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高等数学思维导图
西安交通大学出版社，第一次做思维导图，希望能有用，知识点包括：函数、极限与连续；导数及其应用；不定积分；定积分及其应用；微分方程等。
编辑于2021-01-13 20:20:34- 高等数学
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- 大纲
医用高等数学
函数、极限与连续
函数
函数的要素：定义域和对应法则
反函数
存在条件：函数单调
性质
值域为其反函数定义域
图像关于y=x对称
单调性一致
求解步骤
视函数为方程解出
写为习惯形式y=p
注明定义域
函数的特性
有界性
单调性
单调递增
单调递减
奇偶性
奇函数：f(x)关于原点对称
偶函数：f(x)关于y轴对称
周期性
基本初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
y=secx
y=cecx
反三角函数
y=arcsinx
y=arccosx
y=arctanx
y=acrcotx
复合函数
构成
初等函数
由常数和基本初等函数通过有限次四则运算和复合运算构成，在定义域上可以用一个式子表示的函数
分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的数
函数的极限
自变量x趋于无限大时的函数极限：
单侧极限
自变量x趋于有限值时的函数极限
左极限
右极限
极限的运算法则
四则运算
两个重要极限
无穷小量与无穷大量
无穷小量的比较
等价无穷小替换定理
无穷大量的讨论都可以归于无穷小量的讨论
函数的连续性
条件
f(x)在点x0处有定义
单侧连续
左连续
f(x-0)=f(x)
右连续
f(x+0)=f(x)
函数的间断点
条件
f(x)在点x0处没有定义
分类
跳跃间断点
左右极限都存在，但是左右极限不相等
可去间断点
函数在x0处极限存在，但是极限值与函数值不相等
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在
初等函数的连续性
定理
基本初等函数的加减乘除都是连续的
基本初等函数在定义域内是连续的
一切初等函数在其定义区间内都连续，定义区间是指包含在定义域内的区间
闭区间上连续函数的性质
最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值
介值定理：定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间
零点定理：如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即至少存在一个c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根
导数及其运用
导数的概念
导数的几何意义
切线斜率k
导数的定义
基本导数公式
导函数
可导条件
函数在一点左导数等于右导数
可导与连续的关系
可导一定连续
连续未必可导
导数的应用
构造函数并求导
求导法则
和、差、积、商的求导法则
复合函数求导
隐函数的导数
求导时直接把方程两边同时对x求导，把y当作x的函数，见到y就要对x求导，最后整理式子把y的导数整理到一边
对数求导法
应用范围
幂指函数或连乘积函数
步骤
两端取自然对数
两端用求导法则对x求导
解出
高阶导数
微分
微分的概念
函数增量的线性主部
可微与可导为充分必要条件
微分的几何意义
近似曲线纵坐标的增量
微分的运算法则
基本微分运算公式
逆导数
和、差、积、商的微分法则
同导数
一阶微分形式不变性
微分在近似计算中的运用
公式
使用条件
x与x0靠近
中值定理与导数的应用
费马定理
若函数f(x)在(a,b)内一x0取得最值，且f(x)在x0可导，则x0处导数值为0
罗尔定理
如果函数满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间（a,b）上可导;(3)f(a)=f(b).则至少有存在一点x0∈(a,b),使得x0处导数值为零
拉格朗日中值定理
若函数满足:(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间上可导，则至少存在一点x∈(a,b)使得
常用结论
导数在求极限中的应用
洛必达法则
导数在判断单调性中的应用
