全等三角形知识总结

初中数学全等三角形相关知识点汇总，可通过下图查漏补缺。

全等三角形

• 全等图形
  • 定义
    • 能完全重合的图形叫作全等图形
  • 性质
    • 两个全等图形，它们的形状、大小相同；全等图形的面积相等
• 全等三角形
  • 概念
    • 两个能完全重合的三角形叫作全等三角形
    • 对应顶点：重合的顶点
    • 对应边：重合的边
    • 对应角：重合的角
  • 表示方法
    • △ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。读作三角形ABC全等于三角形DEF
    • 记两个三角形全等时，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上
  • 性质
    • 全等三角形对应边相等，对应角相等
  • 确定全等三角形的对应边、对应角
    • 公共边一定是对应边
    • 一对最长（最短）的边一定是对应边
    • 公共角一定是对应角
    • 对顶角一定是对应角
    • 一对最大（最小）的角一定是对应角
    • 两边是对应的，则它们所对的角也一定是对应的
    • 两角是对应的，则它们所对的边也是对应的
    • 两条对应边所夹得角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边
    • 两个三角形全等用“≌”表示，找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找
  • 全等三角形的全等变换
    • 平移全等型
    • 翻折全等型
    • 旋转全等型
• 探索三角形全等的条件
  • 三角形全等的判定方法
    • 边角边（SAS）
      • 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
    • 角边角（ASA）
      • 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
    • 角角边（AAS）
      • 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
    • 边边边（SSS）
      • 三边分别相等的两个三角形全等
    • 斜边、直角边（HL）
      • 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
    • 注意
      • 三个条件能唯一确定三角形
  • 合理选择判定方法
    • 已知两边
      • 找夹角→边角边
      • 找第三边→边边边
      • 找直角→HL
    • 已知两角
      • 找夹边→角边角
      • 找其中一个已知角的对边→角角边
    • 已知一边一角
      • 边为角的对边→找任一角→角角边
      • 边为角的邻边
        • 找夹角的另一边→边角边
        • 找夹边的另一角→角边角
        • 找边的对角→角角边
  • 书写
    • 全等五行
      • 在△ABC和△DEF中
      • ①②③
      • ∵
        • ∵后面紧跟的条件需要满足，从这个∵开始往上找要能找到
          • ①已知（题干中已经给的条件）
          • ②已证（根据题干已知条件已经证明出来的结论）
          • ③已存（存在的事实与真理，比如对顶角相等，共用一条边等）
      • ∴
  • 三角形的稳定性
    • 如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性
  • 用尺规画已知角的平分线
  • 用尺规作经过直线AB外一点P的AB的垂线
• 全等三角形中辅助线的构造
  • 方法
    • 题目中有角平分线
      • 角平分线上的点向角两边作垂线
      • 截长法
        • 利用对称性，在被平分的角的两边截取相等的线段
      • 延长垂线段
        • 题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交
    • 倍长中线法
      • 遇到中线或中点的连线，延长该线段（一倍），使延长线段与原线段相等
    • 补短法
      • 注意题目中标志性信息，AB+CD=EF等，目的是把不在一起的AB与CD构造到一起，组成新的线段
    • 旋转法
      • 题目中出现有一个公共端点的相等线段时
    • 二者的联系与区别
    • 作平行线
      • 有角平分线
        • 常过角平分线（图中已知线段或其延长线）上一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形
        • 通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交
      • 无角平分线
  • 语言表达
    • 作线段
      • 连接......
    • 作平行线
      • 过点......作......∥......
    • 作垂线（高）
      • 过点......作......⊥......，垂足为......
    • 作中线
      • 取......中点.......，连接......
    • 延长并截取线段
      • 延长......使......等于......
    • 截取等长线段
      • 在......上截取......，使......等于......
    • 作角平分线
      • 作......平分.......。作角......等于已知角......
    • 作一个角等于已知角
      • 作角......等于......

全等三角形

• 全等图形
  • 定义
    • 能完全重合的图形叫作全等图形
  • 性质
    • 两个全等图形，它们的形状、大小相同；全等图形的面积相等
• 全等三角形
  • 概念
    • 两个能完全重合的三角形叫作全等三角形
    • 对应顶点：重合的顶点
    • 对应边：重合的边
    • 对应角：重合的角
  • 表示方法
    • △ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。读作三角形ABC全等于三角形DEF
    • 记两个三角形全等时，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上
  • 性质
    • 全等三角形对应边相等，对应角相等
  • 确定全等三角形的对应边、对应角
    • 公共边一定是对应边
    • 一对最长（最短）的边一定是对应边
    • 公共角一定是对应角
    • 对顶角一定是对应角
    • 一对最大（最小）的角一定是对应角
    • 两边是对应的，则它们所对的角也一定是对应的
    • 两角是对应的，则它们所对的边也是对应的
    • 两条对应边所夹得角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边
    • 两个三角形全等用“≌”表示，找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找
  • 全等三角形的全等变换
    • 平移全等型
    • 翻折全等型
    • 旋转全等型

全等三角形

• 探索三角形全等的条件
  • 三角形全等的判定方法
    • 边角边（SAS）
      • 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
    • 角边角（ASA）
      • 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
    • 角角边（AAS）
      • 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
    • 边边边（SSS）
      • 三边分别相等的两个三角形全等
    • 斜边、直角边（HL）
      • 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
    • 注意
      • 三个条件能唯一确定三角形
  • 合理选择判定方法
    • 已知两边
      • 找夹角→边角边
      • 找第三边→边边边
      • 找直角→HL
    • 已知两角
      • 找夹边→角边角
      • 找其中一个已知角的对边→角角边
    • 已知一边一角
      • 边为角的对边→找任一角→角角边
      • 边为角的邻边
        • 找夹角的另一边→边角边
        • 找夹边的另一角→角边角
        • 找边的对角→角角边
  • 书写
    • 全等五行
      • 在△ABC和△DEF中
      • ∵
        • ①②③
      • ∴
  • 三角形的稳定性
    • 如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性
  • 用尺规画已知角的平分线
  • 用尺规作经过直线AB外一点P的AB的垂线

全等三角形

• 全等三角形中辅助线的构造
  • 方法
    • 题目中有角平分线
      • 角平分线上的点向角两边作垂线
      • 截长法
        • 利用对称性，在被平分的角的两边截取相等的线段
      • 延长垂线段
        • 题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交
    • 倍长中线法
      • 遇到中线或中点的连线，延长该线段（一倍），使延长线段与原线段相等
    • 补短法
    • 旋转法
      • 题目中出现有一个公共端点的相等线段时
    • 作平行线
      • 有角平分线
        • 常过角平分线（图中已知线段或其延长线）上一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形
        • 通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交
      • 无角平分线
  • 语言表达
    • 作线段
      • 连接......
    • 作平行线
      • 过点......作......∥......
    • 作垂线（高）
      • 过点......作......⊥......，垂足为......
    • 作中线
      • 取......中点.......，连接......
    • 延长并截取线段
      • 延长......使......等于......
    • 截取等长线段
      • 在......上截取......，使......等于......
    • 作角平分线
      • 作......平分.......。作角......等于已知角......
    • 作一个角等于已知角
      • 作角......等于......