数敛散性即可以直接判断其收敛性【发散不一定】；而对于正向级数发散，可以利用比值审敛法或者根值审敛法，而判断其正向级数发散，则可以判定级数必然发散，由于其绝对值在增加，所以un不趋近于0

绝对收敛性质

绝对收敛级数具有可交换性

绝对收敛级数的乘法

加减收敛性

绝对收敛+条件收敛=条件收敛

绝对收敛+绝对收敛=绝对收敛

条件收敛+条件收敛=两种都有可能

幂级数

前置概念

无穷级数

表达式

收敛点/发散点

如果函数级数在x0点收敛则称为其收敛点；反之如果发散，则称为发散点

收敛域/发散域 [极限收敛点的全体]

所有收敛点全体集合称为其收敛域，发散域同理

收敛区间 (-R,R)

定义

表达式

注意其和泰勒展示的联系

幂级数系数 a0,..an

阿贝尔定理

对于级数在x=x0点出收敛，那么适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散【对称性】

推论

如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴收敛，则必定有一个确定的正数R存在，使得|x|R时，幂级数绝对发散；x=R或-R时，幂级数可能发散也可能收敛【收敛区间，发散区间均关于原点对称成，且收敛域为 -R

幂级数收敛半径

Q:(x+1)的收敛半径为 R，则x的取值范围为：A. (-R-1,R-1) 【x+1作为整体】B. (-R,R)

求解方法

公式

类似常数项级数的比值法和根值法，不过这里比较的是幂级数的系数

\infty}|a_{n+1}/a_n|=\rho, R=1/\rho" contenteditable="false">

\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho, R=1/\rho" contenteditable="false">

西瓜刀法

对于只有偶次或几次项幂级数

对于某些幂级数，其奇偶项值不同所以不能够直接比较，而需要分奇偶讨论

\infty}|a_{n+1}/a_n|=\rho, R=\sqrt{1/\rho}" contenteditable="false">

\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho, R=\sqrt{1/\rho}" contenteditable="false">

阿贝尔定理

|x_0|时，发散" contenteditable="false">

推论得出收敛半径对称

幂级数运算

性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域上连续

性质2 幂级数和函数s(x)在其收敛域上可积，并有逐项积分公式

性质3 幂级数和函s(x)在其收敛区间可导，且有逐项求导公式

推论：幂级数和函数s(x)在其收敛区间具有任意阶导数

四则运算法则两个收敛的幂级数四则运算后收敛半径为R=min(R1,R2)

函数展开为幂级数

其实就是对求极限泰勒公式部分的进一步探讨

泰勒级数/麦克劳林级数

形如下面的幂级数叫做函数f(x) 在 x0 处的幂级数

x0 = 0处为麦克劳林级数

泰勒展开式/麦克劳林展开式

展开式【等式】叫做函数f(x) 在 x0 处的泰勒展开式

函数f(x) 能在收敛于 (-r,r) 内展开为x的幂级数，称为麦克劳林级数

泰勒展开充要条件在某邻域 U(x0) 内，f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x),当 n 趋近于 ∞ 时，极限为0

为什么余项在n趋近于无穷时极限必须为零才能算泰勒展开【收敛于原函数的形式】例如：e^(-1/x^2)

展开方法

直接展开法【步骤】

求出f(x)的各阶导数，f'(x)...f''(x)..., 如果某阶导数不存在则停止，也就不能展开为幂级数

判断余项是否为0

间接展开法

利用已知幂级数进行【四则、逐项求导、逐项积分】及变量代换方法

泰勒级数/公式/展开式

泰勒公式是函数在某区间(a,b)，利用多项式函数逼近的思想得到的。泰勒级数是如果一个函数具有 ∞ 阶导数，那么可以得到一个级数形式，最后用级数形式去表达。这两者之间的一般性在于，都是使用多项式函数去逼近原函数。差别在于，泰勒公式的余项一般使用**拉格朗日余项**，而拉中能够准确的与原函数误差值划等号【而不像等价无穷小，仅仅是等价】所以泰勒级数为了保证完全相等，必须使得其n阶导数(n趋近于∞)的极限为0，此时才能够将该级数与函数值划等号即**收敛于原函数**

微分方程的幂级数解法

常用展开式

正负交替

1/(1+x) (-1

运用【几何分布期望计算】

sin x (负无穷，正无穷)

cos x （负无穷，正无穷）

ln x (-1

arctan x

系数恒正

1/(1-x) (-1

(负无穷，正无穷)

