导图社区 第一章 函数极限连续
高数第一章函数连续极限思维导图（自画自用超级详细），其中极限的严格概念不重要作一般了解，函数极限存在充要条件重要，性质很重要。
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第一章
函数
定义
定义域
求函数表达式就一定要带着求出定义域
分式函数
开偶次方
对数函数
反三角函数
arcsinf(x) arccosf(x) 都是|f(x)|≤1
三角函数
不熟悉的： cotf(x) cscf(x)都是f(x)≠kΠ secf(x)是f(x)≠kΠ+Π/2
对应法则
换元法
考点：与自变量符号名称无关 具体例子：已知一个表达式求f(x) 方法是令（）里面为t最后再换成x
性质（前两个考的较多）
奇偶性
前提条件是定义域关于坐标原点对称
常见奇偶函数（不熟悉的）
y=0既是奇函数也是偶函数；非奇非偶函数f(x)一定可以写成一个奇函数+一个偶函数；非0奇+非0偶=非奇非偶
复合函数：里外都是奇就是奇函数，只要有一层是偶就是偶函数
奇函数
cscx、
偶函数
secx 常数C
单调性（最重要，离不开区间）
单调性判定
f(x1)-f(x2)和0比较
f(x1)/f(x2)与1比较
f'(x)与0比较
应用
证明不等式
极值点
单调有界准则
周期性
特殊函数
有理数无理数分段函数：T=有理数（因为有理数+有理数=有理数，无理数+有理数=无理数）
y=[x];y=x-[x]（图像）
y=sin(wx),T=2Π/|w|
有界性(离不开区间)
上界不唯一（找到一个上界后，其他比这个上界大的数也是上界）
说上界要说区间，如果不说就默认整个定义域
所有反三角函数都是有界的
难点：有界性的判别
比如选择题给一个函数表达式和选项中的区间，判别有界还是无界，就是看有没有点的极限是无穷，一般算端点的极限是否存在，端点无穷则一定无界
无穷小*有界量
重要函数
六大基本初等函数
常函数 C
幂函数
图像
假分式多项式除法
余数比除数次数低就停止
真分式拆项
遵循原则：分母是几次就拆几项，拆后每项的分子次数比分母括号里x的次数低一次
之后求未知数的操作
待定系数法
未知数那边每项通分，然后根据不同x次方的系数相等求解未知数
去分母法
考试中一般是两种方法混用，即先用去分母法将为0的全部x值点代入，但还有未知数无法解出，这时再利用待定系数法，一般选择x的最高次项系数相等比较简单，也有选择常数项相等的
将不含未知数一边的分母全部消掉，然后将所有能使其中一个式子为0的x值带入算出未知数
指数函数
一般根式太多的函数直接取对数
公式
第三项的常见变形ax
解释说明（画直角三角形）
复合函数
外层函数定义域和内层函数值域交集不能为空集
考点
1.将两个分段函数复合 方法：找到外层函数表达式，将里面的x用内层函数代替，这样新的表达式的定义域就是几个不等式，将不等式看作是内层函数找值域，再去内层函数看对应的真正的x取值范围
2.复合函数/多元复合函数求导
初等函数
初等函数是由基本初等函数和常数经过复合，有限次四则运算，得到的能用一个解析式表达的函数 用好几个解析式表示就是分段函数
分段函数
隐含的分段函数：max min |f(x)| [f(x)]
取整函数隐含不等式：f(x)-1<[f(x)]≤f(x)
max.min实质就是把函数分成几段，分别在每段上看
反函数（一对一）
x=g(y)
原反函数图像关于y=x对称，原反函数单调性相同
存在条件：单调函数一定有反函数，但有反函数不一定单调
隐函数
F(x,y)=0
参数方程
星形线（有平面直角坐标方程和参数方程形式）
摆线（只有参数方程形式）
极坐标
心形线
四种
反向出题：将其中一个心形线化成平面坐标方程 此时要求这个函数围成的图形面积 因此即使化成了平面坐标的形式也要认出来！
