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基本概率理论
卫生统计学 人卫8版，整理了概率、概率分布、蒙特卡罗模拟的内容，希望这份脑图会对你有所帮助。
编辑于2023-04-10 21:18:11 内蒙古自治区
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基本概率理论
概率
机会与不确定性
机会 (也叫随机性) 用于描述我们对不确定性事物的看法 eg:投掷一枚均匀对称的硬币，观察硬币出现正面的机会 (1) 投掷结果为正面的机会为1/2 (50%) (2)投掷硬币后用手掌立刻压住，结果是确定的，要么正确、要么错误即投掷结果为正面的机会要么是1(100%) 要么是0 (0%)
概率的定义和基本性质
概述
一切随机或不确定的事件，都是概率论研究的范畴。(多次重复会呈现一定的规律)
例1 每轮实验投掷一枚均匀硬币5000次，下图展示了两轮实验的结果 ①实验A正面的比例开始时低，而实验B的比例高。 ②横坐标非等比例变化，显示短期结果变异很大。 ③实验A、B正面的比例开始时差异较大，当投掷次数增多，累计比例均趋近于0.5并保持稳定。
概率的定义
随机现象(random phenomenon): 指在个别实验中结果不能预测但在大量重复实验后结果展现出一定规律的现象。 (如投掷硬币)
随机事件(random event)也称事件: 是随机现象中所有可能结果的一个子集。通常用大写字母A、B、C等表示事件。如投掷硬币实验中出现正面就是一个随机事件。
概率 (probability) : 度量随机事件发生可能性大小的数量指标。随机现象中的概率可被定义为随机实验无限重复中某随机事件所占的比例，用Pr表示。
概率的基本性质
(1)任何概率取值为0~1 (2) 所有可能的结局加起来的概率必须等于1 (3)概率的加法原则: 如两个事件互斥(没有共同可能的结局，不可能同时发生)，两个事件至少一个发生的概率就是两个事件单独发生的概率之和。 eg:有红黄蓝三个球，若只能选一个球，则选择红球、黄球、篮球这三个事件都不可能同时发生，选择任何一个球的概率都为1/3。以红球、黄球这两个事件为例，选到红球或黄球 (即至少一个事件)的概率即为2/3. (4)一个事件不会发生的概率等于1减去这个事件会发生的概率 eg：选到红球或黄球的概率为2/3，那么选不到红球或黄球的概率为1-2/3，即1/3。
随机事件的概率运算
加法法则
两随机事件和的概率: 事件A与事件B的和是指事件A、B中任意一个事件发生。用Pr(A)表示事件A的发生概率，用Pr(B)表示事件B的发生概率，若事件A和事件B是两个互斥事件，则有两者之和的概率Pr(A或B)= Pr(A)+ Pr(B) eg: 掷子时，投出的结果“小于2”和“大于4”是两个互斥事件，则: Pr (X<2或X>4)=Pr (X<2) +Pr (X>4) =1/6+1/3=1/2
多个随机事件和的概率: 如果有事件A，事件B和事件C及更多事件是互斥的，那么有其之和的概率Pr(A或B或C或...)- Pr(A)+Pr(B)+Pr(C)+...。
条件概率
独立事件(independence event): 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 eg:投掷一枚均匀的硬币两次，要研究的两个事件分别为A和B A={第一次投掷是正面} B={第二次投掷是正面} 两次投掷结果相互独立，两事件无交集，所以A、B两个事件为独立事件。
