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《数学思维》
《数学思维》，以下厨为例，带你了解什么是数学思维，建议给孩子讲一讲，对学习数学有帮助
编辑于2023-06-08 21:38:42- 学习数学
- 数学思维
- 打开思路
- 《中华酒典》
《中华酒典》第四卷带你深入探索酒的千年文化，从酒与养生的奥秘到名酒鉴赏的艺术，从酒器的演变到酒的鉴别技巧，无不展现中华酒文化的博大精深。书中不仅收录了酒令大观、酒与文学的深厚渊源，还细述了名人与酒、酒吧文化的独特魅力。无论你是酒文化的爱好者，还是科学饮酒的实践者，都能在这里找到属于你的酒道。让我们一起品味酒的境界，感受酒的功能，领略酒的工艺，追溯酒的起源，体验酒的诱惑。
- 《鬼谷子》全文无标点版
游说之道，谈判之法，《鬼谷子》是战国时期纵横家鬼谷子及其门徒所著的一本军事著作。该书侧重于权谋策略及言谈辩论技巧。
- 《数学思维》
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- 《中华酒典》
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《数学思维》
前言
1. 凝脂奶油
1.1. 配料：奶油
1.2. 方法
1.2.1. 将奶油倒入电饭煲
1.2.2. 开关调至“保温”档，盖子微微打开，静置8小时。
1.2.3. 取出后在冰箱中冷藏约8小时
1.2.4. 用勺子将最上面的一层刮下来——这就是凝脂奶油。
2. 数学迷思
2.1. 数学是关于数字的科学
2.2. 数学是关于得出正确答案的科学
2.3. 数学是非对即错的科学
2.4. 你是数学家？那你一定非常聪明
2.5. 你究竟是怎么做数学研究的呢？你也不可能发现一个新的数字了啊！
数学
1. 什么是数学？ 数学就像食谱一样，包含配料和方法。
1.1. 无麸质巧克力布朗尼
1.1.1. 配料:115克黄油、125克黑巧克力、150克糖粉、80克土豆粉、2个中等大小的鸡蛋
1.1.2. 方法
将黄油和巧克力rong'hui'a融化，一起搅拌，然后冷却一会儿。
将加入糖的蛋液打发
缓缓将巧克力倒入蛋液中
倒入土豆粉
将混合液倒入单独的几个小号模具中，将烤箱温度调至180℃预热，然后倒入模具，烤大约十分钟（或者根据你喜欢的熟度调节时间）
1.2. 烹饪与数学
1.2.1. 烹饪
为什么烹饪？
决定想做什么，买原料，然后着手烹饪
看到一些不错的食材，想用它做饭
买了一个新厨具，于是想用这个厨具来做美食
学会一种新的烹饪方式，想用新方法尝试烹饪
烹饪书：根据菜品性质编写，有时单独讲某种配料的使用，有时专门介绍特殊场合的烹饪食谱，但很少会有专门介绍某样工具能做什么的食谱（工具生产商除外）
1.2.2. 数学
数学是由它的研究方法来定义的，而它的研究对象则是由那些研究方法决定的
1.3. 当风格影响内容的选择时
1.3.1. 用研究方法给数学分类与艺术流派的分类十分相似
1.3.2. 数学是运用逻辑规则，对所有符合逻辑规则的事物进行的研究。
1.4. 描述数学，需要用它是做什么的来描述
1.5. 数学的发展伴随两种过程
1.5.1. 抽象化
用逻辑梳理清楚本来没有逻辑存在的领域，换句话说，借助一种新的视角来看待原来不是数学的事物，从而将其变为数学
1.5.2. 广义化
