平面向量

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平面向量

• 概念：平面向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
  • 例如，平面向量AB可以表示为→AB。
• 分类：平面向量可以分为自由向量和固定向量。
  • 自由向量：自由向量在平面上任意平移后仍保持大小和方向不变。
    • 例如，向量→AB和向量→CD是自由向量。
  • 固定向量：固定向量与特定的位置有关，平移会改变向量的大小和方向。
    • 例如，位置向量→OA和→OB是固定向量。
• 加法：平面向量的加法是将两个向量的大小和方向相加得到一个新的向量。
  • 例如，如果向量→PQ和向量→QR相加，可以表示为→PQ + →QR = →PR。
• 数乘：平面向量的数乘是将向量的长度与一个实数相乘得到一个新的向量。
  • 例如，向量→AB乘以2，可以表示为2→AB。
• 线性组合：平面向量的线性组合是将向量与一组系数相乘后相加得到一个新的向量。
  • 例如，对于向量→AB和向量→CD，如果分别乘以2和3后相加，可以表示为2→AB + 3→CD。
• 共线向量：平面上两个向量如果可以由一个向量经过数乘得到，那么它们就是共线向量。
  • 例如，如果存在实数k，使得向量→AB = k→CD，那么向量→AB和→CD共线。
• 内积：平面向量的内积是将两个向量的对应分量相乘后相加得到一个实数。
  • 例如，向量→AB和向量→CD的内积可以表示为→AB·→CD = AB·CD·cosθ，其中θ为两个向量的夹角。
• 线性无关性：平面上若干个向量如果不存在非零实数使得它们的线性组合为零向量，那么它们就是线性无关的。
  • 例如，如果向量→AB和向量→CD线性无关，那么不能存在实数k，使得k→AB + k→CD = →0。
• 基底与坐标表示：平面向量可以选择一组基底进行表示，每个向量可以表示为基底向量的线性组合。
  • 例如，选择基底→i和→j，向量→AB可以表示为ABx→i + ABy→j，其中ABx和ABy分别为向量→AB在基底→i和→j上的投影长度。