现代控制理论第三章-线代控制系统的能控性和能观性

现代控制理论第三章-线代控制系统的能控性和能观性，内容有能控性、能观性、能控性与能观性的对偶关系、能控标准型、传递函数阵的实现问题、线性系统的结构分解、能观标准型。

线代控制系统的能控性和能观性

• 能控性
  • 连续定常系统
    • 定义
      • 能控
        • 对于线性连续定常系统：
        • 如果存在一个分段连续的输人u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。
      • 完全能控
        • 若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。
      • 不完全能控
        • 如果状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的，则称系统在t0时刻是不完全能控的。
    • 能控性判别
      • 1.约旦标准型
        • 1.互异
          • 看B行是否有全零行
        • 2.有重根
          • 若有一个矩阵块，看最后一行是否全为零；若有两个矩阵块，看那两个的最后一行是否为行线性无关，若为行线性无关，则为能控，若为行线性相关，则为不能控
      • 2.矩阵的秩M
        • 能控的充分必要条件是
  • 离散时间系统
    • 状态方程：
    • 系数矩阵为：
    • 系统能控的充要条件为系数矩阵满秩
  • 线性时变系统能控性性质
    • 1.定义中的允许控制u(t)，在数学上要求其元在[t0,tf] 区间是绝对平方可积的，即
    • 这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一
    • 2.非奇异变换不改变系统的能控性
    • 3.如果x0是能控状态，则ax0也是能控状态，a是任意非零实数。
    • 4.如果x01和x02是能控状态，则x01+x02也必定是能控状态，ax01+bx02也必定是能控状态，a，b是任意非零实数。
    • 5.由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间，记为Xc.
  • 线性时变系统能控性判别
    • 1.格拉姆矩阵
      • 系统在[t0,tf]上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵为非奇异的
    • 2.矩阵的秩M
      • 若rankM=n，则该系统在[0,tf]上是状态完全能控的
      • 这是一个充分条件，即不满足这个条件的系统，并不一定是不能控的
• 能观性
  • 连续定常系统
    • 定义
      • 能关
        • 对于线性定常系统：
        • 存在一有限的观测时间:t1>t0，使根据[t0,t1]期间的输出y(t)，能唯一地确定系统在t0时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观测的。
      • 完全能观
        • 若系统的每一个非零状态都是能观测的，则称系统完全能观。
      • 不能观
        • 如果取时刻t0的一个非零初始状态x(t0)，存在一个有限时刻t1>t0使对所有的t属于[t0,t1]有y(t)恒等于0，则称状态x(t0)是不能观的。
    • 能观性判别
      • 1.约旦标准型
        • 1.互异
          • 看C列是否有全零列
        • 2.有重根
          • 若有一个矩阵块，看第一列是否全为零；若有两个矩阵块，看那两个的第一列是否为列线性无关，若为列线性无关，则为能观，若为列线性相关，则为不能观
      • 2.N
        • 能观的充分必要条件是
  • 离散时间系统
    • 状态方程：
    • 系数矩阵为：
    • 系统能控的充要条件为系数矩阵满秩
  • 线性时变系统能观性性质
    • 1.时间区间[t0，tf]是识别初始状态x(t0)所需要的观测时间，对时变系统来说，这个区间的大小和初始时刻t0的选择有关。
    • 2.根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式:
    • 3.对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。
    • 4.如果x(t)是不能观测的，a为任意非零实数，则ax(t0)也是不能观测的。
    • 5.如果x01和x02都是不能观的，则x01 + x02也是不能观的，ax01 + bx02也是不能观的，a，b任意非零实数。
