高数笔记整理

高等数学（上）学习结构导图，适用于后期复习以及前期导学理解框架。

一元函数微分学

• 第一章：极限与连续
  • 函数
    • 1.函数
    • 2.反函数
    • 3.基本初等函数
      • a反三角函数
      • b对数函数
      • c幂函数
      • d指数函数
      • e三角函数
    • 4.初等函数：由基本初等函数复合与四则运算而成
    • 5.初等特性
      • a有界性
      • b单调性
      • c奇偶性
      • d周期性
  • 极限
    • 极限的一般性质
      • a唯一性
      • b保号性
      • c局部有界性
    • 极限的存在性质
      • a夹逼定理
        • 类型一：n项和求极限
          • 裂项相消
          • 夹逼定理
          • 定积分的定义
      • b单调有界数列必有极限
        • 类型二：数列极限的存在性证明
  • 无穷小
    • 无穷小的性质
    • 无穷小的种类
      • 高阶无穷小
      • 低阶无穷小
      • 同阶无穷小
      • 等价无穷小
        • 背：常用的等价无穷小
      • k阶无穷小
  • 类型三：不定形极限（重要）
  • 连续：函数值等于极限值
  • 间断
    • 第一类间断点：左右极限都存在
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点：左右极限至少由一个不存在
• 第二章：导数与微分
  • 导数
    • 导数的等价定义
    • 求导工具
      • 1.基本求导公式
      • 2.四则求导法则
      • 3.复合求导法则
      • 4.反函数求导
    • 求导类型
      • 1.定义法求导（等价定义）
      • 2.显函数求导
      • 3.隐函数求导
      • 4.参数方程求导
      • 5.分段函数求导
      • 6.高阶函数求导
  • 微分
• 第三章：一元微分学的应用（中值定理）
  • 罗尔中值定理
    • 类型一：ROLLE型命题
    • 类型二：仅有$无其它字母
      • 公式法
      • 分组法
  • 拉格朗日中值定理
    • 类型三：lagrange的基础用法
  • 柯西中值定理
  • 类型四：至少两个中值
  • 类型五：$ X的复杂程度不同
  • 类型六：含ab，$可分离
  • 单调性
  • 极值
    • 第一充要条件（适用于导数为0与无定义点）
    • 第二充要条件（只适用于驻点）
  • 函数的凹凸性
  • 渐近线
    • 水平渐近线
    • 铅锤渐近线
    • 斜渐近线
• 第四章：不定积分
  • 不定积分的概念
  • 原函数存在定理：在区间上连续的函数，一定有原函数。
  • 基本积分公式（若干个）
  • 不定积分的性质
    • 性质一：不定积分是微分的逆运算
    • 性质二三：不定积分的线性性质
  • 积分法
    • 第一类换元积分法（凑微分法）
    • 第二类换元积分法
      • 针对于根号的处理
    • 分部积分法
  • 有理函数的积分（理论完整）
    • 有理函数=有理分式
      • 有理分式
        • 真分式
        • 假分式（假分式=真分式+多项式）
          • 多项式的除法
    • 方法：真分式写成最简分式之和，再对每个最简分式依次求解
  • 可化为有理函数的积分
    • 三角有理分式
      • 方法：万能代换将三角有理式转化为代数有理式
    • 简单无理函数
      • 方法：令根号内整体为t，转化为有理函数
• 第五章：定积分
  • 定积分问题引入：曲边梯形面积的求解
    • 方式
      • 1.分割
      • 2.近似
      • 3.求和
      • 4.取极限
  • 定积分的定义
  • 定积分的几何意义：图像与x轴围成面积的代数和
  • 可积的充要条件
    • 定理一：若f（x）在【a,b】上连续，则f（x）一定可积
    • 定理二：若f（x）在【a,b】上有界，有限个间断点，则f（x）可积
  • 定积分的性质
    • 1.定积分的线性性质
    • 2.定积分区间上的可加性
    • 3.定积分的保序性
    • 4.积分的估值公式
    • 5.积分中值定理
    • 6.上下限互换，积分变号
  • 微积分基本公式
  • 定积分的换元法和分部积分法
  • 反常积分（广义积分）
• 第六章：定积分的运用
  • 定积分的元素法
    • 1.分割
    • 2.近似
    • 3.求和
    • 4.取极限
  • 定积分在几何上的运用
    • 一：面积
      • 直角坐标系下的面积
      • 极坐标系下平面图形的面积
      • 参数方程计算图形的面积
    • 二：体积
      • 坐标系下围绕x或y轴旋转体的面积
      • 平行截面为已知的立体图形的体积
    • 三：平面曲线的弧长
      • 直角坐标
      • 极坐标
      • 参数方程
  • 定积分在物理学的运用
    • 1.变力做功
• 第七章：微分方程（常微分方程）
  • 微分方程的概念：方程中含有自变量，未知数及导数的方程，称作微分方程。
  • 微分方程的阶
  • 微分方程的解
  • 初始条件与特解
  • 一：一阶微分方程
  • 二：可分离变量的微分方程
  • 三：齐次微分方程