双纽曲线
两种
三叶玫瑰
四叶玫瑰
幂指函数
极限和求导
处理方法：取指数函数e
极限
极限的严格概念不重要 作一般了解 函数极限存在充要条件重要 性质很重要
数列极限
收敛就是极限存在
n>N
函数极限
函数极限存在充要条件
特别重要！
要算左右极限的地方
分段函数分段点
特别
0+趋近无穷大，0-趋近0
0+趋近Π/2，0-趋近-Π/2
0+趋近0，0-趋近-1
即左右极限相等
性质
唯一性
（局部）有界性
数列极限存在，数列一定有界
函数x0处极限存在，则在x0的去心领域（即x0附近而不是整个领域）有界
（局部）保号性
同样是在x的去心领域内函数值符号和极限值符号相同
特别地，保号性推论：在x0附近函数值趋近A，且A>0,则函数可以大于任何一个大于0小于A的正数（即入A, 0<入<1）
极限存在准则
单调有界准则（考的更多更难，主要是用于证明极限存在或数列收敛）
数列（证明极限存在或收敛）
单调递增有上界
单调递减有下界
夹逼准则（计算题）
数列计算题居多
放大缩小一定要保证首尾两项极限相等
两个重要极限（第二个考的特别多）
特点：前面两个x位置处一定要长得一样，且都趋近于0 即
变型：
1∞型未定式
一般形式
若limf(x)=1,limg(x)=∞，则
无穷小
判断无穷小的唯一标准：极限是否为0
无穷小是函数，常数中只有0为无穷小
无穷小与自变量变化过程有关（不能随便说一个函数是无穷小，而是要说这个函数在某个变化过程下是无穷小，不然是无意义的）
1.无穷小和极限存在的关系
应用：显化抽象函数（把抽象函数用相应的无穷小来代替 即如果一个抽象函数相应的极限在某个变化过程下存在，那么在这个变化过程决定的范围内，就可以写成极限值+无穷小，从而用无穷小来显化抽象函数）
运算
1.有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小
2.无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小
运算性质
四则运算
和标准无穷小比较：当x→x0时，α（x）,β(x)分别是（x-x0）的n,m阶无穷小（其中x-x0是标准无穷小）
极限存在且不等于0的函数称作0阶无穷小
无穷小相乘，阶数相加
如果两个无穷小阶不一样，相加相减时，看得是低阶 （因为无穷小时阶数越高说明值越小，则影响越小）
无穷小相除，阶数相减（前提是分子的阶数比分母高）
比较
高阶、低阶、同阶无穷小（其中o表示高阶，O表示同阶）
特殊同阶无穷小：比值=1，称为同阶无穷小，用～表示
k阶无穷小（比值式的分母是k次方，比值=常数且不为0）
可命题角度
1.确定两个无穷小的关系
2.已知无穷小的关系求参数
常用等价无穷小
公式记忆
无穷小阶的确定（必考）
定义法
等价定阶
求导定阶
泰勒定阶
等价无穷小因子代换（一个重要的求极限的方法）
一个整体因子无论是分子还是分母，只要这个极限存在非0，就可以把极限值带进去再求极限
目标：使题目中涉及到的无穷小都变成同种类型，好相消
无穷大
是一种变化趋势存在，不是极限存在
无穷大的倒数是无穷小，非0无穷小的倒数是无穷大
和无界的关系：无穷大可以推无界，但无界未必是无穷大，因为无穷大是在一个过程下都是无穷大
极限的运算准则
四则运算法则
两个函数极限都存在，则加减乘除的极限等于极限的加减乘除，若有一个不存在，则结果不确定
加减时，只要两个极限分开都存在，就可以分开去算，如果不存在就不能拆开
乘除时，只要有一个极限存在且不等于0，就可以先算出来
复合运算法则
连续
一点处连续
双侧连续三要素：1.函数在x0有定义；2.函数在x0有极限；3.该点极限=该点函数值
单侧连续
左连续：f(x0-0)=f(x0)
