16.无穷级数

高数第16讲，汇总了常数项级数的概念和性质、级数敛散性的判别法、幂级数及其收敛域、幂级数求和函数等详细知识点。可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆知识。

无穷级数

• 常数项级数的概念和性质
  • 引例
    • 芝诺提出的有趣悖论一个人要走一段路程， 每次都都走剩下路程的一半，一直都在 接近终点，却无法到达
  • 概念及其敛散性
    • 就是将无穷多个数相加求和
    • 要解决问题，我们首先引入部分和Sn，对其求极限 可得出原级数的敛散性
    • 几何级数，又叫等比级数。当公比大于等于1时，级数发散 当公比小于1时，级数收敛，其和为a/1-q
  • 性质
    • 收敛±收敛=收敛 收敛±发散=发散 发散±发散=不一定
    • 改变级数的任意有限项，不会改变该级数的敛散性
    • 收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛，且其和不变
    • 若级数收敛，则其通项的极限为零 此性质是级数收敛的必要条件
• 级数敛散性的判别法
  • 正项级数及其敛散性判别
    • 收敛原则
      • 正项级数收敛的充分必要条件是他的部分和数列有界
    • 比较判别法
      • 两个正项级数，从某一项开始，总是一个比一个大， 那么大的级数收敛，小的必收敛 小的级数发散，大的必发散
      • 调和级数1/n是发散的
      • P级数 1/n的p次方，当p小于等于1时，该级数发散 当p大于1时，该级数收敛
    • 比较判别法的极限形式
      • 本质就是阶数的比较
      • 将两个正项级数做比值求极限，求得极限为A， 当A=0时，大的收敛，小的就收敛 当A=∞时，小的发散，大的必发散 当A为0-∞的任意值时，两个正项级数有相同的敛散性
    • 比值判别法 达朗贝尔判别法
      • 用该级数的后项比前项，求极限ρ 当ρ＜1时，该级数收敛 当ρ＞1时，该级数发散 当ρ=1时，无法判别
    • 根值判别法 柯西判别法
      • 将通项开n次方根，求极限ρ 当ρ＜1时，该级数收敛 当ρ＞1时，该级数发散 当ρ=1时，无法判别
    • 积分判别法
      • 若在1-∞内，有单调递减的非负连续函数与级数通项相同，则 级数与该函数的反常积分的敛散性相同
  • 交错级数及其敛散性判别
    • 莱布尼兹判别法
      • 单调不增
      • 通项极限为零
  • 任意项级数及其敛散性判别
    • 绝对收敛
      • 加绝对值后的级数收敛，原级数也收敛
    • 条件收敛
      • 加绝对值后，级数收敛，原级数发散
• 幂级数及其收敛域
  • 概念
  • 阿贝尔定理
    • 当幂级数在某一点处收敛时，则该点与原点之间的对称区间内， 幂级数绝对收敛。在范围之外，则幂级数发散
  • 收敛半径
  • 收敛半径的求法
• 幂级数求和函数
  • 概念
  • 运算法则恒等变形方式
  • 性质
  • 重要展开式