如何用我们已经理解的事物来建构更复杂的事物，在数学领域，这就等同于用比较简单的数字、三角形和日常生活中的事物来构建多项式、矩阵、四维空间等
2. 抽象
2.1. 蛋黄酱或者荷兰酱
2.1.1. 配料：2个蛋黄、300毫升橄榄油、调味料
2.1.2. 方法
用手动打蛋器或者手持搅拌器搅拌蛋黄和调味料。
非常缓慢地滴入橄榄油，一边滴一边搅拌。如果是做荷兰酱，则需要用100克融化的黄油代替橄榄油
2.1.3. 蛋黄酱和荷兰酱的相似之处就是数学寻找的那类事物：一些大体相似，只是微小细节不同的事物。数学通过寻找除了微小细节外其他大体一致的事物来达成简化的目的。
2.2. 派 抽象作为蓝图
2.2.1. 农舍派、牧羊人派和渔夫派三者大同小异，唯一的不同就是土豆泥下面的馅料。
2.2.2. 数学致力于寻找事物的相似之处，关键在于要先忽略一些细节，让事物变得更容易理解，在之后，可以重新加入额外的变量，这就是抽象化的过程。
2.3. 杂乱的厨房 抽象就是收起你不需要的东西
2.3.1. 抽象就像是在准备烹饪时把暂时不需要的厨具和配料收起来，这样厨房就不会显得那么杂乱，抽象就是把你目前不需要的想法收起来，这样你的大脑就不会那么杂乱。
2.3.2. 抽象是数学研究的重要的第一步
2.4. 甜食 太真实的事物不遵循数学规律
2.5. 点兵点将 数字作为一种抽象形式
2.6. 婴儿和洗澡水 小心别扔掉太多
2.6.1. 在抽象的过程中，要避免过度简化，不能把所以研究对象简化到让他们失去了其所有有用的特性。
2.7. 心碎 抽象作为简化
2.7.1. “简单化”和“过度简化”有一个微妙的差别：后者意味着你想错了，而忽略了重要的问题
2.7.2. 抽象好像会带着你逐步原理现实，但实际上，它会带领你逐步贴近事物的本质或核心。要抵达核心你就必须剥离衣服、皮肉和骨头。
2.8. 路标 抽象作为对事物理想模式的研究
2.8.1. 数学的抽象化过程的弊端之一就是，你需要用到一大堆稀奇古怪的符号。
2.9. 地图 用地图指导现实的困难
2.9.1. 首先，你需要提炼现实
2.9.2. 然后，你需要在抽象的世界进行逻辑推理
2.9.3. 最后，你需要把这些抽象的东西再应用到现实中去
不同的人擅长这个过程中的不同步骤，整个过程最核心的部分，就是游刃有余的在抽象和现实之间穿梭，而要做到这一点，就必须先有人来画一张地图。
2.10. 跳高 抽象的跳高
2.10.1. 不同的人会在不同的“高度”达到自己的抽象极限，就像在跳高中，横杆每提高一次就会有一部分人失败退出。
2.10.2. 很多人在学习数学的过程中会遇到的瓶颈是微积分——一种全新的、奇怪的，甚至可以说是狡猾的运算和推理“无穷小”的事物的方法。
2.10.3. 抽象
从数字到图像
从数字到字母
从数字到关系
2.11. 下金蛋的鹅 制造解决问题的机器
2.11.1. 制作解决问题的机器的过程就是抽象
2.12. 切蛋糕 一个关于抽象的例子
2.12.1. 蛋糕最多能切几块
2.13. 抽象的数学
2.13.1. 抽象是理解数学的关键。抽象也是数学看起来远离“实际生活”的原因所在。
2.13.2. 范畴论
拓扑学
物理学
化学
医学
2.13.3. 抽像是理解为什么数学与普遍意义上的科学有所不同的关键
实证为基础的科学
提出假设
寻找符合科学标准的证据
样本体量要足够大
证据必须是经过变量控制的
证据必须是客观的、无偏见的。
