线性代数思维导图

线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。

线性代数

• 行列式
  • 概念
    • 逆序
      • 一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前就称这两个数构成一个逆序
    • 逆序数
      • 一个排列的逆序总数成为这个排列的逆序数。用τ表示
        • eg. a12 a24 a33 a41 τ（2431）=1+2+1=4
    • 偶排列
      • 一个排列的逆序数是偶数
        • 偶排列取正号
    • 奇排列
      • 一个排列的逆序数是奇数
        • 奇排列取负号
          • eg. a13 a25 a31 a42 a54 τ（35124）= 2+3+0+0=5 —— 奇排列 （在行列式中）取负号
  • 行列式性质
    • 性质1 经过转置行列式的值不变，ⅠATⅠ=ⅠAⅠ
    • 性质2 两行或两列互换位置列列式的值变号
      • 若两行或两列相同，则行列式的值为零
    • 性质3 某行或某列如有公因子k，则可把k提出行列式记号外
      • 某行或某列的元素全为0，行列式的值为0
      • 若两行或两列的元素对应成比例，则行列式的值为0
    • 性质4 如果行列式某行或某列是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和
      • 
    • 性质5 如果把某行或某列的k倍加到另一行或另一列行列式的值不变
  • 展开公式
    • 余子式 ——Mij
      • 在n阶行列式中划去aij所在的第i行、第j列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成一个n-1阶的行列式——Mij
    • 代数余子式 ——Aij
      • Aij=（-1）的i+j次方 Mij
    • 定理 1.1 n阶行列式等于它的任何一行或任何一列元素与其对应的代数余子式乘积之和
      • ⅠAⅠ=ai1 Ai1+ ai2 Ai2+……+ ain Ain
    • 定理1.2 行列式的任一行或列的元素与另一行或另一列元素的代数余子式乘积之和为0
      • ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn=0
    • 特殊情况
      • 1. 上（下）三角形 主对角线
        • 
      • 2. 上（下）三角形 副对角线
        • 
      • 3. 拉普拉斯
        • A和B分别是m阶和n阶矩阵
          • 
          • 
      • 4. 范德蒙行列式
        • 
      • 5. 爪型行列式
        • 把每一行都加到第一行
        • 把第一行的-1倍分别加到其他各行
        • 若是四阶行列式，先把第三行的-1倍加到第四行，然后把第二行的-1倍加到第三行，再把第一行的-1倍加到第二行
  • 克拉默法则
    • 非齐次线性方程
      • 方程组的系数行列式ⅠAⅠ≠0
        • 方程组有唯一解
      • 线性表出
    • 齐次线性方程组
      • 方程组的系数行列式ⅠAⅠ≠0
        • 有唯一零解
      • 方程组的系数行列式ⅠAⅠ＝0
        • 有非零解
      • 相关无关
• 矩阵
  • 概念及运算
    • 概念
      • 零矩阵
      • 单位矩阵
        • AE＝A
      • 对角矩阵
        • 
        • 
        • 
    • 运算
      • 加法
        • A和B是同型矩阵，可以相加
          • A+B=aij+bij——对应位置的数字直接相加
      • 数量乘法（数乘）
        • kA=kaij——k和矩阵中的每一个数相乘
      • 乘法
        • A的列数＝B的行数，可以相乘
          • 注意
            • AB≠BA
            • AB≠0不能→A≠0或B≠0
            • AB=AC且A≠0 不能→ B=C
      • αβT，βαT，αTβ，βTα ——αβ都是n维列向量
        • 列在前，行在后，得到矩阵——αβT，βαT
        • 行在前，列在后，得到数——αTβ，βTα
        • 得到的数为矩阵的内积
          • βTα得到的是矩阵αβT的内积
          • αTβ得到的是矩阵βαT的内积