运用【泊松分布期望计算】

(-1

傅里叶级数

前置概念

周期函数

收敛定理[狄利克雷]

常考题型

收敛定理

函数展开为傅里叶级数

不定积分

一元函数不定积分

原函数

定义

存在原函数的导数性质

f(x)在(a,b)上有原函数F(x)

f(x)不一定连续

f(x)不一定是初等函数

F(x)不一定是初等函数

由原函数定义，F'(x)=f(x)，因而F(x)连续

不定积分定义

积分表

22/9/9]更新积分表常见平方和差积分21/8/10]注意，使用基本积分公式时与导数一致，将x抽象成一个函数 f(t) , 所以除了x变量形式能够还原，f(t)形式也同理可还原函数的复合性运算便是建立在抽象性的基础之上

三角函数

利用积分重现求解【积分重现会出现在同级别:反对幂(指三) 的分部求解中】

幂函数

指数函数

平方和/差

注意 x 所代表的函数性

分式 -> 对数

由于ln x的定义域中，x的值必定是正数.所以对于 1/x 作为导函数，就必须讨论x的定义域。当x>0时，即ln(x)本身而当x0时刚好相反，则其对应图像相对y轴对称，即有函数ln(-x)的导数如此为了同意表达式表示所以采取增加绝对值符号.当比如 f（x）=√x +1/x时，由于定义域本身就在 x>0范围，所以这里得到的1/x的原函数直接为lnx，而不需要增加绝对值符号

大在下，小在上【个人结论，很好用】

sin x+cos x 分式配凑

660题/高等数学辅导讲义 p103【例8】

高等数学辅导讲义【p117】

性质

积分结果验证可通过求导运算

积分中值定理

抵消原理

补充

求解方法

和不定积分的求法一样，但是注意换元时候的积分限替换，以及结果公式使用

主要积分法

分部积分

[vdu比udv更好进行积分]

常见情形

高中口诀：反对幂指三

第一类换元法(配凑法)

条件

1) 换元函数的值域为原函数自变量的定义域2) 换元函数具有连续导数

注意：1）换元后积分限要进行替换2）直接使用换元后积分原函数进行计算即可

常见配凑形式

常数加减式

多项式配凑法

根式

注意理解这些式子的抽象形式

x高次幂换元法；n一般为公因子

平方配凑法：根式转反三角函数

1+x = t

简单无理式替换[根号]1+x = t

分式

三角

第二类换元法(反函数法)

主要是解根式问题

三种常见变量代换

常见可积函数

有理函数积分

有理分式

真分式

假分式

Q(x)(x次数)" contenteditable="false">

化简

最简形式

配方化简法

化简方法

三角函数万能公式法(不推荐使用)

对数化简

化乘除为加减

常见多项式配凑

交错抵消

三角有理式

R(cos,sin)

简单无理函数

一般使用配凑法，实在不行再用这招；

有理化配凑后分母一般是 arcsin导数形式

根式代换/无理式换元

一般技巧

拆项裂项

同乘同除

升幂降幂

三角恒等变换

积分重现抵消

不定积分存在定理(可积性判断)

连续必有原函数

连续函数必有原函数这一点在泰勒展示中很重要f(x)有n阶导数，则只能展开至n-1阶而n阶导数连续才能展开至n阶，并带上一个o(x^n)皮亚诺余项

微分方程

常微分方程

【微分方程到底是要解什么的？】f(x,y)表示什么，是一元函数还是多元函数？显函数还是隐函数？未知数导数有多少阶，是一阶还是二阶...

定义

表示未知函数、未知函数导数与自变量之间关系的方程

概念

方程的阶

未知函数最高阶导数的阶数

通解

由于微分方程也是方程，所以其具有的方程属性可以按照线性代数方程内容理解微分方程的解含有任何未知常数。且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解

特解

微分方程的不含任意常数的解

初值条件/初值问题

确定特解的一组常数

微分方程积分曲线

微分方程解的图形方程的一个解在平面上对应一条曲线

积分因子法

类型

注意思考一个问题：y是关于x的函数，那么x是否是关于y的函数【那不是肯定么】所以在求解微分方程时，不仅可以按照dy/dx来求，也可以按照dx/dy来进行反向求解

可分离变量微分方程

对于一阶微分方程，如果能够把dy和dx分到等号两边同时也能够将y和x分到等式两边的话，就可以通过同时积分，将函数还原

一阶

一般形式

换元

《高数辅导讲义》p134,例1.(4)