得到的结果必须符合统计学标准
数学
提出假设
使用逻辑来严格检验假设
严格：与样本大小无关，因为数学研究并不涉及任何样本，而只关乎思考、推演的过程，主观感觉也不会影响这个过程，因为我们所做的只是应用逻辑规则而已。
逻辑推理代替实验的好处
实验可能不切实际
实验可能过于危险
实验可能无法实施
实验可能会引发灾难
实验可能是不道德的
子主题
2.14. 逻辑
2.14.1. 逻辑性论据包含一系列的主张，其中每一个判断都完全依据逻辑由上一个判断推导出来的
2.14.2. 如果我们做了这样的假设，那么由此假设推导出的这个结论就是正确的。
如果一只鸡够10个人吃，那么两只鸡就够20个人吃。
2.15. 运用抽象来计算
2.15.1. 从一个用文字描述的“实际生活”问题入手
2.15.2. 运用抽象的方式将这个问题转变为逻辑概念
2.15.3. 借助逻辑规则来处理这些抽象的概念
2.15.4. 取消抽象，将问题的答案放回到实际生活场景中。
3. 原理
3.1. 会议巧克力布丁
3.1.1. 配料：2个大鸡蛋、140克细白砂糖、140克自发粉、140克黄油（软化）、可可粉（用量随意）、大约7块巧克力
3.1.2. 方法
将黄油和细白砂糖一起搅拌成轻软的糊状
倒入鸡蛋后继续搅拌，然后倒入面粉
倒入可可粉直至面糊呈深棕色
将面糊倒入14个单独的硅胶模具中，先装一半满，然后放入半块巧克力，然后倒入更多的面糊
将烤箱温度设置为180℃，烤大约10分钟。考好后尽快吃掉
3.2. 如果你理解一个过程背后的原理，而不是只记住整个过程，你就能更有效的控制这个过程，一旦出现问题，你也可以有效的解决，并且可以更好地调节整个过程的部分环节，使“配方”适用于不同的目的，面对突发情况游刃有余。
3.3. 应对极端情况
3.3.1. 理解方法背后的原理能帮你在不搞砸整个过程的前提下走捷径
3.3.2. 理解就是力量，如果你帮某个人更好的理解了某样东西，你就赋予了他更多的力量。
3.4. 为了理解各种原理，要大胆的进行尝试
3.5. 学习事物背后的运作原理的目的之一就是要理解到底是什么使得他能够正常运作，如此一来你才可能知道，当你前往一个遥远的地方，发现其地理条件与之前截然不同时，它是否能正常运作。
3.6. 数字的原则
3.6.1. 数字可以相加
3.6.2. 数字可以相减，但结果可能为负
3.6.3. 数字可以相乘
3.6.4. 数字可以相除，但结果可能是小数
3.6.5. 如果我们给一个数字加上0，则它保持不变
3.6.6. 如果我们将数字乘以1，则它保持不变
3.6.7. 不能用数字除以0
3.6.8. 给一个数字加上另一个数字x，又减掉这个数字x，你会得到原来的数字
3.6.9. 让一个数字乘以另一个数字x，又除以这个数字x，你会得到原来的数字
3.6.10. 几个数字相加的时候，交换它们的位置对结果没有影响
3.6.11. 几个数字相乘的时候，交换它们的位置对结果没有影响。如果你把+、-、*、/四种运算混合在一起进行计算，则交换数字位置会使结果发生变化
3.6.12. 用0乘以任何数字都会得到0
3.6.13. 用-1乘以任何数字，都会得到原来那个数的相反数
3.6.14. “负负得正”
3.6.15. 把同样的数相加几次就等于把这个数乘以几。
4. 过程
4.1. 千层酥
4.1.1. 配料：450克高筋面粉、450克黄油、冷水、盐少许
4.1.2. 方法：......
