代数式思维导图

初中阶段代数式相关内容，包括整式、分式、根式，从整体上把相关内容建立联系。

代数式

• 代数式
  • 代数式及其求值
    • 代数式
      • 定义：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式
        • 1.等式、不等式都不是代数式（代数式中不含有“=”、“≠”“＞”“＜”等）
        • 2.单独一个数或一个字母也是代数式（a、-2等）
        • 3.代数式中可以有数、字母、基本的运算符号，还可以有括号（）
      • 代数式书写
        • 1.代数式中出现的乘号
          • 字母与字母/数字与字母
            • a•b或ab/10•b或10b
        • 2.数字与字母相乘时，一般将数字写在字母的前面
        • 3.带分数与字母相乘，带分数要化成假分数
        • 4.数字与数字相乘，一般仍用“×”
        • 5.除法，一般按照分数的写法来写，被除数做分子，除数做分母。“÷”转化为分数线。
          • “4÷（a-4）”应写作4/(a-4)
        • 6.在代数式后面要注明单位时，若结果是乘除关系，直接在后面写单位；若结果是加减关系的，先把式子用括号括起来，再在后面写单位。
        • 7.同一个问题中，一个字母只能代表一个量
    • 列代数式
      • 把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子表示出来
    • 代数式求值
      • 直接代入法
        • 把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
          • 字母的取值是负数和分数时，带入要加括号
      • 整体代入法
        • 观察已知条件和所求代数式的关系
        • 用提公因式、平方差公式，完全平方公式将所求代数式或已知代数式进行变形，使它们成倍份关系
        • 把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
    • 非负性
      • 常见的非负数
        • lal、b²、
          • a,b,c均为实数，c≥0
      • 常见的非负式
        • lAl、B²、
          • A，B，C均为整式
          • lAl+B²+=0
            • lAl≥0，B²≥0，≥0
              • 三者都为0
• 整式
  • 1.相关概念
    • 整式
      • 单项式和多项式统称为整式
    • 单项式
      • 概念
        • 数字与字母的积所组成的代数式叫作单项式，单独一个数或字母也是单项式
          • 1.单项式中的运算只能是乘法或乘方，而不能含有加减除运算
          • 2.字母不能出现在分母里
      • 单项式的系数
        • 单项式中的数字因数，系数要包括它前面的符号
          • 1.一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或-1
          • 2.一个单项式只含有数字因数，它的系数就是它本身
          • 3.负数作系数时，应包括前面的符号
          • 4.若系数是带分数，要化成假分数
      • 单项式的次数
        • 单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数
          • 1.一个单项式只含有数字因数且非0，它的次数是0
          • 2.一个单项式的次数是几，这个单项式就是几次单项式
    • 多项式
      • 概念
        • 几个单项式的和
          • 有加减号
          • 分母中不含有字母
      • 多项式的项
        • 多项式中，每个单项式叫做多项式的项
          • 1.多项式里含有几项，就把这个多项式叫做几项式
          • 2.每个单项式要包括前面的符号
          • 3.不含字母的项叫作常数项
      • 多项式的次数
        • 多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数
          • 1.升幂排列
            • 按照某个字母的指数从小到大的顺序排列
          • 2.降幂排列
            • 按照某个字母的指数从大到小的顺序排列
    • 同类项
      • 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
        • 注意
          • 1.两个相同
            • ①所含字母相同
            • ②相同字母的指数分别相同
          • 2.两个无关
            • ①与单项式的系数无关
            • ②与单项式中字母的排列顺序无关
        • 提示
          • 1.同类项不一定是两项，也可以是三项、四项或者更多项，但至少有两项
          • 2.所有的常数项都是同类项
      • 合并同类项
        • 合并同类项时，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同标记
        • 概念
          • 根据乘法分配律，把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项
        • 合并同类项法则
          • 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变
            • 一变两不变
        • 步骤
          • 一找二合三并，写出结果
  • 2.整式的运算
    • 去括号
      • 去括号，去括号，符号变换最重要，括号前面是正号，里面各项保留好；括号前面是负号，里面各项全变号
      • 去括号法则
        • 1.括号前面是+号的，把括号和它前面的+号去掉，括号里各项的符号不变
          • a+（b-c）=a+b-c
        • 2.括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变
          • a-（b-c）=a-b+c
      • 注意事项
        • 1.去括号法则依据是乘法分配律
        • 2.去括号时一定要注意括号前面的符号
        • 3.去括号时要把括号连同它前面的符号都去掉；去括号后，如果项的系数为“+”号，又不是第一项，则不能省略正号
        • 4.当去掉括号与它前面的“-”号时，括号里面的各项都要改变符号，不能只改变部分项的符号