齐次方程

Q: 为什么要叫做"齐次"?和代数方程中的齐次方程有什么关系**齐次定义**："=" 左端为未知数或者未知数函数，右端为0的方程

前提

Q:齐次方程形式为什么必须长成这样？其他的形式能够叫做齐次微分方程么？A：齐次方程核心就是等号右侧系数为0令 u = y/x,则 u-φ(u)=0，右侧系数为0所以为齐次。所以形式和解法都人如其名，u=y/x 则令 y=ux 即可求解

求解

令 y=ux

Q:为什么令 y=ux形式？A:通过还原便于化简为可分离变量微分方程形式，从而求解

可化为齐次方程形式

非齐次化为齐次

一阶线性微分方程

“一阶”“线性”，定义了这个微分方程的两种属性：一阶：导数最高阶为1，即最多只含y'线性：y',y 作为方程未知量，其是线性的【可以参考线性代数部分，线性理解】简单理解而言即是 Ay'+ BY = C;我们把 y', y 看作未知数，A、B、C看作常量【这里为关于x的函数】[推荐文章：一阶线性微分方程的三种解法](https://zhuanlan.zhihu.com/p/98677671)

定义

类型

齐次

可分类变量还原

通解公式

非齐次

常数变易法

即假设C为一个关于x的函数u然后把关于u的表达式带入到, y',y的项中从而求得u的结果.即为通解

反解

《高数辅导讲义》p134,例1.(3)

证明

伯努利方程

定义

形如

解法

全微分方程

定义

解法

偏积分

凑微分

线积分

充要条件

可降阶高阶微分方程

实际上可降阶微分方程都讨论较为简单的可解模型：对于高阶的(大于2阶)，就只有直接可积型剩下的则是对二阶微分方程的常见情形探讨

直接可积型

半隐

解法

全隐

解法

如果无法分离变量则直接用一阶线性微分方程通解公式

高阶线性微分方程

考试内容实际上就是讨论二阶线性微分方程对应就那么几种类型update: 21/10/16纠正齐次通解公式

定义

类型

齐次

常系数齐次线性微分方程

解法

特征方程

三种根情况

0】" contenteditable="false">

无解，两个共轭复根

非齐次

常系数齐次线性微分方程

形式

特解

k次幂等于λ与特征根相同的个数指数部分照抄非齐次方程右侧指数部分

解结构

这里直接按照线性代数解结构来处理即可

齐次方程解=非齐次方程两个特解的差

非齐次方程通解形式=齐次方程两个线性无关特解+非齐次特解

常数变易法

欧拉方程

对于特殊的变系数线性微分方程，可以通过变量代换方式转化为常系数微分方程

定义

形如

求解

令x=或t=ln x,可将上述欧拉方程化为线性常系数微分方程

真题

2021，(二)，13

性质

解的叠加原理

解的结构

导数/偏导

一元函数导数

一元导数可以看作微商运算多元偏导则不能

引例

直线运动速度

切线问题

定义

导数分母即是增量,而自变量趋于0时增量同时趋于0，也就符合函数连续定义。所以函数可导，必然连续。**常见题型为两类**定义求极限，定义求导数

定义式【极限形式: 必须是动点 - 定点/自变量】

导数理解的核心1.导数的极限按照极限本身的定理去理解如果lim f(x+1)-f(1)/x 有极限，那么lim f(3x+1)-f(1)/3x呢，lim f(g(x)-1)-f(-1)/x 呢?这之间有什么联系；x -> 0, 3x -> 0 ? g(x) -> 0?2.某点导数的定义式必然为动点-定点的原因是，该导数式反映的即是以 x0 为中心的导数问题，而非 x0 某领域的导数问题