          • αTα是α本身的内积，即平方和
        • 矩阵的内积是矩阵主对角线元素的和
      • 矩阵多项式
        • 
      • 运算法则
        • 加法
          • 
        • 数乘矩阵
          • 
        • 乘法
          • 
        • 转置
          • 
      • 常见的矩阵
        • 单位矩阵E
        • 数量阵
          • k与单位阵E的积kE称为数量阵
        • 对角阵
          • 非对角元素都是零的矩阵 记∧
        • 上（下）三角阵
        • 对称阵
          • AT=A
          • 即aij=aji
        • 反对称阵
          • AT=-A
            • aij=-aji
            • aii=0
  • 伴随矩阵、可逆矩阵
    • 伴随矩阵
      • 概念：由矩阵A的行列式ⅠAⅠ所有的代数余子式所构成的矩阵
      • 公式
        • 
      • 二阶矩阵的伴随矩阵——主互换，负变号
        • 
    • 可逆矩阵
      • 概念：A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B使得AB=BA=E（单位矩阵）成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵
      • 定理
        • 2.1 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
        • 2.2 A可逆⇔ⅠAⅠ≠0
        • 2.3 设A和B是n阶矩阵且AB=E，则BA=E
      • n阶矩阵A可逆的充要条件
        • 存在n阶矩阵B，使AB=E(或BA=E)
        • ⅠAⅠ≠0
        • r(A)=n
        • A的列（行）向量线性无关
        • 齐次方程组Ax=0只有零解
        • 任意b，非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解
        • 矩阵A的特征值全不为0
      • 运算性质
        • 
        • 
          • 
        • 
        • 
          • 即若A可逆，则AT也可逆
        • 
          • 如果A可逆，则A^（-1）也可逆
        • 
        • 
      • 求逆矩阵
        • 
        • 
        • 
        • 
          • 
          • 
          • 主只逆 副换逆
  • 初等变换、初等矩阵
    • 初等变换
      • 概念 A是m×n矩阵
        • 1. 用某个非零常数k（k≠0）乘A的某行（列）的每个元素——倍乘
        • 2. 互换A的某两行（列）的位置——互换
        • 将A的某行（列）元素的k倍加到另一行（列）——倍加
        • 统称为初等变换
    • 初等矩阵
      • 概念
        • 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
      • 分类
        • 倍乘初等矩阵——E(i(k))
          • E(2(k))——表示由单位阵E的第二行（或第二列）乘k倍得到的矩阵
        • 互换初等矩阵——E(i,j)
          • E(1，2)——表示由单位阵E的第一，二行（或一，二列）互换得到的矩阵
        • 倍加初等矩阵——E(ij(k))
          • E(13(k))
            • 表示由单位阵E的第一行的k倍加到第三行得到的矩阵
            • 列变换——表示E的第三列的k倍加到第一列得到的矩阵
      • 初等矩阵的逆矩阵
        • 倍加初等矩阵的逆矩阵
          • 把倍数换成相反数
            • 
        • 互换初等矩阵的逆矩阵
          • 本身
        • 倍乘初等矩阵的逆矩阵
          • 取倒数（对角矩阵的逆矩阵）
            • 
      • 定理
        • 初等矩阵P左乘矩阵A，其乘积PA就是矩阵A做一次与P同样的行变换