        • 5.去多重括号时，习惯上先去小括号，再去中括号，最后去大括号
    • 加减运算
      • 实质
        • 合并同类项
      • 整式的加减运算
        • 如果有括号，先去括号，再合并同类项
      • 化简求值
        • 求值前先去括号，然后合并同类项进行化简
        • 步骤
          • 1.化
            • 通过去括号、合并同类项将整式化简
          • 2.代
            • 把已知的字母或某个整式的取值代入化简后的式子
          • 3.算
            • 依据有理数的混合运算法则进行计算
    • 幂的运算
      • 同底数幂的乘法
        • • a:底数
            • 底数可以是一个数或一个字母，也可以是一个单项式或一个多项式
          • m:指数
          • 幂
        • 意义
          • 同底数幂是指底数相同的幂
        • 乘法法则
          • • a≠0,b≠0，m,n是整数
            • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
          • 法则逆用
      • 同底数幂的除法
        • 同底数幂的除法法则
          • • a≠0，m,n是整数
            • 同底数幂相除，底数不变，指数相减
          • 法则逆用
        • 零指数幂
          • (a≠0）
          • 任何不等于0的数的0次幂等于1
        • 负整数指数幂
          • • a≠0，n是正整数
            • 任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数
      • 幂的乘方
        • • a≠0,b≠0，m,n是整数
          • 幂的乘方，底数不变，指数相乘
        • 法则逆用
      • 积的乘方
        • • a≠0,b≠0，m是整数
          • 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
        • 法则逆用
    • 乘法运算
      • 单项式乘单项式
        • 法则
          • 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
        • 步骤
          • 1.把它们的系数相乘，包括符号的计算
          • 2.同底数幂相乘
          • 3.只在一个单项式里含有的字母及其指数不变
          • 将这三部分的乘积作为计算的结果
      • 单项式乘多项式
        • 先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
        • 积为一个多项式，其项数与多项式的项数相同，不要漏乘项
      • 多项式乘多项式
        • 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
      • 乘法公式
        • 完全平方公式
          • （a+b）²=a²+2ab+b²
          • （a-b）²=a²-2ab+b²
          • 两个数的和（或差）的平分，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
        • 平方差公式
          • （a+b）*（a-b）=a²-b²
          • 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
    • 除法运算
      • 单项式除以单项式
        • 系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式
      • 多项式除以单项式
        • 先把多项式的每一项除以这个单项式，再把商相加
  • 3.因式分解
    • 定义
      • 把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫作多项式的因式分解
    • 方法
      • 提公因式法
        • 公因式
          • 概念
            • 多项式的各项都含有的因式，称为这个多项式的公因式
          • 确定方法
            • 系数
              • 当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数
            • 字母
              • 字母应取各项相同的字母
            • 指数
              • 取各项相同字母的最低次数
        • 确定公因式，逆用乘法分配律
          • ma+mb+mc=m（a+b+c）
      • 公式法
        • 用平方差公式分解因式
          • a²-b²=（a+b）·（a-b）
        • 用完全平方公式分解因式
          • a²±2ab+b²=（a±b）²
      • 十字相乘法
        • x²+（p+q）x+pq=（x+p）·（x+q）
      • 分组法
        • 当多项式项数≥4项时，先考虑分组
    • 步骤
      • 一提
        • 如果多项式各项有公因式，应先提取公因式，特别注意数字因式
      • 二套
        • 公式法与十字相乘法
          • 提完公因式后，如果还能分解
            • 两项
              • 平方差公式
            • 三项
              • 首先考虑完全平方
              • 再考虑十字相乘
            • 四项及以上
              • 分组
      • 三检查
        • 检查是否分解到底
    • 实质
      • 因式分解的实质是把和差化为积的形式
• 分式
  • 1.分式
    • 概念
      • 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式A/B叫作分式。
        • A是分式的分子，B是分式的分母
        • 判定一个代数式是否为分式，不能把原式变形（如约分），而只能根据原式判断
        • 分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
        • 分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是 ，从本质上看分母必须含有字母.