4.2. 数学的魅力之一就在于，相做甜点一样，你可以用很简单的配料做出很复杂的成品；数学不只是关于结果，它更多地是关于理解得出结果的过程
4.3. 马拉松 并不是关于从A地到B地
4.3.1. 意义更多地在于过程本身，而不只在于抵达终点
4.4. 口袋里的钱还在吗？ 并不只是关于结果
4.4.1. 口袋里的钱无论在不在，在数学里这个答案都会被认为是一个错误答案，因为我们感兴趣的是得到正确答案的过程，而非正确答案本身。
4.5. 欺骗 手段大于结果
4.5.1. 在数学中，我们永远不能为了结果而不择手段。我们必须选择正确的方法来证明某个命题的正确性，这也是数学方法存在的根本原因
4.6. 积非成是 为什么数学并不只是关于得到正确答案
4.6.1. 在数学科学中，除了算数和其他你在中学能学到的数学知识以外，对其他所有的数学分支来说，你能肯定你的答案是正确的唯一方法就是确保你的推理过程是正确的。
4.7. 为什么？为什么？为什么？ 为什么孩子们有他们的理由
4.7.1. 数学的核心就是理解事物，而不仅仅是知道它们，对数学本身提出“为什么”，这就是范畴论开始的地方。
4.8. 数学证明
4.8.1. 除了逻辑规则，数学几乎不假定任何事实是基本的或者既定的——它总是在寻求更深层次的解释。
5. 推广
5.1. 橄榄油李子蛋糕
5.1.1. 配料：2~4个李子、1个鸡蛋、100克磨碎的杏仁、75克龙舌兰糖浆或枫糖浆、75毫升橄榄油
5.1.2. 方法
李子切薄片，将切片切口朝下一片接一片整齐摆在铺好烘焙纸的蛋糕模具里
把剩下的配料搅拌在一起，轻轻倒在李子切片上面
将烤箱温度设定为180℃，烤20分钟，或烤至蛋糕定形且呈金黄色
将烤制好的蛋糕从模具中倒扣出来，这样李子切片就在蛋糕的表面了
5.2. 推广：你从一个你熟悉的情景出发，对其稍加改动，使其可以应用于更多的其他情景
5.3. 无面粉巧克力蛋糕 通过省略来创造
5.3.1. 反证法：做与待证明结论相反的事，然后证明在这种情况下你会得到完全错误的结果，于是得出待证明结论是正确待恶这一判断。
5.4. 平行线 欧几里
5.4.1. 经过任意相异两点有且只有一条直线
5.4.2. 将一条线段延长为无限长有且只有一种方法
5.4.3. 对于确定的圆心和半径有且只有一个圆
5.4.4. 所有的直角都相等
5.4.5. 只要足够长，任意三条直线总会构成一个三角形，除非它们彼此垂直。（平行公设）
5.5. 出租车 对“距离”概念的推广
5.5.1. 行驶距离
水平距离+垂直距离
5.5.2. 直线距离
5.6. 火车票 对“距离”概念的继续推广
5.6.1. 直达距离
5.6.2. 转乘距离
5.7. 网络约会 对“距离”概念的进一步推广
5.7.1. 卫星计算距离
5.8. 三维的笔 通过增加维度来推广
5.9. 甜甜圈 关于圆的不同推广
5.10. 概括性陈诉 另一种推广方式
5.10.1. 英国总是下雨
5.10.2. 火车从不准时
5.10.3. 看歌剧很贵
5.10.4. 你总是那么说
5.11. 甜甜圈和咖啡杯 拓扑学入门
5.11.1. 从拓扑学的角度讲，甜甜圈和咖啡杯是一样的
6. 内在和外在
6.1. 巧克力梅干面包奶油布丁
6.1.1. 配料：250克陈面包、350克切碎的梅子干、100克黑巧克力、2个鸡蛋、白砂糖及黑砂糖共75克、50克融化的黄油、300毫升牛奶
6.1.2. 方法
面包掰成小块。如果有面包皮，请将面包皮切掉放入食品料理机中做成面包糠