    • 6.根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子空间，称为不能观子空间，记为x0。只有当系统的不能观子空间x0在状态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。
  • 线性时变系统能观性判别
    • 1.格拉姆矩阵
      • 系统在[t0,tf]上状态完全能观的充分必要条件是格拉姆矩阵为非奇异的
    • 2.矩阵的秩
      • 若rankN=n，则该系统在[0,tf]上是状态完全能控的
      • 这是一个充分条件，即不满足这个条件的系统，并不一定是不能控的
• 能控性与能观性的对偶关系
  • 定常系统
    • 1.对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。
    • 2.互为对偶的系统，其特征方程式是相同的。
    • 3.对偶原理：.互为对偶的两系统中，第一个系统的能控性等价于第二个系统的能观性，第一个系统的能观性等价于第二个系统的能控性。
    • 对偶关系：
  • 时变系统
    • 1.互为对偶的两系统的状态转移矩阵互为转置逆。
    • 2.对偶原理：互为对偶的两系统中，第一个系统的能观性等价于第二个系统的能控性，第一个系统的能控性等价于第二个系统的能观性。
    • 对偶关系：
• 能控标准型
  • 能控标准Ⅰ型
    • 若线性定常单输入系统：
      • 是能控的
    • 则存在线性非奇异变换:
    • 使其状态空间表达式化为：
    • 其中：
  • 能控标准Ⅱ型
    • 若线性定常单输入系统：
      • 是能控的
    • 则存在线性非奇异变换:
    • 其中：
• 传递函数阵的实现问题
  • 实现问题
    • 对于给定传递函数阵W(s)，若有一状态空间表达式∑:
    • 使之成立
    • 则称此状态空间表达式∑为传递函数阵W(s)的一个实现
    • 单输入单输出系统能控性和能观性有对偶转置关系，而多输入多输出系统能控性和能观性没有对偶和转置关系。
  • 最小实现
    • 传递函数W(s)的一个实现(式1）：
    • 如果W(s)不存在其他实现：
    • 的维数小于x的维数，则称式1的实现为最小实现
    • 寻求最小实现的步骤
      • 传递函数阵W(s)的一个实现
      • 为最小实现的充分必要条件是
        • 即是能控的也是能观的
      • 1.对给定传递函数阵W(s)，先初选出一种实现∑(A，B，C)，通常最方便的是选取能控标准型实现或能观标准型实现。
      • 2.对上面初选的实现∑(A，B，C)，找出其完全能控且完全能观部分(A，B，C,)，于是这个能控能观部分就是W(s)的最小实现。
    • 实现不唯一，最小实现也不唯一
  • 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系
    • 对于单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，要使系统是能控并能观的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。可是对于多输入多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。
• 线性系统的结构分解
  • 按能控性分解
    • 设线性定常系统：
    • 是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：
    • 的秩
    • 则存在非奇异变换：
    • 将状态空间表达式变换为：
    • 其中
    • 其中n1维子空间是能控的，而（n-n1）维子空间是不能控的
    • 非奇异变换阵为：
    • 其中前n1列矢量R1，R2，...，Rn1是能控性判别阵M中的 n1个线性无关的列，另外的(n -n1)个列矢量在确保Rc为非奇异的条件下，完全是任意的。
  • 按能观性分解
    • 设线性定常系统：
    • 其状态不完全能观，其能观性判别矩阵:
    • 的秩：
    • 则存在非奇异变换：
    • 将状态空间表达式变换为：
    • 其中
    • 其中n1维子空间是能观的，而（n-n1）维子空间是不能观的
    • 非奇异变换阵为：
    • 其中前n1行矢量R1，R2，...，Rn1是能观性判别阵中的 n1个线性无关的行，另外的(n -n1)个行矢量在确保R为非奇异的条件下，完全是任意的。
• 能观标准型
  • 能观标准Ⅰ型
    • 若线性定常系统：
      • 是能观的
    • 则存在非奇异变换：
    • 使其状态空间表达式化为：
    • 其中：
  • 能观标准Ⅱ型
    • 若线性定常单输入系统：
      • 是能观的
    • 则存在非奇异变换：
    • 使其状态空间表达式化为：
    • 其中：