        • 初等矩阵P右乘矩阵A，其乘积AP就是矩阵A做一次与P同样的列变换
        • 补充：P1P2A表示A矩阵先做P2的行变换，在做P1的行变换
        • 左乘P在左 右乘P在右 左行右列
    • 初等矩阵与初等变换的性质
      • 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
      • 初等矩阵均是可逆矩阵，其逆矩阵仍是初等矩阵
      • 初等矩阵定理——左行右列
    • 等价矩阵
      • 
        • A和B等价⇔ r(A)=r(B)
    • 行阶梯矩阵
      • 如果矩阵中有零行（即这一行元素全是0），则零行在矩阵的底部
      • 每个非零行的主元（即该行最左边的第1个非零元），他们的列指标随着行指标的递增而严格增大
    • 行最简矩阵
      • 一个行阶梯矩阵如果还满足：非零行的主元都是1，且主元所在的列的其他元素都是0
  • 分块矩阵
    • 基本方法
      • 
    • 运算
      • 
      • 
      • 
  • 方阵的行列式
    • 公式
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
• 向量
  • 概念
    • n个数组成的有序数组称为n维向量
    • 若干个同维数（n相同）的行向量或列向量组成的集合叫做向量组
    • 延伸组、缩短组
      • 
    • 部分组、整体组
      • 
    • 向量的运算
      • 加法——α+β=（a1+b1, a2+b2, ……, an+bn）
      • 数乘——kα=（ka1 , ka2, ……kan）
  • 线性相关、线性表出
    • 线性表出
      • 即β＝k1a1+k2a2+……+kmam 则称β能由a1, a2,……, am线性表出
    • 线性相关
      • 对m和n维向量a1, a2, ……, am，若存在不全为零的数k1, k2, ……, km，使得k1a1+k2a2+……+kmam=0成立，则称向量组a1, a2, ……, am线性相关，否则称它们为线性无关。
      • ⇔有非零解⇔ⅠAⅠ=0 （克拉默法则）
        • 线性相关⇔ⅠABⅠ=0⇔ⅠAⅠ ⅠBⅠ=0⇔ ⅠAⅠ=0 或 ⅠBⅠ=0
    • 线性无关
      • 向量组a1=（1，0，……，0），a2=（0，1，0，……，0），……，a3=（0，0，0，……，1）线性无关
      • 单个向量是非零向量，是线性无关的 看不懂？
      • 两个向量不成比例时，是线性无关的
      • （n个向量但不是n维时）a1，a2，……，as线性无关 ⇔r（a1，a2，……，as）=s 秩的数＝ 向量的个数 ⇔ 方程组x1a1+ x2a2 + x3a3 + …… +xsas=0 只有零解
      • n个n维向量线性无关⇔行列式≠0
      • a1, a2, a3, ……, an 线性无关 ⇔ a1, a2, a3, ……, an可以表示任意一个n维向量
    • 定理
      • 3.1 向量β可由a1, a2,……, am线性表出
        • ⇔ ⺕ 实数k1, k2, ……, km使得k1a1+k2a2+……+kmam=β
        • 
        • ⇔ 秩r(a1, a2, ……, am) = r(a1, a2,……, am, β)
      • 3.2 向量组a1, a2,……, am（aj=(a1j, a2j,……, amj)T， j=1，2，……，m）线性相关 ⇔以aj为列向量的齐次线性方程组有 非零解 即行列式＝0
        • 
      • 3.3
        •  部分组相关，整体组相关 整体组无关，部分组无关 不想整，政务部
      • 3.4
        • 缩短无关，延伸无关 延伸相关，缩短相关 缩无延，延相缩
      • 3.5 向量组a1, a2,……, as（s≥2）线性相关⇔至少有一个向量ai可以由其余向量线性表出
      • 3.6 若向量组a1, a2,……, as线性无关，而向量组a1, a2,……, as, β线性相关，则β可以由a1, a2,……, as线性表出，且表出法唯一
      • 推 若a4不能由a1, a2, a3线性表出，则a1, a2, a3线性相关
      • 3.6 推 若β可以由a1, a2, a3, .……, an线性表出，且 表出方法不唯一
        • ⇔ 方程组 Ax = β 有无穷多解
        • ⇔ r(A) = A的增广矩阵的秩 ＜ n（a是n维向量） A矩阵就是把各个a向量竖着写 A的增广矩阵就是在A矩阵后面加上β