导函数的正负值
利用函数单调性证明不等式
利用函数单调性讨论方程的根
导数在求极值方面的运用
通过一阶导数判断
步骤
求出导函数
求出导函数全部驻点和不可导点
列表判断or直接写分析
确定函数所有的极值点和极值
通过二阶导数判断
设当f(x)在a处有二阶导数,且a处的导函数为零
若二阶导数＜0，则f(a)为函数极大值
若二阶导数＞0，则f(a)为函数的极小值
若二阶导数＝0，不确定
导数在求最值方面的应用
若导数在[a,b]上连选，则最值只能在极值点和端点处取得
导数在判断函数凹凸性方面的应用
若二阶导数值＞0，则为凹函数
若二阶导数值＜0，则为凸函数
函数图形的绘制
渐近线
垂直渐近线
水平渐近线
斜渐近线
函数绘图基本步骤
求定义域
考察奇偶性、周期性
考察特殊点
与坐标轴的交点
不连续点
不可导点
考察函数性质
单调区间
极值点
凹凸区间
拐点
考察函数渐近线
列表进行画图
不定积分
不定积分的概念和性质
不定积分的概念
由导函数求原函数
原函数存在定理：连续函数必定有原函数
如果函数的原函数存在，则它任意两个原函数只相差一个常数
定义
几何意义
原函数称为f(x)的积分曲线
基本积分公式
微分运算与求不定积分的计算是互逆的
与导数公式基本一致，注意加上常数C
基本思想：化繁为简（将所求积分化为基本积分表中的积分）
积分法
直接积分法
利用恒等变形、积分性质、基本积分公式进行积分
第一类换元积分法(配元法、凑微分法)
技巧：提公因式、配凑dx、配常数
第二类换元积分法
关键在于通过变量替换获得一个容易求得的积分来计算
三角代换
x=asint
x=acost
x=asect
分部积分法
公式
技巧
u、v选择要合适
v由基本凑微分公式要易得
等号后的微分要比等号前的微分易求
分布积分法可以重复使用
前后所选的u应为同类型函数
有理函数的积分
两个多项式的商表示的函数称之为有理函数
其中m、都是非负整数；a、b都是实数，且a0、b0≠0
n＜m，则这个有理函数为真分式
n≥m，则这个有理函数为假分式
真分式=真分式＋真分式+...+真分式
真分式化为部分分式之和的方法为待定系数法
有理函数的原函数都是初等函数
三角有理函数的积分
三角有理函数
由三角函数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角函数有理式
万能置换公式（优先考虑其他方法）
定积分及其运用
定积分的概念和性质
定积分的定义
定积分的几何意义
f(x)＞0，为曲边梯形的面积
f(x)＜0，为曲边梯形面积的负值
定积分的性质
函数和的积分等于积分的和
可以提取函数公因式
积分区间具有可加性
函数值小则相同区间内积分值也小
积分的上下限为最大（小）值乘以区间长度，常用来估计积分的大小
积分中值定理：区间内至少存在一个点使得曲边梯形面积等于同一底边而高为函数值的矩形面积
微积分基本公式
变上限的积分
积分上限函数或变上限函数
牛顿—莱布尼兹公式
定积分的运算
定积分的换元法
同不定积分还原法，仅多了上下限的替换
定积分的分布积分法
反常积分
无穷区间上的积分
广义积分收敛
无界函数的广义积分（瑕积分）
广义积分收敛
无界点通常称为瑕点
定积分的运用
微元法
步骤
确定所求量A和自变量x的，以及x的变化范围[a,b]
在[a,b]中的任一小区间[x,x+dx]上均匀变化近似代替非均匀变化，列出所求的微元dA=f(x)dx
对上式积分，即得到所求量A的定积分表达式
要求
A与x在[a,b]内必须有关
A对于区间[a,b]要有可加性
部分量ΔA近似值可以表示为
平面图形的面积
步骤
根据图意画出平面图形
求出边界曲线的交点
确定一个积分变量及其变化区间[a,b]
写出微元面积dA
求出
旋转体的体积
绕x轴旋转所得旋转体的体积
绕y轴旋转所得旋转的体积体
曲边梯形绕直线x=a旋转所得旋转体的体积
从平面面积到体积
实际运用
平行截面求已知立体的体积
dV=A(x)dx
变力沿直线所做的功
dW=F(x)dx
微分方程
微分方程的基本概念
微分方程的概念
含有未知数函数的导数或微分的方程叫做微分方程
代入微分方程能使方程变为恒等式的函数称为微分方程的解
解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同称为微分方程的通解
确定了通解中任意常数以后的解称之为特解
用来确定任意函数的解为初始条件
微分方程的几何意义
解的图像：微分方程的积分图线
通解的图像：积分曲线族
可分离变量的微分方程
求解
基本表达式：