导数与微分

极限 lim表示与无穷小表示法

书写规范

单侧导数

某点导数存在充要条件

求导法则

【四大大求导法则：一切求导的根基】

四则运算

注：必须u(x),v(x)在x具有导数才能金四则运算同时商的除数不能为0证明：加减项构造导数定义式，化简计算

反函数导数

用于求反三角函数导数，对数导数等【有公式之后，也可以通过此方法进行简单的验证，以免公式记忆错误，导致运算出错】

公式

公式里面没有写明到底该函数对谁求导所以没有学习清楚的就会有疑问如果一旦公式有点模糊就完蛋了所以根据下面证明推一遍以后就100%没毛病了

证明 1

注意公式是谁对谁的导数，在公式中被求导的未知数被省略【而在多元函数没有被省略想想为什么？】这里证明里面有写清楚了，实际上两边的导数是对各自求导

证明 2

10/10利用微商法则作等式这个思路应该非常好理解了

y 是关于 x 的 f 映射

x 是关于 y 的 f^(-1) 逆映射

微商形式相等

复合函数求导

复合求导的检测方式就是利用微商形式检测最后的微商形式是否是dy/dx即可值得注意的是例如y,x关于t的参数方程，(dy/dx)'注意是对t求导还是对x求导；**微分形式不变性**和**链式求导法** yyds

微商法则

微分形式不变性

链式求导法则

隐函数求导

不经过显化，直接由方程F(x,y)=0求出隐函数导数

隐函数求导公式

两端直接求导【暴力】

对数求导法

1）针对幂指函数中，指数部分还有x自变量的2）对于分式，对数求导法可以化为ln形式，化乘除为加减

参数方程求导

总所周知四大求导法有五个(bushi)参数方程/对数求导可以直接用前面三个来推导，试试看

一阶导数

二阶导数

性质

奇偶性

可到原函数的导数，奇偶性与原函数相反

连续函数的原函数不一定与其奇偶相反

周期性

求导公式

注意求导公式与等价无穷小之间的关系

三角与反三角

数学具有某种对称美sin与cos，tan与cot，sec与csc公式只需要会推导一个，相对另一个也变容易记忆了

arctan x=y,x=tan y

对数与指数

利用反函数记忆

其他常用

高阶导数

与泰勒展式关系密切

定义

二阶导数

n阶导数

注意：y=f(x)具有n阶导数，则说其为n阶可导如果函数再x除有n阶导数，则再x某领域必有一切低于n阶的导数

积分符号也符号幂次表达

计算

n阶求导四则

莱布尼兹公式

常见函数的n阶导数

对泰勒展开式求导

与泰勒公式联系

归纳法

函数奇偶性

奇导偶，偶导奇

泰勒展式

相关概念

偏增量

全增量

定义

多元微分的核心还是以部分待整体的思想取出偏增量线性相关的部分，其余涉及到高阶无穷小部分则不进行考虑通常把全微分等于两偏导和称为**叠加原理**多元函数可微的唯一判断就是其定义【唯一充要等价条件】，否则只能使用偏导连续这一充分条件【一般不会给】

充分/必要条件

微分与偏导关系

除此之外，连续 -> 极限存在

充要条件

x→0 y→0和(x,y)→(0,0)的区别

分别趋近的时候，将x,y看作两个不相关的独立变量，而点趋近于时x,y是相关变量.```1、x→0 y→0 类型的极限是：y 先趋向于0，可以先行计算；然后再计算x趋向于0的极限。这种计算的实质是：计算沿着特定的方向极限。2、(x,y)→(0,0) 类型的极限是：x、y 必须同时趋向于0，不可以分先后计算。这种计算的实质是：计算所有方向的极限。 ```【从解题计算角度来看基本一样】

必要条件

和一元函数微分不同的是，充分必要条件变成了充分和必要两种不同程度的条件

如果可微分则偏导必定"存在"

实例

可微，则

f(x,y)=1 表示全平面，连续，偏导存在，可微，偏导连续

充分条件

偏导"连续"则该点可微

仅表示在y轴方向上连续(非任意连续)因此该条件无法表示出 '偏导连续' 的特点

实例

求导法则

1）链式求导法：依次求出每个自变量的偏导2）微分形式不变性类似bfs算法，层层展开.后者好处在于不需要画图去找每个自变量对应的链导路径，只需要一层层的展开就好了

链式求导法

画一个树形图，明确前驱后继关系便更容易理解

一元与多元复合

实际还是一元函数微分

多元与多元复合

其他情形

记号

全微分形式不变性

基于链式求导法的树链；不变性很重要，往往能够起到求偏导的优化以及最重要的是不清楚变量之间的关系时例如题目中，给出 x,y,z三个变量，但是至于变量之间是否具有函数关系则不一定给出。所以不变性可以通解这种情况。