事件A和事件B有交集，此时A的发生可能影响B的发生，即某一事件发生的概率可能会因为知道某个其他事件发生时而改变。 条件概率(conditional probability): 符号Pr(A|B)，指在知道另一个事件B发生的情况下，某一事件A发生的概率，符号“|”可理解为“考虑到”或“在什么条件下”。 eg: 在一场扑克比赛中，一名选手已手握4张牌但是他不知道牌面内容，他现在要推测:下一张他拿到A的概率是多少? (此时包括他手上拿到的牌一共有52张，由于他不知道手上的牌，所以在他看来，他得到的下一张牌是52张牌中的任何一张) Pr (A) =4/52=1/13 如果假设他已经知道手上的4张牌的牌面内容，并目其中1张是A，此外他对其他的48张牌一无所知，该选手根据这些已知信息推测下一张牌是A牌的概率是多大? Pr (A) =3/48=1/16
乘法法则
两随机事件积的概率: 事件A与事件B的积是指事件A、B同时发生假设Pr(B|A)是事件A发生时B发生的条件概率，那么事件A和事件B的积的概率Pr(A和B)=Pr(A)Pr(B|A)。
多个随机事件积的概率: 将乘法法则扩展到多个事件同时发生的概率的计算 如有事件A，事件B，事件C的积的概率为Pr(A、B和C)Pr(A)Pr(B|A)Pr(C|A和B)。
例4-3 调查显示，高中男运动员中只有5%在大学阶段继续运动生涯;而在大学阶段继续运动生涯的运动员中只有1.7%进入职业运动联盟;进入职业运动联盟的运动员中只有40%的人有超过3年的职业运动生涯，那么一名男高中运动员在大学阶段继续运动生涯然后进入职业联盟并有超过3年的职业运动生涯的概率为多少? 定义事件如下： A={在大学继续运动生涯} B={进入职业运动联盟} C={职业运动生涯超过3年} Pr(A)=0.05，Pr(B|A)=0.017，Pr(C|A和B)=0.40, 则Pr(A、B和C)=Pr(A)Pr(BIA)Pr(CIA和B)=0.05x0.017x0.40=0.0003 也就是说每1万名男高中运动员只有约3个运动员可以在大学继续运动生涯进入职业联盟并有超过3年的运动生涯
推导 (1) 因为Pr(A和B)=Pr(A)Pr(B|A)。 所以Pr(B|A)= Pr(A和B)/ Pr(A)，条件是Pr(A)>0。 (2)如果Pr(B|A)≠Pr(B)，说明事件A的发生为我们提供了事件B是否发生的一些额信息 (3)如果Pr(B|A)=Pr(B)，说明事件A和B是独立事件
条件概率与树状图
例2 微信聊天现已成为年轻人的主流聊天方式，调查显示在18岁以上的成年手机用户中，18到29岁的手机用户中有47%进行微信聊天，30到49岁的手机用户中有21%进行微信聊天，50岁及以上的手机用户中有7%的人进行微信聊天。此外成年手机用户的年龄构成如下: 29%的手机用户在18-29年龄段，47%的手机用户在30-49年龄段，剩下24%的手机用户是50及以上年龄段的。那么对于随机选择的一个成年手机用户，他使用微信聊天的概率是多少?
概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量
随机变量(random variable):将随机实验中产生的结果用数值表示的变量 通常用大写字母如X、Y表示随机变量，用小写字母x、y表示随机变量X的具体取值 如:在投掷硬币时，随机实验是投掷4次硬币，随机变量是正面朝上的次数，则X的取值范围为0,1,2,3,4。当投掷次数发生改变时，x的取值范围也随之发生改变
分类：随机变量 有概率性，固定值
离散型随机变量
连续型随机变量
离散型随机变量及其概率分布
离散型随机变量定义:X所有可能的取值可以被一一列出，取值是离散的，而非连续的实数区间。
其概率分布列出了所有取值及对应的概率
说明：概率πi必须满足以下两个条件: (1)概率的取值范围是0到1 (2) π1+π2+π3+...=1 计算某个事件的概率只需要将构成这个事件各个结果的概率相加即可
表示方法 假设投掷2次硬币出现1次正面朝上的概率为0.3，如何表示? Pr (X=x) =0.3，x=1 或者P(X=1)=0.3