        • 因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．且只看初始状态，不要化简
      • 三个条件缺一不可
        • 的形式
        • A和B都是整式
        • B中含有字母
    • 分式有意义的条件
      • 当B≠0时，分式A/B才有意义
      • 当分母为0时，分式无意义
    • 分式的值
      • 分式的值随分式中字母的取值的变化而变化
      • 分式的值为0的条件
        • 当A=0且B≠0，分式A/B=0
      • 分式的值为正数的条件
        • 分子、分母同号
      • 分式的值为负数的条件
        • 分子、分母异号
  • 2.分式的基本性质
    • 基本性质
      • 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
        • 
        • C是不等于0的整式
    • 分式中的符号法则
      • 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变
    • 约分与最简分式
      • 约分
        • 根据分式的性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫作分式的约分
      • 约分的步骤
        • １.如果分式的分子和分母是多项式，首先分解因式
        • ２.约去分子与分母的公因式
          • 公因式
            • 确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定
      • 最简分式
        • 分子与分母只有公因式１的分式叫作最简分式
      • 其他
        • 分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式
        • 当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面
        • 约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式
    • 分式的通分
      • 定义
        • 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分，变形后的分母叫作这几个分式的公分母
      • 通分的关键
        • 是确定几个分式的最简公分母，然后利用分式的基本性质将它们进行适当的变形
      • 最简公分母
        • 几个分式中各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫作这几个分式的最简公分母
      • 确定分式的最简公分母的步骤
        • １.取各分式的分母中系数的最小公倍数
        • ２.各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到
        • ３.相同字母（或因式）的幂取指数最大的
        • ４.所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母
  • 3.分式的运算
    • 分式的加减
      • 同分母分式的加减运算法则
        • 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减
          • 所得结果要化简成最简分式
      • 异分母分式的加减运算法则
        • 异分母的分式相加减，先通分，再加减
    • 分式的乘除
      • 分式的乘法
        • 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母
          • 
        • 能约分的要约分，分式的分子、分母能够分解因式的应先分解因式，运算结果一个为最简分式或整式
      • 分式的除法
        • 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
          • 
      • 分式的混合运算
        • 先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算
    • 乘方
      • 对分子分母分别乘方
    • 混合
• 二次根式
  • 1.二次根式
    • 概念
      • 一般地，式子√a（a≥0）叫作二次根式
        • √：二次根号
        • a：被开方数
    • 性质
      • 1.当a≥0时，√a≥0（非负性）
      • 2.当a≥0时，（√a）²=a
      • 3.√a²=lal=
        • a（a≥0）
        • -a（a＜0）
  • 2.最简二次根式
    • 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
    • 被开方数中不含字母
    • 分母中不含有根号
      • 分母有理化
  • 3.二次根式的运算
    • 二次根式的乘除
      • 乘法法则
        • 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
        • √a*√b=√ab（a≥0，b≥0）
      • 除法法则
        • 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
        • 分母有理化
          • 在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式
          • 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化
      • 二次根式的化简
      • 因式的外移和内移
    • 二次根式的加减
      • 同类二次根式
        • 经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式
      • 二次根式的加减
        • 先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式
    • 二次根式的混合运算