搅拌蛋和糖
将黑巧克力放入牛奶里轻轻搅拌至融化，然后将混合液倒入蛋液中
将步骤3中的液体倒在大碗中的面包块和mei梅干碎上面，浸泡几个小时。
倒入融化的黄油
将烤箱温度设置为180℃，在8英寸蛋糕模具上垫上烘焙纸，倒入混合物，烤制约45分钟，或直到混合物变成固体，且顶部形成酥皮
趁热加入巧克力酱或巧克力冰激凌，然后尽快享用
6.2. 动机 创新的原动力
6.2.1. 内在动机 没有既定目标，顺其自然
6.2.2. 外在动机 有既定目标，朝着实现目标努力
6.3. 举例
6.3.1. 烹饪
知道自己要吃什么
按照特定菜谱制作属于外在动机
在既定菜谱的基础上创新，以至于过程不确定结果可能失败，属于内在动机
如果成功做出计划的东西，则内在动机和外在动机完美统一
不知道自己要吃什么
根据现有食材烹饪，结果不定，属于内在动机
6.3.2. 旅游
看着地图走
往往盯着目标，
受外在动机的驱使
学校的数学学习都是由外在动机驱使的
跟着感觉走
受内在动机的驱使
有明确的目的地
如果最终能达到则是内在动机与外在动机的完美统一
漫无目的的行走
受内在动机的驱使
可以看到平时看不到的风景
6.3.3. 丛林 创造和发现
外在动机的驱使下，会让我们达成某个目的实现创造
2+2=1
当一个钟只有三小时的时候
6.3.4. 拼图 直接拼图、先看完图
直接拼图
拼图的过程是内在动机在驱动
过程是一个充满创造性的过程
先看完图
拼图的过程是外在动机在驱动
以目标为导向
6.3.5. 马拉松 锻炼身体、为比赛而训练
锻炼身体
是内在动机在驱动
内在动机绝不是减肥之类的目标
内在动机是对马拉松这个过程的享受
为比赛而训练
是外在动机在驱动
外在动机会让我们去有针对性的计划一件事情
受外在动机驱使的实用主义数学，与完全出于内在动机的数学研究合二为一，就会找到一条有意义又有趣的终点的道路，数学的创新源于内在动机和外在动机。
7. 公理化
7.1. 徍发蛋糕
7.1.1. 配料：扁圆形的原味小蛋糕、橘子酱、融化的巧克力
7.1.2. 方法
在每个小蛋糕上放上一团橘子酱
用小勺薄涂一层巧克力在橘子酱和蛋糕上
放进冰箱
7.2. 公理
7.2.1. 公理就是我们在某种特定情境下所认可的基本事实
是数学研究中的基本配料
一定程度上它不可能再简化了
7.3. 姜汁蛋糕
7.3.1. 你的厨房有现车的配料吗？
7.4. 乐高积木（公理化的定义） 用同样的积木来造不同的东西
7.4.1. 你拥有
一堆积木
某些把积木组合起来的方式
7.4.2. 你可以
先从积木着手，看看能用它们拼装什么东西
先从你想拼装的东西着手，看看你需要什么积木来拼装它
这与内在动机驱动和外在动机驱动有关，公理化就是由外在动机驱动、处理整个数学体系乃至数学世界的一套方法。
7.5. 公理化的作用
7.5.1. 医生和护士足球赛
设置严谨的负责以确保无漏洞可钻
有女士的球队直接加一分，女士足够多就守门就好
在数学里，我们研究的对象只遵从逻辑规则
7.5.2. 公平与否
严谨的规则可能导致奇怪的结果
7.5.3. 跳高
用严谨的规则来去除人为的偏见
我们的目的是清晰、准确地认识事物的某些方面
7.5.4. 切蛋糕
贯彻严谨的原则来避免含糊不清
相对公平
绝对公平
7.5.5. 为什么？为什么？为什么？
严谨的逻辑规则从哪里来
7.5.6. 正确的规则错误的积木
对于已有合理认知的打破
就像“地球是平的”理所当然
7.5.7. 正确的积木错误的规则
对合理现实的错误解读