例4-5假设一个离散型随机变量X为投掷4次硬币时正面朝上的次数，那么该随机变量X的概率分布是什么? 假设: (1)硬币是均匀的，即投掷硬币时正面朝上(S)和反面朝上 (F)是有相同机会发生的(2)硬币没有记忆，即每次投掷硬币的实验之间相互独立 正面朝上表示为(S)、反面朝上表示为 (F) 正面朝上有可能是0次，用符号表示为: FFFF，其概率为1/2x1/2x1/2x1/2=1/16 正面朝上有可能是1次，用符号表示为: SFFF、FSFF、FFSF、FFFS，其总概率4/16 正面朝上有可能是2次，用符号表示为:SSFF、SFSF、FFSS、SFFS、FSFS、SFFS 6/16 正面朝上有可能是3次，用符号表示为:SSSF、SSFS.SFSS.FSSS 正面朝上有可能是4次，用符号表示为:SSSS
假设一个离散型随机变量X为投掷4次硬币时正面朝上的次数，请运用概率法计算Pr (X≥2)和Pr (X≥1)? Pr (X≥2) = Pr (X=2) + Pr (X=3) + Pr (X=4)= 0.375+0.25+0.0625=0.6875 Pr (X≥1) = 1-Pr (X=0) =1-0.0625=0.9375
例3 一所大学对英语课程的成绩分布进行研究。在最近一学期的英语课程中，成绩分布如下: 得A的占31%，B占40%，C占20%，D占4%，E占5%。随机选择一名学生，所谓“随机选择”是指每个学生都有相同的机会被选到。将选到的学生的成绩记为随机变量 ，那么随机变量X的概率分布是怎样的? 根据题意，随机变量X的概率分布如下：
你能计算随机选到的学生获得B或更好等级的概率吗? Pr (A) + Pr(B)=0.71
连续型随机变量
定义: 连续型随机变量是取值范围充满某一数值区间的变量，即连续型随机变量在忽略测量精度的条件下可以取到该区间中的任意一个值。 例：①当从0到9之间的整数中随机选择一个数字，选出的数字为随机变量X，它是离散型变量。 按照其概率分布，10个可能结果中每一个结果出现的概率均为1/10。 ②假设从0到1之间随机选择任意一个数，结果就无法像上面一样一一列出，则属于连续型变量。0.3≤X≤0.7这个随机事件的概率为多少? 因为该事件包含了无限多的可能值，所以使用概率密度曲线下面积计算0.3≤X≤0.7的概率。
概率密度曲线(probability density curve): 是位于横轴上方用于描述概率分布的曲线，该曲线下面积为1对应概率为1。 某事件在概率密度曲线下对应某一区间的面积即为该事件的概率 概率密度曲线是直方图一种平滑的近似
续上例② 该实验中各个事件的概率可通过该事件对应区间的面积求出。由图可得0.3≤X≤0.7区间的面积为0.4，故Pr(0.3≤X≤0.7 )=0.4
连续型概率分布中某一个具体结果的概率都趋近于0，只有在一个区间内才有概率。Pr (X>0.8)=0.2 Pr (X≤0.5) =0.5 验证Pr (X=0.8) Pr(0.79≤X≤0.81)=0.02 Pr(0.799≤X≤0.801)=0.002 Pr(0.799 999≤X≤0.800 001)=0.00 002 由此可见越接近0.8这个点，概率越接近0
随机变量的均数和方差
随机变量的均数
定义:随机变量所有可能值的平均，即把每个取值都按照它的概率来加权之后的平均，每个可能取值的权重就是取这个值的概率。 ①概率分布的均数描述的是长期大量重复实验后的平均值，常用希腊字母μ，也称为期望值。(常用μx表示随机变量X的均数) ②随机变量的均数是概率分布特征的一个参数，是客观存在的固定数值，不会随着抽样样本的不同而发生改变。 例:要了解包头市8岁青少年的平均身高是多少?总体:包头市8岁所有青少年的身高假定随机抽取100名青少年作为一次抽样抽样过程导致抽出的每个青少年的身高为一个随机变量。 不同的抽样得到的样本均数下也随之变化 随机变量X的均数是某地区所有青少年的平均身高,这是一个客观存在的数值描述的是该总体人群的平均身高水平
离散型随机变量的均数
设X是离散型随机变量，其概率分布如下： 每个可能的取值与其概率的乘积之和就是所求的X的均数：
例题
例4-7在每一局赌博中，老板的赢钱概率为6/11，赌徒赢钱的概率为5/11，两者的赌注均为11元，如果赌博结果为赢钱则赌徒赢得老板的赌金，反之则输掉11元。若以X表示一局赌博中赌场老板的平均收入，那么这一随机变量的概率分布和它的均数是怎样的? 随机变量的概率分布为： 赌场老板的平均收入为: 11x6/11+(-11)x5/11=1元
