数列(进阶版)

199管理类联考数学 根据陈剑课程讲解归纳整理，数学公式不方便输出，已用文字方式表达，请仔细查阅 考研数学，一起加油吧

数列(进阶版)

• 等差数列
  • 5个参数
    • 万能参数
      • a1
      • d
    • 其他
      • an
      • n
      • Sn
  • 归纳：求a1及d
    • 已知am及ak①
      • d＝am-ak/m-k
    • 已知am及Sk②
      • Sk=ka(k+1/2)
      • 结合am.转化为①
    • 已知Sm及Sk③
      • Sm=ma(m+1/2) Sk=ka(k+1/2)
        • Sm/m-Sk/k=[(m-k)/2]d
  • 最值
    • 等差数列前n项和，当公差d不为零时，借助抛物线分析最值
    • 利用均值定理
• 等比数列
  • 6个参数
    • 万能参数
      • a1
      • q
    • 其他
      • An
      • n
      • Sn
      • S
  • 归纳
    • 已知am及ak
      • am/ak=q的m-k次方
    • 已知am及Sk
      • am=a1×q的m- 1次方
      • Sk=a1(×1-q的k次方)除以(1-q) q不等于1
    • 已知Sm及Sk
      • Sm/sk=(1-q的m次方)/(1-q的k次方) q不等于1
• 特殊数列
  • 裂项相消
    • 例：An=1/n*(n+1)=1/n-1/(n+1)
  • 分组求和
  • 找规律：找通项及特征
    • 例：111...1=1/9*999...9=1/9*(10的k次方-1)
• 递推数列(难点/核心)
  • an=a1=S1，n=1 an=Sn-Sn-1，n>=2
  • Sn的常数项只影响a1，不影响其他项
  • 构造数列(注意n的范围)
    • 利用an=Sn-Sn-1搭桥
    • 换元法构造新的数列
    • 除符号外，其他变常数
    • 归纳：an+1=q*an+C an+1+X=q*(an+X)，其中qX-X=C
• 数列应用
  • 确定等差数列还是等比数列 将文字翻译成数学语言，应用数列基本公式
    • 等差：找首项和公差
      • 例：分期付款
        • 等额本金：月供渐少
          • 固定本金
          • 余款利息(渐少)
        • 等额本息(了解即可)月供不变
          • 前期本金比例小，利息比例大
          • 后期利息比例大，本金比例小
    • 等比：找首项和公比
      • 例：定期存款本利和
        • 复利计算：本金为a年，利率为p N年后，本息共a*(1+p)的N次方
      • 设1法：设基础为1,后依题意求解
      • 列举法：数据较少时，列举求解
• 奇偶数项
  • 等比数列：a2＝a1q a4＝a3q ... 偶数项＝奇数项*q
  • 等差数列:a2＝a1+d a4＝a3+d ... 偶数项＝奇数项+d
• 数列的性质
  • M+n=p+q
    • 等比数列:AmAn＝ApAq
    • 等差数列:Am+An＝Ap+Aq
      • 利用Sn求an 将Sn转化成与an相关
• 技巧
  • a4×a9=a6.5的平方，求q a4+a9=2a6.5，求d
  • 一个数列既成等差又成等比，则为常数列 公差为零

数列(进阶版)

• 等差数列
  • 5个参数
    • 万能参数
      • a1
      • d
    • 其他
      • an
      • n
      • Sn
  • 归纳：求a1及d
    • 已知am及ak①
      • d＝am-ak/m-k
    • 已知am及Sk②
      • Sk=ka(k+1/2)
      • 结合am.转化为①
    • 已知Sm及Sk③
      • Sm=ma(m+1/2) Sk=ka(k+1/2)
        • Sm/m-Sk/k=[(m-k)/2]d
  • 最值
    • 等差数列前n项和，当公差d不为零时，借助抛物线分析最值
    • 利用均值定理
• 等比数列
  • 6个参数
    • 万能参数
      • a1
      • q
    • 其他
      • An
      • n
      • Sn
      • S
  • 归纳
    • 已知am及ak
      • am/ak=q的m-k次方
    • 已知am及Sk
      • am=a1×q的m- 1次方
      • Sk=a1(×1-q的k次方)除以(1-q) q不等于1
    • 已知Sm及Sk
      • Sm/sk=(1-q的m次方)/(1-q的k次方) q不等于1
• 特殊数列
  • 裂项相消
    • 例：An=1/n*(n+1)=1/n-1/(n+1)
  • 分组求和
  • 找规律：找通项及特征
    • 例：111...1=1/9*999...9=1/9*(10的k次方-1)
• 递推数列(难点/核心)
  • an=a1=S1，n=1 an=Sn-Sn-1，n>=2
  • Sn的常数项只影响a1，不影响其他项
  • 构造数列(注意n的范围)
    • 利用an=Sn-Sn-1搭桥
    • 换元法构造新的数列
    • 除符号外，其他变常数
    • 归纳：an+1=q*an+C an+1+X=q*(an+X)，其中qX-X=C
• 数列应用
  • 确定等差数列还是等比数列 将文字翻译成数学语言，应用数列基本公式
    • 等差：找首项和公差
      • 例：分期付款
        • 等额本金：月供渐少
          • 固定本金
          • 余款利息(渐少)
        • 等额本息(了解即可)月供不变
          • 前期本金比例小，利息比例大
          • 后期利息比例大，本金比例小
    • 等比：找首项和公比
      • 例：定期存款本利和
        • 复利计算：本金为a年，利率为p N年后，本息共a*(1+p)的N次方
      • 设1法：设基础为1,后依题意求解
      • 列举法：数据较少时，列举求解
• 奇偶数项
  • 等比数列：a2＝a1q a4＝a3q ... 偶数项＝奇数项*q
  • 等差数列:a2＝a1+d a4＝a3+d ... 偶数项＝奇数项+d
• 数列的性质
  • M+n=p+q
    • 等比数列:AmAn＝ApAq
    • 等差数列:Am+An＝Ap+Aq
      • 利用Sn求an 将Sn转化成与an相关
• 技巧
  • a4×a9=a6.5的平方，求q a4+a9=2a6.5，求d
  • 一个数列既成等差又成等比，则为常数列 公差为零