小概率事件就是不会发生
7.5.8. 国际象棋
简单德规则和复杂的游戏
制定游戏规则或者给一个系统设定公理的成就感在于你可以看到如此少的规则或公理就能创造出一个非常复杂的游戏
7.5.9. 范畴论看起来很难理解
你也许不熟悉或者不关心你希望弄明白的那些问题。如果研究数学更多的是受外在动机而非内在动机驱使的话，这就是一个很大的障碍。
范畴论用到的假设很少，所以你可能需要非常努力才能从有限的假设推导出更多的东西。这有点像拼一个拼图碎片被切割得很小的拼图，或者从零开始配置原料而非用现成的蛋糕粉烘焙蛋糕。
8. 数学是什么
8.1. 蛋奶糊
8.1.1. 原料：6个蛋黄、50克白砂糖、1品脱浓奶油。淡奶油或牛奶（依据个人喜好决定）
8.1.2. 方法
打发蛋黄和白砂糖，直到混合液体变得浓稠、顺滑，呈白色。如果你在打发的过程中认真观察的话，你就会发现它的颜色和浓稠度发生了显著的变化，就像发生了某种化学反应一样。
加热牛奶或奶油直到锅边出现泡泡。慢慢dao倒入打发的蛋黄和白砂糖混合液中，轻轻搅拌。
快速洗净平底锅，把步骤2中的液体倒入锅内。用小火加热，并持续不断地搅拌。当汁液浓稠到能够附着在勺子背面，蛋奶糊就做好了。
8.2. 数学实际上很简单，其道理就像蛋奶糊很复杂一样
8.3. 数学是逻辑性的，而生活是非逻辑性的，所以数学简单而生活复杂
8.3.1. 生活是这样，仅仅是因为我们的逻辑思维能力还没有强大到能够理解生活的全部。
8.3.2. 我们永远不可能只凭理性来解释一切，而这正是人类存在本身必要而美好的一部分
8.4. 数学是简单的 数学是应用逻辑规则，对所有符合逻辑规则的事物进行研究
8.4.1. 数学的2个广义用途
提供一种概念进行进准描述的语言和一个清晰阐述这些概念的论证的系统
对概念进行理想化处理，着重探讨不同概念的相似部分，从而使得对不同概念的同时比较和研究成为可能。
8.4.2. 3种复杂情况是数学可以处理的
仅仅依靠我们直觉不足以得出结论
包含太多模棱两可的部分，以至无法做出判断
太短时间内有太多要处理的问题
这时候数学帮助我们
建立和理解就一般直觉而言太难理解的论证
它能够去除模糊不清之处，让我们可以准确的知道我们所讨论的究竟是什么
帮助我们寻找捷径，同时回答很多的问题，因为它证明了这些问题其实都是同一个问题
8.4.3. 忽略复杂的细节
8.4.4. 数学简单，为什么学起来难？
没有人告诉你数学是干嘛的
没有兴趣解答数学试图简化的问题
8.4.5. 终极理性
8.4.6. 逻辑的背景
8.4.7. 生活是复杂的
理性（逻辑）
太慢
太循规蹈矩
太死板
太弱小
太强大
富士悖论
意外绞刑
没有起点
数学是简单的，生活是复杂的，因此数学不是生活
范畴论
1. 范畴论是什么？
1.1. 数学
1.1.1. 纯数学
它是应用数学背后的理论
1.1.2. 应用数学
应用数学相比较而言更接近实际生活
应用数学更像是给生活中的实际问题建模
可以被看做是实际生活问题背后的理论
1.2. 乐高和应用乐高
1.2.1. 纯数学就像只用最基础的乐高积木从零开始搭建一切
1.2.2. 应用数学则更像使用特制的积木不见来搭建特定的模型
1.3. 乐高乐高 用物体本身来搭建物体
1.3.1. 范畴论 准确地理解数学的哪些部分是简单的，并努力让数学越来越多的部分变得简单的过程
是数学的数学，是一种“元数学”
数学之于世界就像范畴论之于数学
范畴论与逻辑密切相关
逻辑研究的是把数学概念结合起来的推理，范畴学研究的是支撑数学这门科学的基本框架