注意：随机变量的均数一定要考虑概率这个权重，不同取值的概率会影响均数的位置
图(A)是对称的，即随机抽取的1到9之间的数字的时候，其均数正好落在对称中心。 不能直观地从图(B)中看出服从本福特定律的右偏态分布的均数位置
均数加法法则
如果X和Y是两个随机变量，随机变量X和Y的和记为随机变量Z，即Z = X +Y，则随机变量Z的均数μZ可表示为μX+Y，那么随机变量X和Y的和的均数就等于X的均数加上Y的均数，即
例题
例4-10 银行某职员每月工资构成是底薪加提成，由于每个月的业绩不同，工资也时高时低,但是长期下来.平均每个月的工资收入约为5000元此外他还利用周末时间出去开网约车虽然每次出去开车挣的钱时多时少,但是长期下来,他每个月周末开网约车的平均收入是2000 元。那么他平均每个月总的收入是多少? 随机变量X:月工资 随机变量Y:开网约车收入 随机变量Z=X+Y:月总收入 μZ=μX+Y=μX+μY=7000元
随机变量的方差
离散型随机变量的方差
假定X是一个离散型随机变量，其分布如下： X的方差等于每个可能取值与均数差值的平方，与该值概率相乘之和，即
方差和标准差的两条法则 ( 相互独立随机变量间方差的加法法则 )
如果X是一个随机变量且b是常数，随机变量X与常数b的乘积记为随机变量Z，即Z= bX，将随机变量Z的方差sZ²表示为sbX²,则随机变量X与常数b的乘积的方差就等于x的方差乘以常数b的平方，即
如果X和Y是相互独立的两个随机变量，随机变量X和Y的和记为随机变量Z，即Z = X +Y,随机变量Z的方差sZ²可表示为sX+Y²，则X与Y和的方差就等于X的方差加上Y的方差，即
均数和方差及其法则例题
例6 投资方案选择 某投行现有甲两个备选项目投资，随机变量表示甲项目的盈利，随机变量Y表示乙项目的盈利，其具体分布如下表所示，分别计算它们的均数和方差以及总的均数和方差，并以此提出两个项目同时投资的建议
二项分布
伯努利实验
例: 假设某同学在考试中有1道四选一的选择题完全不会，答案全凭“瞎蒙”，那么该同学猜对的概率是多大? 结果只有两个:正确或错误 伯努利实验（Bernoulli trial）：只有两种可能结果的单次随机试验，其结果可能为“成功”或“失败” 我们感兴趣的事件是“答对”，我们就可以把“答对”这个事件作为我们要研究的随机事件，表示为X₁ 随机变量X₁的均数μX₁=π 方差σ²=(1-π)²π+(0-π)²(1-π)=π(1-π)
二项分布
二项分布（Binomial distribution）：将一个“成功”概率为π的伯努利实验独立地重项分布复n次，令X表示在这n次实验中“成功”出现的次数，X可能取值是0,1,2,...,n，根据n次伯努利实验中“成功”总次数等于k的概率计算公式，得到X的概率分布为: 其中π取值为[0,1]，称此分布为二项分布，其两个参数是n和π记作X~B(n，π)
二项分布概率分布图
二项分布的性质 设X服从二项分布，则X具有如下性质： ①X的均数(亦称期望值)μx = nπ; ②X的方差 σx²= nπ(1 -π ) ; ③X的标准差σx=
例题
二项分布的适用条件 若随机变量X服从二项分布B(n,π)，则X需满足如下条件： ①互斥性。每次随机实验只会发生两种对立的可能结果之一( 成功或失败 )，即伯努利实验的结果。 ②稳定性。在相同实验条件下，每次实验产生某种结果( 如成功)的概率固定不变 ③独立性。重复实验是相互独立的，即每次实验产生何种结果不受其它各次实验的影响。
Poisson分布
概述
Poisson分布是二项分布的极限情况，是描述概率很小的事件发生规律性的种重要分布。例:盒子中装有999个黑棋子，一个白棋子，在一次抽样中，抽中白棋子的概率1/1000 在100次抽样中，抽中1，2，...，10，...个白棋子的概率分别是....