题型

求偏导数

定积分/重积分

一元函数定积分

定积分一方面可以从几何意义和式极限来理解，也可以从不定积分角度建立(牛顿-莱布尼兹公式)原函数关系求得【但是不定积分还原原函数再求一般不进行考察，更多使用性质定理】定积分用使用不定积分的求法时，唯一区别在于积分上下界的变化，也要随着换元而改变

概念与定义

**概念：**f(x) 被积函数f(x)dx 被积表达式x 积分变量a 积分下限b 积分上限[a,b] 积分区间**几何意义：**二维坐标轴上，x轴上方的图形面积减去下方的图形面积之差**极限形式：**和式极限形式**相关应用**曲边梯形面积、变速直线运动路程（实际上还是二维直角坐标求面积）**定义理解**将积分区间[a,b]任意插入若干点，分成n个小区间，在将小区间上任取一点，做出区间长度与函数值(高度）的乘积（面积）当划分最大的小区间长度趋向于0时，和式极限存在，且极限和你选择的划分方法以及所取划分小区间内的函数值位置无关，则该极限I被称为:**f(x)在区间[a,b]上的定积分**

Q 什么样的函数f(x)在[a,b]上满足怎样条件则一定可积？**定理1**: [a,b]闭区间连续，必然可积**定理2**: [a,b]闭区间有界，且有有限间断点，必然可积

和式极限表达式

1）提出可爱因子 c/n2) 提出和式极限式子

微积分公式

定理3: 【p.240微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式意义：定积分与被积函数原函数和不定积分之间的关系注意】使用微积分公式必须注意，该区间内函数是否有瑕点，否则要将区间拆开，用瑕积分计算。

性质

以下定理均为简述，区间默认为[a,b],a=0,则积分>=0性质5：[不等式] 积分小于被积区间的最大值大于最小值与区间长度乘积性质6：核心/定积分中值定理）积分 = f(\xi)(b-a)

介值定理

定积分中值定理

补充

积分上下限相等为0

上下限相反，值取反

积分变量无关性

武忠祥高数辅导讲义p102【例6】

定积分存在定理(可积性判断)

必要条件

可积必有界

充分条件

闭区间连续函数必然可积

闭区间单调函数必然可积

计算方法

和不定积分的求法一样，但是注意换元时候的积分限替换，以及结果公式使用

分部积分

【连接原函数与导数的桥梁】

换元法

条件

1) 换元函数的值域为原函数自变量的定义域2) 换元函数具有连续导数

注意：1）换元后积分限要进行替换2）直接使用换元后积分原函数进行计算即可

题型总结

三角

指数/对数

倒数

结论公式

由于定积分和积分区域有关，所以相比不定积分多出周期判断

三角函数

【奇偶】点火公式1 且奇\end{cases}" contenteditable="false">

n=1时直接积分计算

周期函数

区间再现

利用变量代换计算定积分，同时代换后区间不变，这种方法通常用在被积函数原函数不易求出的定积分计算中

利用性质

对称性

区间再现

奇偶性

周期性

常见定积分

根据概率论中正态分布或者利用极坐标求解

变上限积分函数

公式

可积必有原函数

注意：定积分与积分变量的符号无关**定理2：**如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么(该公式)为f(x)在[a,b]上的一个原函数**意义**1）连续函数原函数存在2）定积分与原函数之间关系