      • 3.7 设有两个向量组（Ⅰ）a1, a2,……, as，（Ⅱ）β1，β2，……，βt
        • （1）若βi（i=1，2，……，t）均可由（Ⅰ）线性表出，且t＞s，则（Ⅱ）β1，β2，……，βt线性相关
        • （2）若βi（i=1，2，……，t）均可由（Ⅰ）线性表出，且β1，β2，……，βt线性无关，则t≤s
        • 如果多数向量可以由少数向量线性表出 则多数向量必线性相关
    • 推论
      • n个n维向量a1, a2,……, an线性相关⇔行列式Ⅰa1, a2,……, anⅠ=0 即 线性相关⇔行列式=0
      • 任何n+1（n+1个未知数）个n维向量（n和方程）必线性相关
  • 秩
    • 极大线性无关组
      • 问到极大无关组或线性表出，一律把α的坐标竖过来写
      • 定义 向量组ai1, ai2,……, air（1≤ir≤s）是向量组a1, a2,……, as的部分组，满足条件
        • ai1, ai2,……, air线性无关
        • ai1, ai2,……, air中加入任一向量ai（1≤i≤s），则向量组ai1, ai2,……, air，ai线性相关
        • 则称向量组ai1, ai2,……, air是向量组a1, a2,……, as的极大线性无关组
      • 极大线性无关组不唯一，但极大线性无关组的向量个数是一样的
      • 零向量组成的向量组没有极大线性无关组
      • 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组的本身
    • 等价向量组
      • 向量组（Ⅰ）a1, a2,……, as，（Ⅱ）β1，β2，……，βt
        • 如果（Ⅰ）中的每个向量均可由（Ⅱ）线性表出，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出
        • 若向量组（Ⅰ）（Ⅱ）可相互表出，则称向量组（Ⅰ）（Ⅱ）是等价向量组，记作（Ⅰ）≌（Ⅱ）
      • 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组
    • 秩
      • 向量的秩
        • 定义
          • 向量组的极大线性无关组的向量个数称为向量组的秩
        • 定理
          • 3.8 如果向量组A可由向量组B线性表出，则r(A)≤r(B)
        • 推论
          • 如果向量组A和B等价，则r(A)=r(B)
      • 矩阵的秩
        • 定义
          • 设A是m×n矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，r阶以上子式均等于零，则称矩阵A的秩为r，记成r(A) 零矩阵的规定为零
        • 重要结论
          • 秩r(A)=r ⇔ 矩阵A中非零子式的最高阶数是r —— 即存在r阶子式不为零，所有r+1子式全为零
          • r(A)＜r ⇔ A中每一个r阶子式全为0
          • r(A)≥r ⇔ A中有r阶子式不为0
            • r(A)=0 ⇔ A = O
            • A≠O ⇔ r(A)≥1
          • A为n阶矩阵
            • r(A)=n ⇔ ⅠAⅠ≠0 ⇔ A可逆
            • r(A)＜n ⇔ ⅠAⅠ=0 ⇔ A不可逆
          • 若A是m×n阶矩阵，r(A)≤min（m, n）
          • 求矩阵的秩可以用列变换 解方程组只能用行变换
        • 定理
          • 3.9 经初等变换，矩阵的秩不变
          • 3.10（三秩相等） 设A是m×n矩阵，将A以行及列分块，得
            • 
              • 则有r(A)（矩阵A的秩）=r(a1, a2, ……, am)（A的行秩）= r(β1，β2，……，βn)（A的列秩）
        • 公式
          • r(A)=r(AT)
          • r(ATA)=r(A)
          • k≠0，r(kA)=r(A)
          • r(A+B)≤r(A)+r(B)
          • r(AB)≤min( r(A), r(B))
          • max( r(A), r(B))≤r(A, B)≤r(A)+r(B)
          • A可逆
            • r(AB)=r(B)
            • r(BA)=r(B)
            • r(ABA)=r(A)
