电磁场

电磁场矢量分析，详尽的整理了矢量代数，三种常用的正交坐标，标量场的梯度，矢量场的通量与散度，矢量场的环流与旋度知识梳理。

第一章 矢量分析

• 1.1 矢量代数
  • • 1.标量：一个只用大小描述的物理量; 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。
    • 2.矢量的加减符合交换律和结合律
    • 3.标量乘矢量
    • 4.矢量的点积
    • 5.矢量的叉积
    • 6.矢量的混合运算
• 1.2 三种常用的正交坐标
  • 1.直角坐标系
    • 右手螺旋法则（矢积或叉积）：
    • 任意矢量A在直角坐标系中可表示为：
    • 矢量A和B的加法：
    • 矢量A和B的点积：
    • 矢量A和B的叉积：
  • 2.圆柱坐标系
    • 圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为：
    • 右手螺旋法则（矢积或叉积）：
    • 矢量A和B的加法：
    • 矢量A和B的点积：
    • 矢量A和B的叉积：
  • 3.球坐标系
    • 球坐标系与直角坐标系之间变换关系为：
    • 球坐标系与球坐标系之间变换关系为：
    • 右手螺旋法则：
    • 矢量A和B的点积：
    • 矢量A和B的叉积：
• 1.3 标量场的梯度
  • 1.3.1 标量场的等值面
    • 概念: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。
    • 意义: 形象且直观地描述物理量在空间的分布状态。
    • 方程：直角坐标系中，
    • 特点：(a) 常数C取一系列不同的值，就得到一系 列不同的等值面，形成等值面族； (b) 标量场的 等值面族充满场所在的整个空间；(c) 一个点只 能在一个等值面上，标量场的等值面互不相交。
  • 1.3.2 方向导数（概念）
    • 概念：用于描述标量场在空间某个方向上变化规律。
    • 直角坐标系中方向导数的计算公式为
  • 1.3.3 梯度
    • 概念：标量场u在点M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，表达式为
    • 标量场u的梯度可用
    • 上式表明：标量场u的梯度可认为是算符作用于标量函数的一种运算。
    • 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中梯度表达式分别为
  • 例题
• 总结
• 1.8 亥姆霍兹定理
  • 矢量场可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和来表示。即
• 1.7拉普拉斯运算与格林定理
  • 拉普拉斯运算
  • 格林定理
    • 格林第一定律
    • 格林第二定律
• 1.6 无旋场和无散场
  • 无旋场
    • 标量场的梯度有个重要性质，就是它的旋度恒等于0
  • 无散场
  • 无旋、无散场
• 1.5 矢量场的环流与旋度
  • 环流
    • 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。
    • 磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲 面的电流成正比。
    • 矢量场 沿场中一条闭合路径C的曲线积分表达式如下，将其称为矢量场 沿闭合路径C的环流。
    • 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称其为无旋场，又称保守场。
    • 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称其为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。例如：电流是磁场的旋涡源。
  • 旋度
    • 直角坐标系下的表达式为
    • 圆柱坐标系下的表达式为
    • 球坐标系下的表达式为
  • 斯托克斯定理
    • 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
• 1.4 矢量场的通量与散度
  • 矢量场：所研究的物理量是一个矢量，并且由该物理量所确定的场。例如： 力场、速度场、电场、磁场等；
  • 矢量场的矢量线
    • 除直接用矢量的数值和方向来表示矢量场外，还用矢量线描述矢量场的分布状况。矢量线上每一点的切线方向代表该点的矢量场方向。
    • 微分方程组：
  • 通量
    • 概念：在场区域的某点选取面元，穿过该面元的矢量线总数称为矢量场对于面积元的通量。
    • 矢量场对于曲面S的通量为其上所有小面积通量的叠加：
  • 散度
    • 概念：考虑空间任意点（包含该点在内的小体积元）单位体积闭合曲面 矢量场发散和汇聚力线强度，利用极限方法得到矢量场的散度。
    • 据散度的定义，散度在直角坐标系中的表达式为
    • 散度在圆柱坐标系、球坐标系中的表达式分别为
    • 散度的定义可知：矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即