分离变量：
两边积分：
得到通解：
齐次方程
如果一阶微分方程可以写成：则为齐次方程
解法
令
分离变量：
两边积分有：
积分后再用u=y/x代换得到原方程的通解
一阶线性微分方程
线性齐次方程
表达式为：
分离变量、积分后有：通解
一阶线性非齐次微分方程
表达式为：
通解为：
多元函数微积分
空间解析几何简介
空间直角坐标系
两点间的距离：
曲面与方程
多元函数概念
多元函数定义
存在一个对应法则f使得对于，每一个点P(x,y)∈D，都有唯一确定的实数值z与之对应，则称f为D上的点P的函数，记作z=f(x,y)
自变量x,y都是独立变化的，它们只受到（x,y）∈D的限制
二元函数定义域
二元函数定义域在几何上表示xoy平面上一个平面区域
包括边界上的区域叫做闭区域，不包括边界上的区域的叫做开区域
二元函数的几何意义
二元函数的图形通常是一张曲面
二元函数的极限与连续性
二元极限
变量替换、等价无穷小替换等方法仍然可以用
确定二元极限不存在的方法
找两种特殊的趋近方式，若得到不同的极限，则可以断定二元极限不存在
二元连续函数的性质
有界性
最大值和最小值定理
介值定理
偏导数和全微分
偏导数
对于二元函数z=f(x,y)在点(a,b)的某邻域内有定义，给自变量x一个改变量，y不变，就有关于x的偏增量：（同理也有y的偏增量）
记为：
求偏导数时，只需要将n个自变量啊中的一个看成变量，其余的自变量视为常数，然后按照一元函数的求导方法求导即可
分界点、不连续点的导数要用定义求
高阶偏导数
两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数
若二阶偏导数为连续函数，则
全微分
Δz=AΔx+BΔy
性质
可微即可偏导
可偏导不一定可微
偏导连续才可微
形式不变性
多元复合函数求导法则
先理清函数关系，画出函数关系图
按照规则写出式子（有几条路径就是几部分的和，路径的每段对应的导数用乘法连起来）
多元函数的极值
二重积分
表示曲顶柱体的体积
性质
线性性质
可加性
单调性
估值定理
中值定理
存在条件
必要条件
f在D上可积，则f在D上有界
f是有界D上的连续函数，则f在D上一定可积
直角坐标下二重积分的运算
积分区域
X—型区域
两条平行于y轴的直线与两条曲线构成，以X作为积分变量
Y—型区域
以y作为积分变量
既是X型又是Y型
x、y都可以
既不是X型又不是Y型
分段处理
概率论基础
随机实验与随机事件
随机实验和随机事件
随机现象
随机实验
样本空间、随机事件
事件的关系和事件的运算
关系
包含关系
相等关系
互斥关系
事件的运算
事件的和
事件的积
事件的差
事件的逆
概率的定义与运算
概率的定义
频率
概率的含义
古典概型
概率的基本性质与计算
空集的概率为0
互斥事件概率具有可加性
对立事件概率之和为1
条件概率
乘法定理
事件的独立性
判定条件
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
贝叶斯公式
贝努里概型
随机变量及其分布
随机变量
随机变量的分布函数F(x)
F(X)=P
求概率=求函数值
离散型随机变量及其分布
0-1分布
二项分布
子主题
求概率=求和
连续性随机变量及其分布
概率密度函数f(x)
求概率=求积分
常见的连续性随机变量分布
均匀分布
指数分布
正态分布
作变量代换
随机变量函数的分布
离散型
随机变量的数字特征
数学期望及其性质
本质
加权平均，为一个数
方差及其性质
计算方差常用公式
几种常见的分布的期望和方差
离散型
两点分布
二项分布
泊松分布
设随机变量X的所有可能取值为1,2,3,......,分布律为
入>0且为常数，记为
连续型
均匀分布
指数分布
正态分布
线性代数基础
行列式
定义
由四个数排列成二行二列 横排称行，竖排称列
二阶行列式的解法
对角线法则
三行行列式的解法
沙路法
对角线法则
子主题
行列式的展开
看PPT
行列式的性质
见PPT
行列式的计算
r表示行，c表示列
化为三角行列式法
降价展开法
克莱姆法则
PPT
矩阵
定义
由m×n个数构成的m行n列的数表
矩阵的线性运算
两个矩阵必须为同型矩阵才能进行加法运算
数乘（区别行列式）
乘法
见PPT
方阵的幂
矩阵的转置
方阵的行列式
伴随矩阵
逆矩阵
矩阵的初等变换与线性方程组
通过行列变换求出方程组的解
初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵为初等矩阵
利用初等变换解线性方程组