          • A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r(A)+r(B)≤n
          • 分块矩阵r（A O）=r（A）+r（B） （O B）
          • 若A~B，则r(A)=r(B)，r(A+kE)=r(B+kE)
  • 正交规范化、正交矩阵
    • 内积
      • 
      • 性质
        • (α，β)=(β，α) （对称性）
        • λ(α，β)=(λα，β)=(α，λβ) （线性性）
        • (α+β，γ)=（α，γ）+（β，γ）（线性性）
        • （α，α）≥0 ，等号成立当且仅当α=0 （正定性）
      • 单位向量
        • 
      • α，β正交
        • 
    • 施密特正交化
    • 正交矩阵
      • 定义
        • AAT=ATA=E，A为正交矩阵
      • 定理
        • A是正交矩阵
          • ⇔AT=A^（-1）
          • 子主题
• 二次型
  • 二次型及其标准型
    • 定义
      • n个变量的一个二次齐次多项式，称为n个变量的二次型，系数均为实数时，称为n元二次型
      • 二次型如果只有平方项，没有混合项，则称二次型为标准型（又称平方和）
      • 在二次型的标准形中，若若平方项的系数只是1，-1，0，则称为二次型的规范型 （系数中1的个数是p个，-1的个数是q个，0的个数是n-(p+q)个）
      • 在二次型xTAx的标准形中，正平方项的个数p称为二次型的正惯性指数， 负平方项的个数q称为二次型的负惯性指数
      • 二次型xTAx矩阵A的秩称为二次型的秩
      • 设A,B是两个n阶方阵，存在可逆矩阵C，使得CTAC=B，则称A合同于B，记成A∽B
      • 坐标变换
    • 合同矩阵的性质
      • 反身性：A∽A
      • 对称性：若A∽B，则B∽A
      • 传递性：若A∽B, B∽C，则A∽C
      • 若A∽B⇔PA=PB, qA=qB
    • 应用
      • 用配方法写出二次型
        • 先把所有含x1的项配成一个完全平方
        • 再把所有含x2的项配成完全平方
        • 引入新的变量
          • 
        • 
      • 正交变换写二次型
        • 经正交变换后，标准形中的平方项系数就是A的特征值
        • 步骤
          • 先写出二次型的系数矩阵
          • 写出矩阵A的特征多项式ⅠλE-AⅠ，得出特征值
          • 分别写出各个特征值时（λE-A）x= 0，得出特征向量
          • 不同特征向量相互正交，再单位化，得到特征向量γ
          • Q=（γ1，γ2，γ3）
          • 经x=Qy有yT∧y=λ1y1^(2)+λ2y2^(2)+λ3y3^(2)
          • QTAQ=Q^（-1）AQ
      • 求正惯性、负惯性指数
        • 用特征值或配方法
  • 正定二次型
    • 定义
      • 正定二次型/正定矩阵
        • 
    • 定理
      • 可逆线性变换不改变二次型的正定型
      • 正定的充要条件
        • A的正惯性指数p=n
        • A∽E，即存在可逆矩阵C，使得CTAC=E
        • A=DTD，其中D是可逆矩阵
        • A的全部特征值λi＞0，i.=1，2，……，n
        • 
      • 正定的必要条件
        • 若二次型f正定，则
          • A的主对角元素aii＞0
          • a的行列式ⅠAⅠ＞0
• 特征值和特征向量
  • 特征值和特征向量
    • 定义
      • A是n阶矩阵，如果存在一个数λ及非零的n维列向量α，使Aα＝λα成立， 则λ是矩阵A的一个特征值，α是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量
    • 方法
      • 由ⅠλE-AⅠ＝0求出A的特征值λi（共有n个），再由（λiE-A）x＝0求基础解系， 即矩阵A属于特征值λi的线性无关的特征向量
    • 定理
      • 5.1 如果λ1，λ2，……，λm是矩阵A的互不相同的特征值，α1，α2，……，αm 分别是与之相对性的特征向量，则α1，α2，……，αm线性无关
      • 5.2 （1）特征值的和＝aii的和 （2）ⅠAⅠ＝特征值的乘积