基本公式

**定理1：** 同济上册 p239如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上可导，导数为(被积函数)

统一性

【一元】复合变上限求导

【多元】变上限求导

常见换元法

积分中值定理

变上限积分等价代换

结论

连续性

可导性

奇偶性

偶函数奇偶性只在[0，x]区间上体现

反常积分

无穷限反常积分【三类】

定义

敛散判别

比较判别法

比较法的极限形式

λ ≠ 0

λ = 0

λ = +∞

1,收敛\\p\leq 1,发散\end{cases}(a>0)" contenteditable="false">

性质

同一函数正负无穷区间的极限，必须两项同时收敛时和才收敛

不同函数的反常积分的发散的和，不能够确定【例如:f(x)+g(x)=0】

无界函数反常积分

瑕点

定义

f(x) 在 (a,b] 上连续，点 a 为 f(x) 的瑕点

f(x) 在 [a,b) 上连续，点 b 为 f(x) 的瑕点

f(x) 在 [a,b] 上除点 c (a

敛散判别

比较判别法

比较法的极限形式

λ ≠ 0

λ = 0

λ = +∞

性质

无穷限函数反常积分，必须在其收敛时，才能使用奇偶性质

对于左侧极限式，计算步骤是先右后左，先计算出定积分，在计算极限。所以由于奇偶性，定积分值为0，lim 0 = 0而右侧无穷限反常积分必须先判别敛散性才能得出结果

常见反常积分

应用

解决问题常常使用“元素法”找到合理的划分方法，然后再把小碎片求和(积分)起来

几何运用

平面图形面积

旋转体体积

一种是通过一元定积分，积出圆的半径然后利用圆面积公式，再向另一个方向积分另一种是利用二重积分，先积出平面微元，然后再计算其旋转一周得到的值：【横截面 × 周长 = 体积】

一元定积分

区域D由y=f(x)和直线x=a,x=b以及x围成

二重积分·

相比一元定积分，二重积分使用统一的元素方法，不需要根据 x,y 轴从而划分不同元素法

通用公式

沿直线旋转

旋转体侧面积

d弧长

曲线弧长

具体见多元积分应用章节

物理运用

变力沿直线做工

库仑力【距离平方成反比】

水压【压强与深度成正比】

水桶端面为圆片，同时注意水深与圆半斤之间的关系。

引力【距离平方成反比】

考场题型

定积分比大小

算比较难的题目一般有：中介法（找到合适的中介比较值）放缩法（利用函数单调性，取区间最值计算）

\int_0^\frac{\pi}{2} f(\frac{\pi}{2}) dx=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{2}{\pi} dx=1" contenteditable="false">

未知变上限求原函数【同时求导】

未知不定积分求原函数【同时积分】

多元函数重积分

在学习时与一元定积分类比，基本上相似。无论是定义，性质公式等

二重积分

几何意义

曲顶柱体的体积

薄片的质量

定义

和一元函数定积分类似:1）闭区域任意划分n个小区域2) 在小区域任取一点，做函数值与区域面积乘积，并作和3）当小区域的直径中最大值趋于0.且和极限总存在：与闭区域分发和点位置取法无关

坐标系

直角坐标

核心：化为两个单次积分

点线面计算逻辑

例如求某二维薄片面积：每个点(x,y)有对应质量面积乘以密度可以先沿着x轴积分，得到一条线的质量，再沿着y轴积分，得到整个面的质量至于选择先沿x还是y轴线积分，可以考虑有固定积分域的作为线，变化积分域的则是由对应函数作为上下限

积分顺序

即按照：点线面逻辑，积分顺序决定线的方向先 y 后 x: 平行于 y 轴的线，沿 x 轴方向不断积分先 x 后 y: 平行于 x 轴的线，沿 y 轴方向不断积分

先 y 后 x

先 x 后 y

面积元素

正方形面积

极坐标

常见极坐标计算被积函数

面积元素

扇环面积

适合极坐标积分域

运算性质

与一元定积分相似以下定理均为简述，区间默认为[a,b],a=0,则积分>=0性质5：[不等式] 积分小于被积区间的最大值大于最小值与区间长度乘积性质6：核心/积分中值定理）

二重积分中值定理

类似于积分中值定理，从几何上来讲，即在该区域内，能够找到一点，其高×底面积=该区域的积分值

交换相等

把二重积分的x,y符号进行对调，结果相等；

奇偶性

积分域 D 关于 y 轴对称

积分域关于 x = a 对称【奇偶平移】

积分域 D 关于 x 轴对称

对称性

积分变量记号无关

沿直线 y=x 对称：变量对调积分制不变

微分形式不变性

基本运算

同积分区域可线性运算

不等式性质

二重可拆积分

题型

积分顺序以及变量积分限：**顺序**按照点-线-面积分而对于圆等有面积公式的规则图形，则直接点-面进行积分

累次积分交换次序

步骤

画域

重新定限

积分函数不变，积分次序改变，积分上下限改变；

常见题型

极坐标→直角坐标

极坐标系重积分

利用相似三角形求得f(x,y)

