向量空间

向量空间，向量空间是一个集合，集合中的元素是向量，向量空间中的向量满足加法和数乘运算，线性相关性是指向量之间是否存在线性关系。

向量空间 定义和例子 子空间 向量的线性相关性 基和维数 坐标 向量空间的同构 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 思维导图

• 向量空间定义
  • 向量空间是一个集合，集合中的元素是向量
  • 向量空间中的向量满足加法和数乘运算
• 向量空间例子
  • 实数向量空间
  • 复数向量空间
  • 矩阵向量空间
• 子空间向量的线性相关性
  • 子空间向量的线性相关性定义
    • 线性相关性是指向量之间是否存在线性关系
    • 线性相关性可以通过线性方程组求解
  • 线性相关性判断
    • 利用矩阵的秩判断线性相关性
    • 利用向量组的秩判断线性相关性
• 基和维数
  • 基的定义
    • 基是向量空间的一组线性无关的向量
    • 基可以表示向量空间中的任意向量
  • 维数的定义
    • 维数是向量空间的基的向量个数
    • 维数可以表示向量空间的复杂程度
• 坐标向量空间的同构
  • 同构的定义
    • 同构是指两个向量空间之间存在一一对应的关系
    • 同构可以表示两个向量空间具有相同的线性结构
  • 同构的判断
    • 利用矩阵的秩判断同构
    • 利用向量组的秩判断同构
• 矩阵的秩
  • 矩阵的秩的定义
    • 矩阵的秩是指矩阵的行列式值
    • 矩阵的秩可以表示矩阵的线性独立性
  • 矩阵的秩的求解
    • 利用矩阵的初等变换求解
    • 利用矩阵的QR分解求解
• 齐次线性方程组的解空间
  • 齐次线性方程组的定义
    • 齐次线性方程组是指方程组的系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数
    • 齐次线性方程组有非零解
  • 齐次线性方程组的解空间
    • 齐次线性方程组的解空间是一个向量空间
    • 齐次线性方程组的解空间可以通过基和维数表示;