      • 如果α1，α2，……，αt都是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则当k1α1+k2α2+ ……+ktαt非零时，k1α1+k2α2+……+ktαt仍是矩阵A属于特征值λ的特征向量
      • 若α1α2是不同特征值的特征向量， 那么α1+α2不是A的特征向量
      • 当特征值是二重根时，可能只有一个线性无关的特征向量， 也可能有两个线性无关的特征向量
      • λ是A的特征值，设α是对应的特征向量，即Aα＝λα，α≠0
        • λ+k是A+kE的特征值
        • λ^m是A^m的特征值
  • 相似矩阵
    • 定义
      • 设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P^（-1）AP=B， 则称B是A的相似矩阵，或A相似于B，记A~B
    • 性质
      • （1）A~A ， 反身性 （2）若A~B→B~A，对称性 （3）若A~B, B~C→A~C ，传递性
    • 矩阵相似的必要条件 A~B
      • 特征多项式相同，即ⅠλE-AⅠ=ⅠλE-BⅠ
      • A, B有相同的特征值
      • r(A)=r(B)
      • ⅠAⅠ=ⅠBⅠ=特征值的乘积
      • aii的和=bii的和=λi的和
    • A~B，推
      • A^n~B^n
      • A+kE~B+kE
      • A^(-1)~B^(-1)
    • 定理
      • n列方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
      • 若n列矩阵A有n个不同的特征值λ1，λ2，……，λn 则n可相似对角化，且
      • n列矩阵可以相似对角化的充要条件是A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数
    • 解题步骤 求可逆矩阵P是P^(-1)AP=∧
      • 1. 求矩阵A的特征值
      • 2. 求出线性无关的特征向量
      • 构造出可逆矩阵P＝（α1，α2，α3……）则有P^(-1)AP=∧=对角线上的值为λ1，λ2，λ3……
  • 实对称矩阵
    • 定理
      • 实对称矩阵必定可以相似对角化
      • 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交
      • 设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交阵Q，是Q^(-1)AQ＝Q^(T)AQ=A
        • 正交矩阵：向量两两垂直，且是单位向量
• 线性方程组
  • 齐次线性方程组
    • 基础解系
      • 如果η1，η2，……，ηt是齐次方程组Ax=0的解，且 （1）η1，η2，……，ηt线性无关 （2）Ax=0的任一个解η都可由η1，η2，……，ηt线性表出， 则称η1，η2，……，ηt是Ax=0的一个基础解系
    • 解的性质
      • 如果η1，η2，……，ηt是齐次方程组Ax=0的解，则对任意常数k1, k2, ……, kt， k1η1+k2η2+……+ktηt 仍是该齐次方程组的解
    • 定理
      • 4.1 齐次方程组Am×nX=0有非零解⇔r(A)＜n（列数——未知数的个数）
      • 推 1. 当m＜n（行＜列）时，Ax=0必有非零解 2. 当m＝n时，Ax=0有非零解⇔ⅠAⅠ=0
      • 4.2 如齐次线性方程组系数矩阵的秩r(A)=r＜n（n为列），则有n-r个线性无关的解 且任何一个解都可以由这n-r个线性无关的解线性表出——最大线性无关组
        • 有n-r和自由变量 ——自由变量处的值为1
      • 4.3 若η1，η2，……，ηt是齐次方程组的基础解系，则齐次方程组的通解是 k1η1+k2η2+……+ktηt, k1, k2, …… kt 是任意常数
  • 非齐次线性方程组
    • 解的性质
      • 设ξ1，ξ2是方程组Ax=b的两个解，则ξ1-ξ2是导出组Ax=0的解
      • 设ξ是方程组Ax=b的解，η是导出组Ax=0的解，k是任意常数，则ξ+kη是方程组Ax=b的解
    • 定理
      • 4.4 Ax=b有解⇔r(A)=A的增广矩阵的秩 ⇔b可由A的列向量线性表出
      • Ax=b无解⇔r(A)+1=A的增广矩阵的秩
      • 推 Ax=b 有无穷多解 ⇔ r(A)=A的增广矩阵的秩＜n
      • 4.5 设α是Ax=b的解，η1，η2，……，ηt是导出组Ax=0的基础解系，则方程组Ax=b的通解为 α+k1η1+k2η2+……+ktηt，其中k1, k2, ……, kt是任意常数