主要用于： 人群中遗传缺陷、癌症等发病率很低的非传染性疾病的发病或患病人数的分布，也可用于研究单位时间内(或单位空间、容积内)某罕见事件发生次数的分布 放射性物质单位时间内的放射次数；单位体积内粉尘的计数、单位空间中某种昆虫或野生动物数；血细胞或微生物在显微镜下的计数、单位面积或容积内细菌计数 特点: 罕见事件发生数的分布规律
Poisson分布的定义
若离散型随机变量X，其取值为0，1，2，...，相应的概率为 则称此分布为服从参数为μ的Poisson分布，记为X~P (μ) 式中e为自然对数的底，μ是其唯一参数，为Poisson分布的 均数(μ > 0)。
数学上可验证，Poisson分布的方差与均数相等，均为μ
Poisson分布的概率分布
正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution)
定义
标准正态分布的概率密度函数为 此时称随机变量X服从均数为0， 标准差为1的标准正态分布， 记为X~N(0,1)。唯一一条
其图形称为标准正态曲线(normal curve)，是一条高峰位于中央两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。
标准正态分布概率密度曲线
密度函数曲线下面积表示概率大小，对于任意给定区间，可通过围成的面积求出其概率大小。
概率分布以均数μ=0左右对称， 对于任意c >0，Pr(X ≤ -c) = Pr(X ≥ c) = 1- Pr(X ≤ c)
附表1列出了任何一个取值区间的概率。
标准正态分布的68-95-99.7法则
如果随机变量X~N(0,1)，则有 : 约68%的可能性X分布在区间(-1,1)之内 约95%的可能性x分布在区间 (-2,2)之内 约99.7%的可能性X分布在区间(-3,3)之内
一般正态分布
定义
正态分布的概率密度函数为 此时称随机变量X服从均数为μ， 标准差为σ的正态分布， 记为X ~ N(μ，σ²)。
任何一个一般的正态变量都可以通过标准变换转化为标准正态变量，也可以通过函数变换将标准正态分布转换为一般正态分布
正态分布密度曲线特点
①曲线形状为单峰、钟形，以均数μ为对称轴，左右对称。 ②x =μ时，正态分布概率密度函数f(x)取得最大值，两边逐渐减少 ③曲线尾端不与横轴相交 ④正态分布概率密度曲线由μ和σ两个参数决定，μ决定曲线的峰值位置 σ决定曲线的形状。μ:位置参数，σ:形态参数 σ小：高瘦，σ大：矮胖，尾翘
一般正态分布的标准变换
这种将变量X先减去分布的均数再除以标准差完成的变换称为标准化变换，而经标准化变换后的变量Z服从标准正态分布N(0,1)，称为X的标准化变量或称为Z分数 Z分数的具体取值记作小写情形，即z分数。对z分数可以理解为它与均数之间的差值是标准差的多少倍
一般正态分布的68-95-99.7法则
如果随机变量X ~ N(μ,σ2)，则有: 约68%的观测值分布在距离均数的1个标准差之内的范围，即 z =(-1,1) 约95%的观测值分布在距离均数的2个标准差之内的范围，即 z =(-2,2) 约99.7%的观测值分布在距离均数的3个标准差之内的范围，即 z= (-3,3)
正态概率密度曲线下的面积分布规律 （满分答案）
1、X轴与正态曲线所夹面积恒等于1或100% 2、区间μ土σ的面积为68.27%; 3、区间μ士1.96σ的面积为95.00%; 4、区间 μ土2.58σ的面积为99.00%; 5、区间 μ士1.64σ的面积为90.00%
3σ准则
对于一般的正态分布X ~ N(μ,σ²)，其取值几乎全部集中在区间(μ- 3σ,μ+ 3σ)内，这在统计学上称作“3σ准则” ( 三倍标准差准则)，这个准则经常用于产品质量控制中。
一般情况下，实验中的测量误差服从正态分布，因为正态曲线下区间(μ - 2σ,μ + 2σ)内的面积约为95%，区间(μ- 3σ,μ+ 3σ)内的面积约为99.7%，故常以样本数据的x bar± 2s作为实验观测值的上警戒限和下警戒限，以x bar± 3s作为实验观测值的上控制限和下控制限)
正态分布的重要性
正态分布能够很好地描述一些实际数据的分布 正态分布可以很好地近似许多随机事件的结果 利用正态分布制定“医学参考值范围“ 根据68-95-99.7法则，可以制定相应的质量控制线和警戒线。 建立在正态分布基础上的很多统计推断过程也适用于其它近似对称分布
医学参考值范围
基本概念
医学参考值（medical reference value）：是指包括绝大多数正常人的人体形态、功能和代谢产物等各种生理及生化指标常数，也称正常值。
由于个体间存在差异，医学参考值并非常数，而是在一定范围内波动，因此采用医学参考值范围（reference ranges）作为判定正常和异常的参考标准。