右连续：f(x0+0)=f(x0)
闭区间连续
充要条件：1.在开区间处处连续；2.在左端点右连续，右端点左连续
在x0处f(x).g(x)都连续，则和差积商在x0处都连续
在x0处f(x)连续，g(x)不连续，和差一定不连续，但积商不确定（比如f(x)极限等于0，g(x)该点极限存在但不等于函数值，结果为0，那么函数值和极限值都为0，则函数连续）
在x0处f(x).g(x)都不连续，则和差积商都不确定
若反过来知道和差积商在x0处连续，不能推出f(x).g(x)的连续情况
复合运算
推论：在外层函数是连续的情况下，算整个的极限可以交换取函数值和极限的运算过程（可以先算自变量相应的极限，自变量极限处的函数值就是这个复合函数的极限值）
初等函数的连续性
1.基本初等函数在定义域内连续
2.一切初等函数在其定义域的每一个区间上都是连续的
如果一些三角函数它的定义域只有一些孤立的点，那在这些定义处必然是不连续的，因为点双侧都没有定义
间断点
前提：这个点的周围一定是都有定义（如果情景设定是单侧有定义的话也可以讨论）
第一类间断点（左右极限存在）
可去间断点（左右极限存在且相等）
跳跃间断点（做有极限存在但不相等）
第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点等）
命题角度（寻找间断点）
方法
无定义的点一定是间断点
分段函数分段点是可疑的间断点
间断点分类：考察左右侧极限
闭区间连续函数的性质
最值定理
成立条件：闭区间、连续函数
有界性定理
定理：闭区间连续函数一定有界
推论1:开区间连续，左右端点极限存在，则函数在开区间上有界
推论2：（-∞，+∞）连续，正负无穷极限存在，则函数在（-∞。+∞）上有界
推论3：在闭区间上的某个点处，它的左/右/双侧极限趋于无穷，则函数在变化过程的任何区间都无界
介值定理
定理：闭区间连续，端点值不同，则对介于端点值之间任意的常数C，一定是某点函数值
推论（常用）：闭区间上的连续函数必可取得介于两最值之间的任何值
命题角度：证明存在一点x0∈【a，b】，使得f(x0)=C
方法：1.定区间；2.用最值；3.证明C介于函数两最值之间
零值定理
定理：闭区间连续，两端点值乘积异号，则至少存在一个x0∈(a,b)，使得f(x0)=0 即f(x)=0在(a,b)上至少有一个根
推论：开区间连续，左端点右极限和右端点左极限的乘积异号，则至少存在一个x0∈(a,b),使得f(x0)=0
命题角度：中值问题
方法：1.作辅助函数；2.定区间判断端点符号（端点取不到就看极限符号）；3.用零点定理
特别的：当两个都为n阶的无穷小相加相减时，结果的阶数至少为n（即阶数不可能降低） 阶=n好理解，高于n是因为比如x-sinx结果=0，所以是高阶
两个角度做题方法：作商求极限
单调有界性证明方法步骤：分析：“抓两头”：抓住第一项和最后一项，以看出数列是单增还是单减 而最后一项就是极限，因此分析时事先要把极限求出来（在递推式两边求极限） 证明：以单调递减有下界为例子证明 先证有界性：方法是数学归纳法：1.a1=10>3 2。假设结论是对的 设an>3 3.证明an+1也 >3(递推式先抄一遍) 4.所以an>3 再证单调性：用an+1-an（先把已知条件递推式抄一遍，然后一般是根式相减，采用根式有理化，再因式分解，就可以看出结论） 所以数列单调递减有下界，故极限存在=A 再两边递推式求极限（就是分析里面的那步照抄）
如果考试已知条件给出极限的符号，一定要写保号性！
分别表示左、右极限
大于0叫做是去心领域内，在x0的附近，函数值趋近于A，所以这个极限描述的是局部性质 去心领域的意思是，在极限的定义里，这个x可以不用等于x0，即函数在这点有没有极限，和函数在这点有没有定义无关