极坐标系表示

偏心圆

直角坐标极坐标

偏心圆

图形

公式

极坐标：直角坐标：

累次积分上限函数求导

二重积分计算

参数方程积分

**摆线**解法：1）画域【画图法用到函数章节画图的方法：定义域、导数单调性】2）化简，化为关于**t**的积分

全平面抽象函数

解法：对于全平面域抽象函数，利用复合函数在原函数定义域进行定域

不等式

不等式的核心往往在于正负分段处理

平移法

对于具有对称性的图像，其对称中心/轴不在原点处，可以采取还原的方法移动至圆心，在利用对称型化简式子

轮换对称性

将式子中的所有x,y互换，不影响最终结果值的计算

去绝对值

利用区间对称型

未知变上限求原函数【同时求导】

未知不定积分求原函数【同时积分】

二重变上限积分

利用分部积分法求解

三重积分

直接按照二重积分的 [点线面+体] 积分求解即可

几何意义

三维物体的质量

坐标系

直角坐标

核心：化为三个单次积分

由此可见n维，即化为n个单次积分

点线面体计算法

在二重积分的薄片【面】基础上，增加对z轴积分【体】

积分域的选择和积分顺序与二重积分原理一致

体积元素

立方体

三化二/先二后一

球体

由于球体垂直某个轴做切面为圆，有固定面积公式，所以把线-面-体的积分方式转化为利用公式直接面-体，就把三重积分按照二重积分来计算了。当然也可以利用球面坐标系进行计算

柱面坐标

坐标元素

分别对应以 z 轴为轴的圆柱面[半径]，过z轴半平面[从 x 到 y 的旋转角度]，与 xOy 平面平行平面[高度]

取值范围

右手为正

直角坐标参数方程

常见被积函数形式

体积元素

扇环体

实际上就是极坐标系增加了z轴的坐标系

球面坐标系

参数方程

常见被积函数形式

体积元素

图解

计算时注意利用相似三角形求 r3 长度

由上图可得

应用 [元素法的使用推广]

曲面面积

质心

转动惯量

引力

题型

含参变量的积分

坐标系计算

直角坐标（先二后一）

柱坐标

球坐标

常见图形

图形

计算一个象限即可

星形线

参数方程

图形

摆线

参数方程

图形

向量代数

向量

概念

自由向量

只研究与起点无关的向量

负向量

零向量

特征：1.零向量方向视为任意2.模长为0

角平分线向量

归一化处理

向量夹角

范围

向量的大小【模】

模长为1

模长为0零向量，方向任意

向量间关系

向量共线/平行

充要条件

建立数轴的理论基础

向量共面

三向量共面混合积为0

向量相等

大小相等方向相同

向量运算

线性运算

向量加减

线性代数

线性组合

线性相关

向量组的线性相关

线性无关

线性表示(出)

向量表示

向量组表示

向量组等价

三角形不等式

共线时相等

相反时相等

性质

交换律

结合律

向量数乘

结合律

分配律

空间直角坐标系

坐标轴

三个两两垂直的单位向量

建立规则

右手规则

卦限

坐标分解式

可以看作，向量x,y,z的线性组和

(x,y,z)

线性运算

求解线性方程组

求证等腰三角形

求出空间两点距离

方向角与方向余弦

方向角

向量转换

模长公式

性质【恒等式】

向量表示

轴上的投影

数量积/点乘->内积

2021/9/21点积/数量积与内积区别点积又称数量积，它是欧几里得空间的标准内积内积是相对于内积空间来说的，它的含义要远远高于一般的点积/数量积，后者只是前者的某种特例而已。一个内积空间不只是「可以是无限维的欧几里德空间」那么简单，它的内积可以自然引导出「范数」，也就是说它天然是一个距离空间。它和同样具备「范数」的一般赋范空间线性空间也是有所区别的。

公式

代数表示

n维向量[坐标]运算

运算规律

交换律

分配率

几何表示

b向量在a向量方向投影的模长与a向量模长的乘积

几何应用

求模长

求夹角

判断垂直

b向量在a向量的分量为0【反之同理】

向量积/叉乘->外积

解决某向量与另外两个向量垂直的最好方法即对另外两个向量进行叉乘

运算规律

交换异号

分配率

代数表示

对应向量行列式运算

几何表示

向量积乘积结果仍为向量

模长

几何应用

求向量a,b临边的平行四边形面积

判断向量平行

求垂直于a,b向量的平面法向量

叉乘向量方向

右手法则

混合积

定义

代数表示

运算规律

轮换对称性

调换变号

几何应用

平行六面体体积

三向量共面

即平行六面体体积为0

空间解析几何

空间曲面方程

曲面方程

概念

同济高数下 p.24