实数

初中阶段实数相关内容，包括正负数、实数、绝对值、相反数、倒数、科学计数法及实数运算等。

实数

• 实数
  • 定义
    • 有理数和无理数统称为实数
      • 有理数
        • 能写成分数形式m/n（m,n是整数。n≠0）的数叫作有理数
      • 无理数
        • 无限不循环小数叫作无理数
  • 分类
    • 按定义分类
      • 有理数
        • 整数
          • 正整数
          • 零
          • 负整数
        • 分数
          • 正分数
          • 负分数
          • 有限小数或无限循环小数
      • 无理数
        • 正无理数
        • 负无理数
        • 无限不循环小数
        • 无理数几种常见形式
          • 含有π的
          • 开方开不尽的数，如
          • 部分三角函数值
          • 小数形式无规律的
          • 小数形式有规律但不循环的
          • 无理数的判断，一定要先化为最简形式
    • 按正负分类
      • 正数（比0大的数）
        • 正有理数
          • 正整数
          • 正分数
        • 正无理数
      • 0（既不是正数，也不是负数）
      • 负数（比0小的数）
        • 负有理数
          • 负整数
          • 负分数
        • 负无理数
      • 正负数可以用于表示相反意义的量，若规定“上升”为正，则“下降”为负
• 数轴
  • 定义
    • 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴
      • 1.数轴是一条可以向两端无限延伸的直线
      • 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度
  • 实数与数轴上的点是一一对应的
  • 数轴上点的分布特点
    • 1.在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大
    • 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数
  • 数轴上两点间的距离
    • 大数减小数，用右边点表示的数减去左边点表示的数
    • la-bl
  • 中点
• 绝对值、相反数、倒数
  • 绝对值
    • 定义
      • 数轴上表示一个数的点与原点的距离叫作这个数的绝对值
        • 绝对值是“距离”，表示一个数的点离原点远近
        • 数a的绝对值记做lal
        • la-bl表示数a、数b对应的两点之间的距离
    • 绝对值性质
      • 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数。
      • 绝对值的非负性：lal≥0
        • lal=
          • a（a＞0）
          • 0（a=0）
          • -a（a＜0）
    • 利用绝对值比较大小
      • 离原点越远的数，绝对值越大
      • 对于负数，绝对值越大的反而小
    • 去绝对值符号
      • la-bl=
        • a-b（a＞b）
        • 0（a=b）
        • b-a（a＜b）
        • 注意
          • 先通过大小判断a-b的符号，再利用绝对值的非负性去绝对值
          • 若lxl=a，则x=±a
          • 分类讨论
  • 相反数
    • 定义
      • 符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数。
        • a,b互为相反数
          • a+b=0
    • 性质
      • 任何数都有相反数，且只有一个。
        • 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
        • 0的相反数是0
    • 表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“-”
    • 几何意义
      • 数轴上表示相反数的两个数（0除外）位于原点两侧，且到原点的距离相等
  • 倒数
    • 定义
      • 乘积为1的两个数互为倒数
        • 若a,b互为倒数，则ab=1
        • 若ab=1，则a,b互为倒数
        • 注意：0是没有倒数的
• 科学计数法
  • 定义
    • 一个数用科学计数法可以表示为
      • 1≤lal＜10
      • n为整数
  • n的确定
    • 当原数的绝对值≥10
      • n为正整数
      • n等于原数的整数位数减1
      • 步骤
        • 1.把原数变成a
          • a是一个小于10且大于等于1的数
        • 2.确定10的指数n
          • 1.n是比原数的整数位数小1的数
          • 2.n是把原数变成a时，小数点移动的位数
    • 当0＜原数的绝对值＜1时
      • n为负整数
      • lnl等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）
• 实数的大小比较
  • 类别比较法
    • 正数＞0＞负数
    • 两个负数比较大小，绝对值大的反而小
  • 数轴比较法
    • 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的数大
  • 作差比较法
    • 对于任意实数a,b
      • 若a-b＞0→a＞b
      • 若a-b=0→a=b
      • 若a-b＜0→a＜b
  • 平方比较法
    • • a²＞b（b＞0）
        • 主要应用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较
  • 作商比较法