制定参考值范围的步骤
从正常人总体中抽样
正确理解正常人的含义：正常人：不是一点小病都没有的人，而是排除了对研究指标有影响的疾病或因素的人。
抽样应遵循随机化的原则：保证总体中每一个个体都有相同的机会被抽中
抽取的样本含量应足够大：参考值范围是根据样本数据估计的。只有样本含量足够大时，样本分布才越接近总体分布，所得结果才能比较真实的反映总体的情况。 样本含量的要求：一般n≥100
控制测量误差
统一测量的方法、仪器、试剂、精密度、操作熟练程度，以便将测量的误差控制在一定的范围内。
判断是否需要分组测定参考值范围
例：欲制定正常人肺活量的参考值范围，经研究发现该指标在男女间有明显的差别，且差别具有实际意义，因此肺活量的参考值范围应按照不同的性别分别制定。
确定取单侧还是双侧
依据：实际用途和专业知识 例： 指标 异常情况 单、双侧 上、下限 红细胞 过高与过低 双侧 上限和下限（a，b） 尿铅 过高 单侧 上限，＜b 肺活量 过低 单侧 下限，＞a
选择合适的百分界限
参考值范围是指绝大多数正常人的测定值应该所在的范围。 “绝大多数”：习惯上指80%、90%、95%或99%。 通常取95% 个体较少时 个体较多时
目的： 1.减少假阳性（确诊病人）——减少把正常人诊断为病人的可能性。较大的百分界限 2.减少假阴性（病人初筛）——减少把病人诊断为正常人的可能性。较小的百分界限 实际中最好结合正常人和病人的数据分布特点，权衡假阳性和假阴性的比例，选择一个适当的百分界限。
根据资料的分布类型选定适当的方法 进行参考值范围的估计
例题
正态分布法
百分位数法
例题
例8 不同省份的考题难易程度不一，很难直接用分数高低来比较不同学生的成绩优劣。某年高考中，甲省A考生考了580分，乙省B考生考了525分。那么他们在各省的排名到底谁高谁低。假定已知甲省的分数大致服从均数为500，标准差为80的正态分布，乙省的分数大致服从均数为450，标准差为50的正态分布。那么谁考得比较好呢? 方法一:可以利用z分数和68-95-99.7法则来大致计算出两位考生成绩在总体中的分布位置并做出比较。 A的z分数z = (580 - 500)/80 = 1.0 ; B的 分数z =(525 - 450)/50 = 1.5，即A的分数比平均高了1.0个标准差，而B的分数比平均高了1.5个标准差，因此B在乙省的排名高于A在甲省的排名。 方法二:可根据附表1将z分数转换为百分位数来进行更为具体的比较 A的分数为1.0，查附表1可知其分数比当地84%的学生都高，B的2分数为1.5，查表1可知他的分数比当地93%的学生都高，故B在省的排名高于A在甲省的排名 如果随机抽取一位甲省考生，他的分数在450到550之间的概率是多少? 所以，他的分数在450到550之间的概率是0.47
二项分布、泊松分布、正态分布的关系
蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗模拟的基本思想
用投米粒实验计算圆周率为例加以说明： 单位圆与单位正方形的关系：一个边长为1的正方形恰好包住一个半径为1的1/4圆 (阴影部分) 计算圆周率π的模拟过程： ( 1)图阴影部分(1/4个单位圆 )的面积为π/4。单位正方形的面积为1，最终可得阴影部分占整个正方形面积的比例为a/4。 (2)如实验次数重复足够多，例如1000次，其中有n次掉入了阴影部分，则n/1000近似应等于π/4 ，上面的比例乘以4可得到π的模拟近似解 从以上讨论可知，估计π的关键在于“投米粒实验”的实现。最原始的办法是找一颗米粒在图上投掷1000次，并记录下每次的结果，一些统计学前辈已经做过了许多类似的实验
蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟方法也称为计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法 蒙特卡罗模拟实验是通过某种“实验”的方法，得出A事件出现的频率，以此估计出A事件出现的概率方法 蒙特卡罗模拟中非常关键的一个环节就是模拟抽样给定分布的随机数。
常见分布的模拟抽样
正态分布随机数的模拟抽样
二项分布随机数的模拟抽样
蒙特卡罗模拟步骤
蒙特卡罗模拟的主要步骤和应用 (例4-16) (1)整体规划: 根据需要制定解决问题的步骤，包括确定目标及将不具有随机性质的问题构造为具有随机性质的问题。 (2)描述概率过程:对具有随机性质或构造的具有随机性质的问题进行正确描述其概率过程 (3)实现从已知概率分布抽样: 根据已构建的概率模型后产生已知概率分布的随机变量。 (4)重复多次并综合结果估计: 大量重复实验后，将其结果作为需要解决问题的近似答案。