空间解析几何高等数学

适用于大一新生，刚开始学习高等数学的同学，也适用于毕业生参加注册设备公共基础考试。

空间解析几何

• 向量代数
  • 概念
    • 向量的坐标：设向量a的起点为，终点为，则a=AB={}={}
    • 向量的模（大小）：
    • 向量的方向角与方向余弦：
    • 特殊向量
      • 单位向量：模为1的向量，与a同向的单位向量为 i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1)
      • 负向量:与a模相同，方向相反的向量，记为-a
      • 零向量:模为0，没有确定方向的向量，记为0
    • 两自由向量相等：a=b，模相等且方向相同
    • 向量在轴上的投影：
  • 向量运算
    • 加减法
      • 加法
        • 其和仍为向量，遵循平行四边形法则和三角形法则
        • 坐标表达式：
        • 运算律：a+b=b+a，a+(b+c)=(a+b)+c
      • 减法：a-b=a+(-b)
    • 数乘向量
      • 定义：数λ与向量a的乘积为一向量，记作λa
      • 坐标表达式：
      • 运算律：λ（μa)=(λμ)a=μ(λa)，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb
    • 数量积
      • 定义：
      • 坐标表达式：
      • 性质：
      • 两向量夹角余弦公式：
    • 向量积（叉积）
      • 定义：c=a×b
        • c⊥a，c⊥b，且符合右手规则
        • 
      • 几何意义：表示是以a,b为邻边的平行四边形面积。
      • 坐标表达式：
      • 性质：
    • 混合积
      • 定义：（a×b）c=[abc]（运算结果为一数量）
      • 计算：
      • 性质：[abc]=[bca]=[cab]，三向量a,b,c共面<=>
• 平面
  • 平面方程
    • 前提：设平面过点，法向量为n={A,B,C}
    • 点法式:
    • 一般方程：Ax+By+Cz+D=0(n={A,B,C}为平面的法向量)
  • 两平面夹角
    • 设平面π1、π2的法向量为n1={A1,B1,C1}和n2={A2,B2,C2}
    • （0≤θ≤） π1⊥π2 <=>n1⊥n2<=>A1A2+B1B2+C1C2=0 π1∥π2 <=>n1∥n2<=>
  • 点到平面的距离
    • 点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
• 直线
  • 直线方程
    • 对称式方程:设直线过点，方向向量为s={m,n,p} 方程为：
    • 参数式方程：（-∞<t<∞）
    • 一般方程：（两个平面） 方向向量：
  • 两直线夹角
    • 设直线L1、L2的方向向量为和，则 （0≤θ≤） L1⊥L2 <=>s1⊥s2<=>m1m2+n1n2+p1p2=0 L1∥L2 <=>s1∥s2<=>
  • 直线与平面的夹角
    • 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线和平面的夹角。设直线的方向向量，平面的法向量为，记直线和平面的夹角为，直线的方向向量和平面的法向量的夹角为，则，故有  直线与平面垂直、平行的充要条件  
• 空间曲线
  • （1）空间曲线是两个曲面的交线,所以空间曲线的一般方程为  （2）空间曲线在坐标面上投影的概念 经过空间曲线C，且垂直于面柱面，称为曲线C在面的投影柱面，投影柱面与面的交线，就是空间曲线C在面的投影。 （3）空间曲线在坐标面上投影的方程 设空间曲线C的一般方程为  消去方程组中的变量，得到方程，显然这是一个母线平行于轴的柱面，又曲线C在该柱面上，故是曲线C在面的投影柱面，因而曲线C在面的投影方程为：  类似，从方程组中消去变量，得到方程，曲线C在面的投影方程为：  同理，可得曲线C在面的投影方程。
• 曲面
  • 柱面
    • 母线平行于坐标轴的柱面 C是面内的定曲线，L是平行于轴的直线，动直线L沿定曲线C移动形成的曲面叫做母线平行于轴的柱面，其方程为。类似，母线平行于轴的柱面方程为；母线平行于轴的柱面方程为。 例如：是准线在面内，母线平行于轴的抛物柱面；是准线在面内，母线平行于轴的双曲柱面。
  • 旋转曲面
    • 旋转轴为坐标轴的旋转曲面 平面曲线绕其平面上一定直线旋转一周所成的曲面叫旋转曲面，定直线叫旋转曲面的轴。 设面内曲线C的方程为，该曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程 ；绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程为 。
  • 常用二次曲面
    • 常用二次曲面 1）椭圆锥面： 标准方程为 2）椭球面：标准方程为 3)单叶双曲面：标准方程为，如果，就是旋转双曲面。 4)双叶双曲面：标准方程为，如果，就是旋转双曲面。 5)椭圆抛物面：标准方程为（和同号），如果，就是旋转抛物面。 6)双曲抛物面：标准方程为（和同号）,也叫马鞍面。