2. 情景
2.1. 意式千层面
2.1.1. 原料：波隆那肉酱、千层面面皮、意式白酱、磨碎的帕玛森奶酪
2.1.2. 方法
在浅烤盘上抹一层波隆那肉酱。在肉酱上铺一层千层面面皮，然后再抹一层意式白酱
将步骤1重复两遍，确保最后的步骤是抹一层意式白酱
在最上面撒一层磨碎的帕玛森奶酪，将烤箱的温度设定为180℃，烤制45分钟，或直到它看起来已经十分美味即可。
2.2. 在一个不涉及其他人的情景中孤立地 研究一个人的性格几乎是不可能的
2.3. 范畴论强调作为研究对象的事物所处的具体情景，而非只研究事物本身的特性
2.4. 将人置于不同的情景中
2.4.1. 通过将人置于不同的情景来认识人
2.5. 范畴论强调的是，在讨论一个问题时，你需要注意这个问题所处的情景，这一定非常重要。
2.6. 在不同的情境下，事物会呈现完全不同的样貌
2.7. 数学里也存在着一些类似的概念，它们在某些情景中平淡无奇，而在另外一些情景中则非常激动人心。
2.8. 范畴论重视事物间的关系胜于事物本身固有特性。
2.9. 范畴论是通过筛选出事物之间我们正在感兴趣的那些关系并强调这些关系来实现其研究目的的。
3. 关系
3.1. 粥
3.1.1. 原料：1杯燕麦、2杯水、适量的盐
3.1.2. 方法
把所有原料放入锅内，大火煮沸。
调至小火，持续搅拌，直到你觉得煮好了。
3.2. 食谱强调原料用量之间的关系，而不是它们各自的用量，这是范畴论关注的问题
3.3. 性别平等 当等于不是相等时
3.4. 用一个特别的人来丈量所有关系
3.5. 用图像的方式强调关系
3.6. 朋友 双向关系还是单向关系
3.6.1. 等价关系
自反性：也就是每个事物都与它们自己相关联
对称性：如果A与B相关联，那么B也与A相关联
传递性：如果A与B相关联，并且B与C相关联，那么A与C相关联
3.7. 整理还是不整理 知道什么时候应该让事物顺其自然
3.8. 单行道 在一张地图上表示不同类型的道路
3.9. 范畴论遵循
3.9.1. 传递性
3.9.2. 自反性
4. 结构
4.1. 火焰冰激凌
4.1.1. 原料：1个8英寸的扁圆形海绵蛋糕、200克树莓、1品脱香草冰激凌、4个鸡蛋的蛋白、175克白砂糖
4.1.2. 方法
将白砂糖倒入蛋白液搅拌至蛋白液凝固。
将蛋糕放在烤盘中，把树莓堆在蛋糕表面，在中心处预留出足够的位置。再将冰激凌倒在树莓之上，砌成圆顶状，将蛋糕表面最外围一圈的位置预留出来。
把凝固的蛋白液倒在冰激凌上面，注意确保中间不留空隙，并用蛋白液填满蛋糕表面最外围一圈的空白处。
在预热至220℃的烤箱内烤至蛋糕的蛋白糖霜变成棕色。趁热食用。
4.2. 链接内在动机和外在动机
4.2.1. 结构是一件事物剥离复杂的过程和内容后剩下的东西
4.3. 建筑的结构性部分是什么样子
4.3.1. 所有建筑的结构性部分大同小异，在此基础上可根据需求装修
4.4. 一种结构的三种版本
4.4.1. 在同一个地方可以使用多种结构，以实现不同的功能和作用
4.4.2. 内在动机和外在动机是有差别的，并且它们之间存在一个支撑性的结构用于连接二者
4.4.3. 如果一个人想到了一个不错的主意，那么实现它或者证明它的办法在之后总会被发现
4.4.4. 在最终抵达伟大的成功之前，一个人可能会经历巨大的失败
4.5. 使一张光盘成为光盘的关键要素
4.5.1. 如果去掉某些部分的要素，这个部分会出现什么问题？
4.6. 精打细算
