集合读书笔记

数学集合知识要点梳理来啦！集合的概念、关系、充要条件、表示方法等集合的基本性质和要点以及运算方式全部都浓缩在下面的这一份思维导图之中，想要数学拿高分就靠它啦！

集合

• 概念
  • 集合/元素
  • 二者关系
    • 如果a是集合A的元素，就说a属于A---a∈A
    • 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A---a∉A
  • 种类
    • 有限集
      • 含有有限个元素的集合
    • 无限集
      • 含有无限个元素的集合
    • 空集
      • 不含有任何元素的集合，用∅表示
  • 数集
    • 自然数集(N）
      • N
    • 正整数集(N+)
      • 子主题
    • 整数集（Z）
      • 子主题
    • 有理数集(Q)
      • 子主题
    • 实数集（R）
  • 三要素
    • 确定性
      • 组成集合对象是确定的
    • 互异性
      • 组成集合对象互不相同
    • 无序性
      • 组成集合对象之间没有先后之分
• 表示法
  • 列举法
    • 把集合中的元素一一列举出来，用逗号分割，写在花括号内
    • 比如{1,2,3,4,5}
  • 描述法
    • 利用元素特征性质来表示集合
    • 方法：花括号内写出代表元素，然后画一条竖线，竖线右侧写出元素所具有的特征性质
    • 比如，直线y=2x+1上所有点的集合-----{（x,y）|y=2x+1}
• 关系
  • 子集
    • 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，A是B 的子集，A⊆B，或B⊇A,A包含于B,或B包含A
    • 性质
      • A⊆A,∅⊆A空集是任何集合的子集
      • 若A⊆B,B⊆C,----A⊆C
  • 真子集
    • 如果集合A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,则集合A是B的真子集,记作A⊊B（或B⊋A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）
    • 空集是任何非空集合的真子集
    • 数集之间的关系N⊊Z,Z⊊Q,Q⊊R
  • 集合相等
    • 如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等，A=B
    • 如果A⊆B且B⊆A，那么A=B
• 举例
  • 0与∅的关系
    • 判断关系要看是元素和集合的关系(∈和∉)还是集合和集合的关系（⊆，⊊）
  • 集合{a,b,c}的子集总共有几个
    • 有n个元素的集合，它的子集的个数是2^n
    • 空集别忘记了
• 充要条件
  • 充分条件
    • 如果能由条件p成立推出结论q成立，则条件p是结论q的充分条件
    • p=>q
  • 必要条件
    • 如果能由结论q成立推出条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件
    • p<=q,或q=>p
  • 充分必要条件
    • 如果p=>q,并且q=>p,那么p是q的充分必要条件，简称充要条件
    • p<=>q
• 运算
  • 交集
    • 定义
      • 对于两个集合A与B，由它们的所有公共元素组成的集合
      • A∩B={x|x∈A且x∈B}
    • 性质
      • A∩B=A,∅∩A=∅，A∩B=B∩A
  • 并集
    • 定义
      • 由集合A与B的所有元素组成的集合
      • A∪B={x|x∈A或x∈B}
    • 性质
      • A∪A=A,∅∪A=A,A∪B=B∪A
  • 补集
    • 定义
      • 全集
      • 补集
        • 设U是一个全集，A为U的子集，则U中所有不属于A的元素的集合
        • CuA={x|x∉A且x∈U}
    • 性质
      • A∩CuA=∅，A∪CuA=U,Cu(CuA)=A