第二章有理数及其运算（新鲁教及北师版—董向东制作）

这是一篇关于第二章有理数及其运算（新鲁教及北师版—董向东制作）的思维导图，包括从小学算数说起、认识有理数、相反数、绝对值、数轴、有理数的加减运算、有理数的乘除运算、有理数的乘方、近似数、有理数的混合运算、用计算器进行计算以及单元反思等。

第二章 有理数及其运算 （新鲁教及北师版—董向东制作）

• 2.1从小学算数说起
  • 数位统一、十进制
  • 运算顺序、运算律、逆用分配律
  • 其他经验和技巧
• 自然数的四则运算 还是自然数吗？
  • 负数的意义
    • 小于0
    • 表示相反意义
  • 试讲一个2-3的故事
• 2.2.1认识有理数
  • 体会负数
    • 数域扩展
    • 基本训练：实际生活中负数的意义
      • 小于0或仅表示方向，进出等
  • 核心概念：有理数
    • 内涵：
      • （1）整数、分数
        • 辨析小数：有限小数、无限循环小数、无限不循环小数
      • （2）按大小三类分
    • 外延：构造的无限不循环、与π有关
  • 重点题型：有理数的分类
• 2.2.2数轴
  • 内涵：规定了三要素的直线
  • 外延：各类错误
  • 数轴上点和数的区别与联系
    • 基本题型：在数轴上表示点
  • 功能：数的顺序
    • 表示数的大小（三类之间与同类之间）
  • 数的比较
• 2.2.3绝对值
  • 内涵：到原点距离
    • 三类数的绝对值
      • 三类数绝对值的符号
      • 三分法和二分法
  • 外延：
    • 绝对值的双值性
    • 重点题型：绝对值的化简
      • 特殊值法与抽象计算结果法
    • 重点题型：两个绝对值的和等于0
• 2.2.3相反数
  • 内涵：原点或两侧，距离相等
    • （1）a的相反数是-a
      • -a是负数吗？
    • （2）a+b=0
  • 外延：
    • -（-a）
    • -(a-b)=?
      • a+b的相反数是？
  • 重点题型：两个负数比较
• 2.3有理数的加减运算
  • 2.3.1有理数的加法
    • 从表示相反意义的量角度出发
      • 意义解释
      • 直观解释
    • 借助数轴兼顾意义解释合情推理
      • 分类给出结果并给出一般性解释
        • 同号、异号、0
        • 异号两数相加
    • 加法运算训练
      • 两步思维：先符号后绝对值
      • 两种情况：绝对值相加或相减
      • 多个数相加：
        • （1）两两相加用法则 （2）交换律、结合律
          • ①先相反数相加；②共性易算相加； ③再同号相加。
      • 多个相差无几的较大数的和=标准数×个数+与标准差距的和
  • 2.3.2有理数的减法
    • 减法法则
• 2.4有理数的乘除运算
  • 2.4.1有理数的乘法
    • 理解乘法的意义：回归加法
      • 分类概括
        • 3×5
        • 3×（-5）
        • （-3）×（-5）
        • 乘数有0
  • 2.4.2有理数的除法
    • 除法向乘法的回归
      • 倒数
        • ab=1，ab同号
      • 除法法则
        • 内涵：同号得正、异号得负
        • 外延：没有分配律
• 2.5有理数的乘方
  • 细胞的分裂
    • 一分二，也可以拓展为一分三
  • 回归乘法
  • 理解乘方运算及各部分名称
  • 内涵：底数为乘数，指数为重复次数
  • 外延：区分-2的4次方与（-2）的4次方； 区分分数的乘法与分子乘方的不同
    • -1偶次方与奇数次方的意义与价值
      • 对数字规律的表示
    • （ab）的n次方与a、b各自n次方的积
    • （a/b）的n次方与a、b各自n次方的商
      • 不同底数（互为倒数）大指数（两者相同或相近）运算的简便
  • 功能：表示数——科学计数法
    • 针对绝对值大于10的数
    • 。n为整数位数少1
• 2.6有理数的混合运算
  • 先乘方再乘除后加减
  • 有括号先算括号里
  • 运算律、运算技巧
    • 按三级运算的顺序
    • 乘方区分底数
    • 每一级运算都明确思路
      • 先符号再绝对值
  • “24”游戏
    • 一般只允许四则运算 个别规定可用乘方
  • 有规律的乘方和的累加
    • 用面积为1的正方形来理解
• 2.7近似数
  • 数的运算中对精确度的追求和理解
  • 生活中存在更多的近似数
  • 理解近似数的数位差距：2与2.0
  • 指出数字的精确度
    • 常态数：最后一个数字的数位
    • 科学计数法：看最后一个数字的数位
  • 按要求对一个数进行近似
    • 常态数：四舍五入保留到要求的数位
      • 当去掉整数位的时候用科学计数法表示
    • 科学计数法：对a中数据按原数位保留
• 2.8用计算器进行计算
  • 前面计算只选择了一些常规简单数 此实现了任意有理数的有关计算
  • 可以通过计算器寻找一些计算的规律
  • 程序化思维
    • 重点题目：输入数字到指令框中， 根据指令进行计算。有的需要多次循环。
• 单元反思
  • 数的扩充带来概念的理解和计算的训练
  • 有理数的部分概念
    • 相反数
    • 绝对值
  • 有理数的运算
    • 加减乘除、乘方
    • 算理与运算能力
      • 运算律与部分技巧
  • 大数的表示
  • 对生活中近似数的理解