4.6.1. 如果你有很多钱，多到花不完，你永远不必弄明白任何事物背后运行的原理，你可以花钱找会的人来完成
4.6.2. 如果你只是一个普通人，你就必须在意这些事情背后的原理，以免入不敷出
4.6.3. 即使你不是一个习惯勤俭节约的人，弄清楚自己在什么地方花了钱也是一件好事，因为这样一来，在必要的时候，你可以很快做出调整。
4.7. 剥去其他后最后剩下的那部分
5. 相同
5.1. 生巧克力曲奇
5.1.1. 原料：100克无糖杏干、50克去核的枣、60克磨碎的杏仁、100克玉米淀粉、90克生可可粉、60克生可可脂、15克椰子油
5.1.2. 方法
慢慢地将可可脂和椰子油融化
把所有原料扔进搅拌机，直到混合物看起来像是做曲奇的面团时再停止
把面团放在撒了可可粉的烤盘纸上压平，然后擀得尽可能薄。
将面皮切成棋盘状，放入冰箱直到固定成型。
5.2. 范畴论研究的一个重要目的就是要准确描述有细微差别的“相同”
5.2.1. 实际上没有很多事物是真正严格意义上相等的——你只能跟你自己相等
5.2.2. 但是，还是有一些事物在某些特定的情景下可以被认为是差不多相等的
5.3. 数量不同，质量相同
5.4. 范畴论通过研究事物之间的关系来研究具体情境中的事物，这种做法的目的之一是准确界定哪些事物在某些情境下可以被视为“相同”。
5.5. 牺牲某些相同以换取更大利益
5.6. 小的不同被错误积累成大的不同
5.7. 用不同的方式组合事物带来不同结果
6. 泛性质
6.1. 水果奶酥
6.1.1. 原料：50克冷的黄油、50克糖（黑砂糖比较好）、75克面粉、350克你喜欢的水果，将所有水果切成小块
6.1.2. 方法
将面粉和糖倒入碗中搅拌
将黄油切成小块，放入上面的碗中，用手指将黄油块和碗中的混合物均匀搅拌，直到混合物变成类似面包糠的样子
把水果碎平铺上厚厚一层奶酥预拌粉（步骤2中的混合物）
将烤箱温度设定为180℃，烤25~30分钟，直到成品呈棕色，看起来很好吃的样子
6.2. 研究事物在特定情境中所扮演的角色是范畴论的专长，因为范畴论一直在强调情景和事物间的关系
6.3. 泛性质研究的一个重要方面是找到一个能独一无二地定义某物的特点
6.4. 北极，南极
6.4.1. 关于极端情形
6.5. 通过迁移到别处而成为极端情形
6.6. 当最高级成为一种负担
6.6.1. 对数学里的很多事物来说，我们都需要在“最大”和“最实用”中进行权衡
6.7. 极简主义帮助我们看清楚什么是什么
7. 范畴论是什么
7.1. 变困难的数学为简单德数学
7.2. 人们 通常认为数学是非黑即白的。这种说法是不对的——即便一个数学陈述是对的，它 也可能是好的或是坏的，有启发性的或是无启发性的，有用的或是没用的，等等。
7.3. 数学一直在稳步前进着，而哲学仍在它从一开始就遇到的问题那里困惑不解，徘徊不前，
7.4. 真理
7.4.1. 相信
理解
知道
7.4.2. 理解
相信
知道
7.4.3. 知道
相信
理解
相信、理解、知道
7.5. 证明与启发
7.5.1. 证明具有社会学层面的意义，而启发则更多地针对个人发挥作用。
7.5.2. 证明是用来说服整个社会的，而启发是用来说服我们的
7.5.3. 启发很难界定
7.5.4. 不同的人对于什么事物富有启发性有不同的看法
7.6. 在某种意义上，数学就像一种情绪，无法用语言精准描述——它发生在个体的内部
数学思维，就是忽略掉所有问题的非关键部分，集中精力对付关键问题，以达到简化问题的作用。