    • 设a,b为正数
      • • 则a＞b
      • • 则a=b
      • • 则a＜b
• 乘方与开方
  • 乘方
    • 定义
      • 求n个相同因数的积的运算
        • 乘方运算的结果叫作幂
        • 相同因数叫作底数
        • 相同因数的个数叫作指数
      • a×a×a×......a=an
        • n个a相乘
        • 幂：an
        • 底数：a
        • 指数：n
    • 运算法则
      • 正数的任何次幂都是正数
      • 0的任何正整数次幂都是0
      • 负整数指数幂
        • （a≠0，p为正整数）
      • 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
  • 开方
    • 平方根
      • 实数a（a≥0）的平方根为
        • 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
        • 负数没有平方根
      • 算术平方根
        • 实数a（a＞0）的算术平方根为
        • 0的算术平方根为0
      • 开平方
        • 求一个数平方根的运算
    • 立方根
      • 实数a的立方根为
        • 所有的数都有一个立方根，且与原数同号
      • 开立方
        • 求一个数立方根的运算
    • 注意
      • 平方根等于它本身的是0
      • 算术平方根等于它本身的是0和1
      • 立方根等于它本身的是0，±1
• 实数中的非负性
  • ≥0
  • ≥0
  • ≥0
    • 双重非负性
      • a≥0
• 实数的运算
  • 加法与减法
    • 加法法则
      • 步骤
        • 一辨
          • 看符号，同号还是异号
        • 二定
          • 定符号，同号取号，异号，看绝对值大小
        • 三求
          • 求绝对值
      • 规律
        • 1.同号相加，绝对值相加不变号
        • 2.异号相加，绝对值“大”减“小”，符号跟着大的跑
        • 3.互为相反数求和，结果是0
    • 加法运算规律
      • 1.加法交换律
        • 两个数相加，交换加数位置，和不变
          • a+b=b+a
      • 2.加法结合律
        • 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
          • (a+b)+c=a+(b+c)
      • 简化运算
        • 把符号相同的数结合在一起
        • 把分母相同的分数结合在一起
        • 把能凑成整数的数结合在一起，互为相反数的结合在一起
    • 减法法则
      • 法则
        • 减去一个数等于加上这个数的相反数
      • 运算的一般步骤
        • 1.把减号变加号
        • 2.用减数的相反数作为加数
        • 3.用有理数加法计算
  • 乘法与除法
    • 乘法
      • 乘法法则
        • 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
        • 2. 0与任何数相乘都得0
      • 两数相乘的运算步骤
        • 1.确定符号：同号还是异号，是否有因数为0
        • 2.把各因数的绝对值相乘
          • ①一个数与1相乘，积仍为这个数
          • ②一个数与-1相乘，积是这个数的相反数
          • ③一个数与0相乘，积为0
      • 多个有理数相乘
        • 1.几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积是负数
        • 2.几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积为0
      • 有理数乘法运算律
        • 1.交换律
          • 两个数相乘，交换因数位置，积不变
            • a*b=b*a
        • 2.结合律
          • 三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个因素相乘，积不变
            • (a*b)*c=a*(b*c)
        • 3.分配律
          • 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加
            • (a+b)*c=a*c+b*c
    • 除法
      • 除法法则
        • 1.除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数
        • 2.两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
        • 3.0除以任何一个不为0的数，都得0
        • 4.0在任何条件下都不能做除数
    • 乘除混合运算
      • 1.乘除混合运算，先将除法化为乘法→确定积的符号→按从左到右的顺序运算
      • 2.结果的符号由算式中负因数的个数决定
        • ①负因数的个数是偶数时，结果为正
        • ②负因数的个数是奇数时，结果为负
      • 3.化成乘法后，应先约分再相乘
  • 特殊三角函数值
  • 混合运算
    • 三级运算
      • 分类
        • 1.加减
        • 2.乘除
        • 3.乘方
    • 运算顺序
      • 先乘方，再乘除，最后加减。如果有括号，先进行括号内的运算
        • 1.运算顺序，高级到低级，依次进行
        • 2.同级运算，按从左往右的顺序进行
        • 3.有括号，先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的