第二章 电磁场的基本规律

• 2.1 电荷守恒定理
  • 电荷与电荷密度
    • 电荷体密度
    • 电荷面密度
    • 电荷线密度
    • 点电荷
      • 位于坐标原点的点电荷q的电荷密度表示为
  • 电流与电流密度
    • 体电流
    • 面电流
    • 线电流
      • 长度元 中流过的电流I，将 称为电流元。线电流也是电磁理论中的重要概念。
  • 电荷守恒定理与电流连续性方程
    • 积分形式
    • 微分形式
• 2.2 真空中静电场的基本规律
  • 库仑定律
    • • 静电力的叠加原理
  • 电场强度
    • 场点r的电场强度为
      • • 点电荷分别按面电荷密度和线电荷密度连续分布时，场点r的电场强度为
  • 静电场的散度和旋度
    • 静电场的散度（微分形式）
      • 静电场的高斯定理（积分形式）
    • 静电场的旋度（微分形式）
      • • 静电场的环路定理（积分形式）
  • 环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。
  • 梯无旋
• 2.3 真空中恒定磁场的基本规律
  • 旋无散
  • 安培力定律
  • 磁感应强度
    • 则分布于体积V内的体电流产生的磁感应强度为
    • 则分布于曲面S上的面电流产生的磁感应强度为
  • 恒定磁场的散度和旋度
    • 磁感应强度的散度恒为0，即磁场是一个无通量源的矢量场。
    • 穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁感应线（磁力线） 是无头无尾的闭合线。
      • 微分形式
        • 积分形式
    • 恒定磁场是有旋场，是非保守场，电流是磁场的漩涡 源。
      • 微分形式
        • 积分形式
    • 安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场，电流是磁场的漩涡源。
• 2.4 媒质的电磁场特性
  • 电介质的极化 电位移矢量
    • 电介质的极化
    • 电位移矢量和电介质中高斯定律
      • 电介质中高斯定理积分形式
    • 电介质的本构关系
  • 磁介质磁化和磁场强度
    • 磁介质的磁化
    • 磁场强度与磁介质中的安培环路定理
    • 安培环路定理的微分形式，表明磁介质内某点的磁场强度等于该点的传导电流密度。
    • • 这就是磁介质中安培环路定理的积分形式，它表明磁场强度沿磁介质内任意闭合路径的环量，等于与该闭合路径交链的传导电流。
    • 磁介质的本构关系
  • 媒体的传导特性
    • • 这就是欧姆定律的微分形式。式中比例系数 称为媒质的电导率，单位是S/m（西门子/米）。电导率与媒质构成有关，欧姆定律是对某些材料电特性的表述，满足上式的材料称为欧姆材料。
    • • 电场提供的功率以热的形式作为焦耳热消耗在导电媒质的电阻上。上式称 为焦耳定律的微分形式。
    • • 上式称为焦耳定律的积分形式，为整个体积V中的导电媒介消耗的功率
  • 小结
    • 电介质中高斯定理
    • 真空中高斯定理
    • 静电场的旋度
    • 磁介质中安培环路定理
    • 真空中安培环路定理
    • 磁通连续性定理
• 2.5 电磁感应定律和位移电流
  • 法拉第电磁感应定律
    • 如果回路是静止的，则穿过回路的磁通变化只能是由磁场随时间变化引起。
    • 导体棒以速度 在静态磁场 中运动时，磁场力 将使导体中的自由电荷朝一端运动，从而另一端带正电荷，这种正、负电荷分离将形成库仑力。
    • 当导体在时变磁场中运动时，可视为上述两种情况的合成，故得
  • 位移电流
    • 麦克斯韦认为电容器两极板间存在的另一种形式的电流就是由时变电场引 起的，称为位移电流。
• 2.6 麦克斯韦方程组
  • 麦克斯韦方程组的积分形式
    • 麦克斯韦第一方程
    • 麦克斯韦第二方程
    • 麦克斯韦第三方程
    • 麦克斯韦第四方程
  • 麦克斯韦方程组的微分形式
    • 麦克斯韦第一方程
    • 麦克斯韦第二方程
    • 麦克斯韦第三方程
    • 麦克斯韦第四方程
  • 媒体的本质关系
    • 麦克斯韦方程组的限定形式，它适用于线性和各向同性的均匀媒质。
  • 在无源空间中，两个旋度方程分别为
• 2.7 电磁场的边界条件
  • 边界条件的一般形式
    • 磁场强度H的边界条件
    • 电场强度E的边界条件
    • 磁感应强度B的边界条件
    • 电位移矢量D的边界条件
  • 两种特殊情况下的边界条件
    • 理想导体表面上的边界条件
    • 理想介质表面上的边界条件
• 2.7
• 2.6
• 2.5
• 2.4
• 2.3
• 2.2